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二次函数专题


二次函数专题
众所周知,二次函数都是函数大家庭里极为的重点成员之一,同时也是今后学习其它知 知识的基础,更是历年中考的热点,是设计创新题、综合题和压轴题的主渠道,为了便于同 学们能在有限的时间内掌握这些知识,现从以下几个方面帮助大家对这些知识作重点研练, 希望同学们能喜欢. 一、复习目标与要求 1,经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程,抽象出二次函数的概念,并结合 具体情境领会二次函数作为一种数学模型的意义.能根据二次函数的表达式确定二次函数的 开口方向,对称轴和顶点坐标. 2,能画出二次函数的图象,根据图象和解析表达式探索并理解二次函数的主要性质.理 解一元二次方程与二次函数的关系,并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 3,通过复习逐步提高观察和归纳分析能力,体验数形结合的数学思想方法. 4,能依据已知条件确定二次函数的解析式,并能领悟用函数观点解决某些实际问题的基 本思路. 二、中考展望与热点透视 二次函数是每年中考的重点知识,是每卷必考的主要内容,主要考查二次函数的图象、 性质及应用,这些知识是考查学生综合能力,解决实际问题的能力.因此函数的实际应用和几 何、方程所组成的综合题是中考的热点问题. 三、中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的内容之一,题量约占全部试题的 10%~15%,分值约占总分 的 10%~15%,题型既有低档的填空题和选择题,又有中档的解答题,更有大量的综合题, 近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、 函数应用题,这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法,全面地考查学生的计算能 力,逻辑思维能力,空间想象能力和创造能力. 针对中考命题趋势,在复习时应首先理解二次函数的概念,掌握它们的性质和图象的意 义,还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系,此外对各种函数的综合应用还应多加 练习. 四、思想方法 数学思想方法是数学解题的灵魂,所以复习二次函数这部分知识注意下列几种数学思想方法 的运用:一是从特殊到一般的思想方法;二是数形结合的思想;三是数学建模的思想;四是 平移变换的思想方法等等.

二次函数的图象及性质
本部分主要学习了二次函数 y=ax2,y=a(x-h)2,y= a(x-h)2+k 的图象和性质,学习过 程中应注意以下问题: 1.在研究抛物线时,要特别注意抛物线是轴对称图形,注意利用它的轴对称性. 2.对于二次函数性质的掌握,不可死记硬背,要结合图象理解和掌握二次函数的几个特 征:如开口方向、顶点坐标(或位置) 、对称轴、函数的增减性、最值、与 x 轴的交点等. 一、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴的位置、与坐标轴交点坐标 抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴的位置、 例1 抛物线 y=3(x-1)2+1 的顶点坐标是( B. (-1,1) C. (-1,-1) ) D. (1,-1)

A . (1,1) 例2 例3

抛物线 y=2x2+4x+5 的对称轴是 x=__________. 二次函数 y=x2+x-6 的图象与 x 轴交点的横坐标是( B.-2 和 3 C.2 和 3 )

A .2 和-3

D.-2 和-3

二、由抛物线的一些条件来确定不惟一的表达式 例4 请选择一组你喜欢的 a、b、c 的值,使二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象同时满

足下列条件:①开口向下;②当 x<2 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>2 时,y 随 x 的增大而 减小.这样的二次函数的关系式可以是_____________. 三、根据抛物线的增减性,由 x(或 y)来了解一些对应 y(或 x)的取值情况 根据抛物线的增减性, ( ) ( ) 例5
? 13 ? ?5 ? 若 A ? ? ,y1 ? , B (?1,y2 ) , C ? ,y3 ? 为二次函数 y = ? x 2 ? 4 x + 5 的图象上的三 ? 4 ? ?3 ?

点,则 y1、y2、y3 的大小关系是( A .y1<y2<y3 例6 B.y3<y2<y1

) C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3

小明从图 1 的二次函数 y=ax2+bx+c 图象中,观察得出了下面的五条信息:

①a<0,②c=0,③函数的最小值为-3,④当 x<0 时,y>0,⑤当 0<x1 <x2<2 时,y1>y2.你认为其中正确的个数为( A .2 B.3 C.4 D.5 )

四、同一坐标系下,抛物线和其它函数图象的共存问题 同一坐标系下, 例7 可能为( 在同一直角坐标系中, 一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2+bx 的图象 )

注:我们为了帮助大家掌握此类问题的解法,对每一个选项进行了一一分析.当然,在 考试中我们为了节约时间,如果能够分析出选项 A 是可以共存于同一个坐标系中,且四个选 项中只有一个正确,那么后面的选项就不用再一一分析了. 五、求函数关系式中参数的值 例8 若二次函数 y=ax2+2x+a2-1(a≠0)的图象如图 2 所示,则 a 的值是

________. 六、二次函数的平移 例9 是( 有 3 个二次函数,甲:y=x2-1;乙:y=-x2+1;丙:y=x2+2x-1,则下列叙述中正确的 ) A .甲的图象经过适当的平行移动后,可以与乙的图象重合 B.甲的图象经过适当的平行移动后,可以与丙的图象重合 C.乙的图象经过适当的平行移动后,可以与丙的图象重合 D.甲、乙、丙 3 个图象经过适当的平行移动后,都可以重合 七、应用 例 10、 (2006 鄂尔多斯课改)某产品每件成本 10 元,在试销阶段每件产品的日销

售价 x (元)与产品的日销售量 y (件)之间的关系如下表:
x (元)

20 30

25 25

30 20

35 15

LL LL

y (件)

(1)在草稿纸上描点,观察点的分布,确定 y 与 x 的函数关系式. (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少 元?

例 11、 (06 深圳市)如图,抛物线 y=ax2-8ax+12a(a<0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,抛物线上另有一点 C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA∽△OBC. (1)求线段 OC 的长. (2)求该抛物线的函数关系式. (3)在 x 轴上是否存在点 P,使△BCP 为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的 P 点的坐标;若不存在, 请说明理由. 解析: (1)令 ax2-8ax+12a=0,解得 x1=2,x2=6,

即 OA=2,OB=6,因△OCA∽△OBC,则 OC2=12。解得 OC= 2 3 ,即线段 OC 的长为 2 3 。 (2)因已知 A、B 两点的坐标,故设该抛物线的解析式为 y=a(x-2) (x-6) ,再设法求出 a 的 值 即 可 ,由 △ OCA∽△ OBC 得

AC OA 2 1 = = = , 设 AC=k, 则 BC= 3 k , 由 已知 得 BC OC 2 3 3

2 2 2 2 2 2 AC +BC =AB ,即 k +( 3 k) =4 ,解得 k=2,则 AC=2,BC=2 3 =OC,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则

1 根据等腰三角形的性质可得 OD= OB=3,所以 CD= OC 2 ? OD 2 = 3 ,即 C(3, 3 )将其代 2
入抛物线的解析式 y=a(x-2) (x-6)得 a=-

3 。则该抛物线的函数解析式为:y=- 3

3 2 8 3 x+ x- 4 3 。 3 3
(3)本题为关于等腰三角形的探究题,须对点 P 的位置进行讨论求解:①当 P1 与 O 重合时,△ BCP1 为等腰三角形,则 P1(0,0) ,②当 P2B=BC 时(P2 在 B 的左侧) ,△BCP2 为等腰三角形, 可得 P2(6-2 3 ,0) ,③当 P3 为 AB 的中点时,P3B=P3C,△BCP 为等腰三角形,可得 P3(4, 0) 。④当 BP4=BC 时(P4 在 B 的右侧) ,△BCP4 为等腰三角形,则 P4(6+2 3 ,0) ,由此可知在 x 轴上存在点 P,使△BCP 为等腰三角形,符合条件的点 P 的坐标为: (0,0)(6-2 3 ,0) , , (4,0)(6+2 3 ,0) , 。 点评: 此类题求解需根据已知条件结合方程等知识求解,在确定函数解析式时应根据所给条 件的特点去选择解析式的形式,求解探究性问题应考虑全面,有时需先假设所探究的结论存 在,再沿着这个思路结合有关知识求解,根据得出结果去判断假设是否正确。 例 12、已知两个关于 x 的二次函数 y1 与 y2,y1=a(x-k)2+2(k>0) 1+y2=x2+6x+12;当 x=k ,y 时,y2=17;且二次函数 y2 的图象的对称轴是直线 x=-1. (1)求 k 的值. (2)求函数 y1、y2 的关系式. (3)在同一直角坐标系内,问函数 y1 的图象与 y2 的图象是否有交点?请说明理由.

例 13、

如图 10,在矩形 ABCD 中,AD=12,AB=8,在线段 BC 上任取一点 P,连接 DP,

作射线 PE⊥DP,PE 与直线 AB 交于点 E. (1)设 CP=x,BE=y,试写出 y 关于 x 的函数关系式. (2)当点 P 在什么位置时,线段 BE 最长?

专题训练(一) 专题训练( 一、填空题 1.将抛物线 y=x2 向左平移 4 个单位后,再向下平移 2 个单位,则此时抛物线的函数关系 式是________. 2.抛物线 y=(x-1)2+3 的顶点坐标为_________. 3. 已知二次函数 y=-x2+2x+c2 的对称轴和 x 轴相交于点 (m, , m 的值为__________. 0) 则 4.已知二次函数的图象开口向上,且顶点在 y 轴的负半轴,请你写出一个满足条件的 二次函数关系式__________. 5.如图 3,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象过正 方形 ABOC 的三顶点 ABC,则 ac 的值是_______. 6.抛物线 y=-2x2-4x+1 的顶点关于 x 轴对称的点的坐标是__________. 7.开口向下的抛物线 y=(m2-2)x2+2mx+1 的对称轴经过点(-1,3) , 则 m=___________. 8.函数 y=x2+bx-c 的图象经过点(1,2) ,则 b-c 的值为___________. 二、选择题 9.如图 4,抛物线的函数关系式是( A .y=x2-x+2 C.y=x2+x+2 B.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+2 )

10.已知 y=2x2 的图象是抛物线,若抛物线不动,把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 个 单位,那么在新坐标系下抛物线所对应的函数关系式是( )

A .y=2(x-2)2+2 C.y=2(x-2)2-2

B.y=2(x+2)2-2 D.y=2(x+2)2+2 )

1 11.二次函数 y = ( x ? 4) 2 + 5 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( 2 A.向上、直线 x=4、 (4,5) B.向上、直线 x=-4、 (-4,5)
C.向上、直线 x=4、 (4,-5) D.向下、直线 x=-4、 (-4,5)

12.已知函数 y=x2-2x-3 的图象如图 5 所示,根据其中提供的信息,可求得使 y≥0 成立 的 x 的取值范围是( A.-1≤x≤3 C.x≥-3 三、解答题 13.求二次函数 y=x2-2x-1 的顶点坐标及它与 x 轴的交点坐标. ) B.-3≤x≤1 D.x≤-1 或 x≥3

14.已知二次函数 y=x2+4x, (1)利用配方法把该函数化为 y=a(x-h)2+k(其中 a、h、k 都是常数,且 a≠0)的形式, 并指出函数图象的对称轴和顶点坐标. (2)函数图象与 x 轴的交点坐标.

15.抛物线 y=-x2+(m-1)x+m 与 y 轴交于(0,3)点. (1)求出 m 的值并在图 6 中画出这条抛物线. (2)求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标. (3)x 取值什么值时,抛物线在 x 轴上方? (4)x 取什么值时,y 的值随 x 的增大而减小?


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