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3“数列”类题目的审题技巧与解题规范


“数列”类题目的审题技巧与解题规范

[技法概述] 有 的 数学 题 条件 并不 明显,而寓于概念、 存于 性质或含于图中,审题时, 就要注意深入挖掘这些隐 含条件和信息,解题时,可 避免因忽视隐含条件而出

现错误. [适用题型] 在高考中,有以下几种解答题用到此种审题方法: 1.利用导数研究函数性质时,应注意函数定义域; 2.求等比数列

前 n 项和应注意公比 q 的值,研究数列 的性质时,应注意 n 的取值; 3.观察三视图时,应注意平行与垂直.

[典例] (2013· 湖北高考)(本题满分 12 分)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2, S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不 存在,说明理由.

[ 解题流程]
第一步 设出公比 q ,列出关 于 a1,q 的 方程组,求 出 a1,q.

?解:?1?设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0. ? ?S2-S4=S3-S2, ?由题意得? ?a2+a3+a4=-18, ? -a1q2-a1q3=a1q2, ?即? ? ? ?a1q?1+q+q2?=-18, ? a1=3, ?解得? ? ?q=-2. ?
1

[失分警示]

??1分? ??2分? ??4分?

不注意 a1,q 的 范围,导致扣分.

第二步 根据所求,利用 公式求出 an.
第三步 利用 (1)的结论求出 Sn ,将问题转化为 (-2)n≤-2 012.
? ? ?

故数列{an}的通项公式为an=3×?-2?n 1.??5分?


[1-?-2? ] ??2?由?1?有S =3· =1-?-2?n.??7分? n ? 1 -? - 2 ? ? Sn≥2 013, ?若存在n,使得 n ?则1-?-2? ≥2 013, ?即?-2?n≤-2 012. ??8分? ?

n

对 n 的值不讨论, 盲目得出结论 . 即只写 出 n 为奇数情况忽略 n 为偶数,导致失分. 第四步 对 n 的取值 讨论, 确定 n 的值.
?解:?1?设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0. ? ?S2-S4=S3-S2, ? ??1分? ?由题意得? a2+a3+a4=-18, ? ?-a1q2-a1q3=a1q2, ? 即? ??2分? ? ?a1q?1+q+q2?=-18, ? ?a =3, 1 ?解得? ??4分? ? ?q=-2.

?当n为偶数时,?-2? >0,上式不成立; ? n n ??10分? ?当n为奇数时,?-2? =-2 ≤-2 012, ?即2n≥2 012,则n≥11. ??11分? ? ?综上,存在符合条件的正整数n, ?且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.??12分? ?

n

1.已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*). (1)证明数列{an+1-an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 2?an-1? (2)记 bn= (n∈N*), 数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 求使 Sn>2 013 成立的 n 的最小值. an 解:(1)证明∵an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*), ∴an+1-an=2(an-an-1)(n≥2,n∈N*). ∵a1=2,a2=4,∴a2-a1=2≠0,
2

∴an-an-1≠0(n≥2,n∈N*), 故数列{an+1-an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+a1=2n 1+2n 2+2n 3+?
- - -

2×?1-2n 1? +21+2= +2=2n(n≥2,n∈N*), 1-2


又 a1=2 也满足上式,∴an=2n(n∈N*). 2?an-1? ? 1 1 * ?1- 1n?=2- n (2)由(1)知 bn= =2?1-a ? = 2 - (n∈N ), ? 2? an 2 1 n? 1 1- n 1 1 1 2 1? 1 ∴Sn=2n-?1+21+22+?+2n-1?=2n- =2n-2? ?1-2n?=2n-2+2n-1, 1 ? ? 1- 2 1 1 2 015 由 Sn>2 013 得,2n-2+ n-1>2 013,即 n+ n> , 2 2 2 1 ∵n∈N*,∴n+ n的值随 n 的增大而增大, 2 ∴n 的最小值为 1 008. 2.已知数列{an}满足 an+1= 2an ,且 a1=2. an+2

?1? (1)判断数列?a ?是否为等差数列,若是,请给予证明,若不是,请说明理由; ? n?

2+an ?1?n (2)若 bn= · ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an ?2?
?1? 解:(1)数列?a ?是等差数列,理由如下: ? n?

2an 1 1 1 ∵an+1= ,a ≠0,∴ = + , an+2 n an+1 an 2
?1? 1 1 ∴数列?a ?是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 ? n?

1 1 1 n (2)由(1)知, = +(n-1)· = , an 2 2 2 2+an ?1?n ? 2 ?1?n=(n+1)· ?1?n, +1?· bn= · = 2 a 2 ?2? an ? ? ? n ? ? ? 1?2 1 ?1?3+?+(n+1)· ?1?n, ∴Tn=2× +3×? + 4 × ?2? ?2? ?2? 2 1?2 1 ?1?3 ?1?4 ?1?n+1. T =2×? ?2? +3×?2? +4×?2? +?+(n+1)· ?2? 2 n ② ①

1? ?1?n-1? 1- 4? ?2? ? 1?2 ?1?3 1?n 1?n+1 1?n+ 1 ? ? ? ①-②得 Tn=1+?2? +?2? +?+?2? -(n+1)· -(n+1)? ?2? =1+ ?2? 2 1 1- 2
3

1

n+3 3 n+3 = - n+1 ,∴Tn=3- n . 2 2 2 3.(2014· 皖南八校联考)将数列{an}中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如

下数表: a1 a2 a4 a7 a3 a5 a8 a6 a9 a10

?? 记表中的第 1 列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn 为数列{bn}的 2 bn 前 n 项和,且满足 =1(n≥2,n∈N*). bnSn-S2 n
?1? (1)证明数列?S ?是等差数列,并求数列{bn}的通项公式; ? n?

(2)上表中,若从第 3 行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 4 为同一个正数.当 a81=- 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项的和. 91 解:(1)由已知,当 n≥2 时, 2bn 2=1, bnSn-Sn

2?Sn-Sn-1? 又 bn=Sn-Sn-1,所以 2=1, ?Sn-Sn-1?Sn-Sn 即 2?Sn-Sn-1? 1 1 1 =1,所以 - = . S -Sn-1Sn n Sn-1 2

又 S1=b1=a1=1,
?1? 1 所以数列?S ?是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? n?

n+1 1 1 2 故 =1+ (n-1)= ,即 Sn= . Sn 2 2 n+1 所以当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1= 1,n=1, ? ? 因此 bn=? 2 - ,n≥2. ? n ? n +1? ? (2)设表中从第 3 行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 12×13 因为 1+2+?+12= =78, 2 所以表中第 1 行至第 12 行含有数列{an}中的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第 3 列, 2 2 2 - =- . n+1 n n?n+1?

4

4 2 因此 a81=b13· q2=- .又 b13=- , 91 13×14 所以 q=2(舍去负值). 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, bk?1-qk? 1-2k 2 2 则 S= =- · = (1-2k)(k≥3). 1-q k?k+1? 1-2 k?k+1?

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