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直线与圆锥曲线的位置关系导学案


高中数学选修 2-1

编号 01-14

直线与圆锥曲线的位置关系 主编 一.学习目标 1.掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系,进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐 标之间的关系; 2.领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用; 3.理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧; 4.培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力. 二. 重点与难点 重点:直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用; 难点:等价转换、 “点差法”设而不求在解题中的灵活应用。 三、 学习方法指导 1、 在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时,不要仅由判别式进行判断,一定要注意二次 项的系数对交点个数的影响。 2、 涉及弦长问题时,利用弦长公式及韦达定理求解,涉及弦的中点及中点弦问题,利用点 差法较为简便。 3、 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。应用判别式,可以确定直线 和圆锥曲线的位置关系,确定曲线中的参数取值范围,求几何极值等。应用韦达定理,可以 解先相交时的弦长问题,弦的中点问题或最值问题 4、重视方程的思想,等价转换的思想,分类讨论的思想,数形结合的思想在解题中的运用 四.常考题型解读 题型一:直线与椭圆的位置关系: 例 1.椭圆 A.3 例 2.如果椭圆 A. x ? 2 y ? 0
x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4

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定稿

班级

组别



B. 11

C. 2 2

D. 10 )

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9

B. x ? 2 y ? 4 ? 0

C. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0

D. x ? 2 y ? 8 ? 0

题型二:直线与双曲线的位置关系: 例 3.已知直线 L : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 =4。 ⑴若直线 L 与双曲线 C 无公共点,求 k 的范围;
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⑵若直线 L 与双曲线 C 有两个公共点,求 k 的范围; ⑶若直线 L 与双曲线 C 有一个公共点,求 k 的范围; ⑷若直线 L 与双曲线 C 的右支有两个公共点,求 k 的范围;⑸若直线 L 与双曲线 C 的两支各 有一个公共点,求 k 的范围。

题型三:直线与抛物线的位置关系: 例 4.在抛物线 y 2 ? 2 x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与 P 到点 A(3,2) 的距离之和最小。

题型四:弦长问题: 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求,根 据根与系数的关系, 进行整体代入。 即当直线 ?斜率为k ? 与圆锥曲线交于点 A?x1 , y1 ? , ?x 2 , y 2 ? B 时,则 AB = 1? k 2 x1 ? x2 = 1? k 2 = 1?

?x1 ? x 2 ?2 ? 4 x1 x 2

1 1 y1 ? y2 = 1 ? 2 2 k k

? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系 得到两根之和,两根之积的代数式,然后再进行整体带入求解。 例 5.过双曲线
x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 ,倾斜角为 300 的直线交双曲线于 A、B 两点,求 AB 。 3 6

题型五:中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法: ⑴.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点斜 式得出弦的方程;
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⑵.设弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次 方程,用根与系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率 k,然后写出弦的方程; ⑶ . 设 弦 的 两 个 端 点 分 别 为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ? , 则 这 两 点 坐 标 分 别 满 足 曲 线 方 程 , 又

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ? ? 为弦的中点,从而得到四个方程,由这四个方程可以解出两个端点,从而 2 ? ? 2
求出弦的方程。 例 6.已知双曲线方程 2 x 2 ? y 2 =2。 ⑴求以 A ?2,1? 为中点的双曲线的弦所在的直线方程; ⑵过点 ?1,1? 能否作直线 L,使 L 与双曲线交于 Q1 , Q2 两点,且 Q1 , Q2 两点的中点为 ?1,1? ?如 果存在,求出直线 L 的方程;如果不存在,说明理由。

题型六:圆锥曲线上的点到直线的距离问题: 例 7.在抛物线 y 2 ? 64x 上求一点,使它到直线 L: 4 x ? 3 y ? 46 ? 0 的距离最短,并求这个最 短距离。

五.反馈练习 1.过点 A(1,0) 作倾斜角为

?
4

的直线,与抛物线 y 2 ? 2x 交于 M 、N 两点,则 MN =

2.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若

P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为
x2 y 2 ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 3.过椭圆 ? 5 4

则△OAB 的面积为 4.已知直线 L 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点, | AB |? 12 ,
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P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为( A.18 B.24 C.

) 36 D. 48

5.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标 原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x 6.设双曲线 B. y 2 ? ? 8x ) D. y 2 ? 8x

C. y 2 ? 4x

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率 2 a b
5 4

为(

).A.

B. 5

C.

5 2

D. 5

7.设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x 2 +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 L 与 E 相交于 b2

A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。⑴求 AB ⑵若直线 L 的斜率为 1,求 b 的值。

六.课后反思 1.这节课我的最大的收获是 2.我还存在的疑惑是 3.我对导学案的建议是

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