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考研数学线性代数强化习题-逆矩阵与初等矩阵


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模块四
Ⅰ经典习题
一.逆矩阵的计算

逆矩阵与初等矩阵

? 9 0 ?6 ? 1、设 A, B 均为三阶矩阵, E 是三阶单位矩阵,已知 AB ? 2 A ? 3B , A ? ? 0 15 0 ? , ? ? ? 0 0 21 ? ? ?
则 ? B ? 2E ?
?1

?

.

?0 ? ?0 2、设 A ? ? ... ? ?0 ?a ? n
3、设 M ? ?

a1

0

...

0 a2 ... ... ... ... 0 0 0 0 ... ...

0 ? ? 0 ? ... ? ,其中 ai ? 0, i ? 1, 2,?, n ,求 A ?1 . ? an ?1 ? 0 ? ?

?A B? ?1 可逆,其中 A, D 皆为方阵,求证: A, D 可逆,并求 M . ? ? 0 D?

二.伴随矩阵
4、设 A 为正交矩阵,则下列矩阵中不为正交矩阵的是( (A) A
T

). (D) 2 A

(B) A

2

(C) A

*

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5、设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵,则下列等式中,必定成立的是( (A) ? A ? B ?? A ? B ? ? A ? B
2 2



(B) ? A ? B ?
*

?1

? A?1 ? B ?1

(C) A ? B ? A ? B 6、设 A为n 阶可逆矩阵 (n ? 2) ,则 ( A )* ? (A) | A | A
?1 ?1

* * (D) ? AB ? ? B A

(B) | A | A
*

(C) | A | A

?1

?1

(D) | A | A
T

?1

7、已知三阶矩阵 A 的行列式为 ?3 , A 为 A 的伴随矩阵, A 为 A 的转置,如果 kA 的逆矩 阵为 A* ?

1 T ?1 A A ,则 k ? 2

.

? 8、已知 ABC

?1 ? D , 其 中 A ? ?0 ?0 ?

0

0? ?0 0 1 ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 ?1 0D , ? ? 0 2, 则 ? ,C ? ? 0 1 ? ?2 ? ? ? ? ? 0 1? 3 ?1 0 0 ? ? 0 0 ?

B* ? _____________.

?1 0 0 ? ? ? * * ?1 9、设 A ? 2 2 0 , A 为 A 的伴随矩阵,则 (A ) ? ? ? ? ?3 4 5? ? ?1 1 1 ? ? A* ? 1 1? ? ? B ? 1 2 3 10、设 A ? ? , ,则 ? ? ? ? ? 2 3? ?O ?1 4 9 ? ? ?
O? ? ? B* ?
*

.

.

?1 ? 0 11、假设 A ? ? ?0 ? ?0

2 1 0 0

3 2 1 0

4? ? 3? ,求 A 的所有代数余子式之和. 2? ? 1?
?1

?1 1 1 ? ? ? * 12、已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 A ? 1 2 1 ,试求其伴随矩阵 A 的逆矩阵. ? ? ? ?1 1 3? ?
13、设 A 为 n 阶可逆矩阵, A 为 A 的伴随矩阵,证明: ( A ) ? ( A ) .
*

* T

T *

14、设 A 为 n 阶方阵,则有 | A |?| (? A) |, (n ? 2) .
* *

15、 A 为 n(n ? 3) 阶非零实矩阵, Aij 为 A 中元素 aij 的代数余子式,证明:下列结论:

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(1) aij ? Aij ? A A ? E 且 A ? 1;
T

(2) aij ? ? Aij ? A A ? E 且 A ? ?1.
T

三.可逆性的讨论
16、下列命题中 ①如果矩阵 AB ? E, 则A 可逆且A ? B ; ②如果 n 阶方阵A, B 满足( AB) ? E, 则( BA) ? E ;
2 2 ?1

③如果方阵 A, B 均 n 阶不可逆,则 A ? B 必不可逆 ④如果方阵 A, B 均 n 阶不可逆,则 AB 必不可逆 正确的是( (A)②,④ ) (B)①,④

(C)②,③

(D)①,③

17、设 A, B 均为 n 阶矩阵,且 AB ? A ? B ,则下列命题中 ①若 A 可逆,则 B 可逆;②若 A ? B 可逆,则 B 可逆;③若 B 可逆,则 A ? B 可逆; ④ A ? E 恒可逆 正确的有( )个. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 18、设 A 为 m ? n 矩阵, B 为 n ? m 矩阵,且 m ? n 则必有( ) (A) AB ? 0 (C) AB ? BA (B) BA ? 0 (D) BA BA ? BA BA
T

19、已知 X , Y 是相互正交的 n 维列向量,证明 E ? XY 可逆.

四.矩阵方程
?1/ 5 ? 20、设三阶方阵 A 、B 满足关系式 A BA ? 6 A ? BA ,且 A ? ? 0 ? 0 ?
?1

0 ? ? 1/ 7 0 ? ,则 0 1/13 ? ? 0

B ? _____________.

?1 1 ?1? ? ? 2 21、 A ? 0 1 1 , 且 A ? AB ? E. 其中 E 是三阶单位矩阵,则 B ? ? ? ? ?0 0 ?1? ?

..

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22、设 (2E ? C B) A ? C ,其中 E 是 4 阶单位矩阵, A 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵,
T
T

?1

?1

?1 ?0 B?? ?0 ? ?0
则A? .

2 ?3 ?2 ? ?1 ? ?0 1 2 ?3? ,C ? ? ?0 0 1 2? ? ? 0 0 1? ?0

2 1 0 0

0 2 1 0

1? 0? ? 2? ? 1?

? 1 1 ?1? ? ? ? ?1 1? 23、设矩阵 A ? ?1 1 ? ? ,矩阵 X 满足 A X ? A ? 2 X ,其中 A 是 A 的伴随矩阵, ? ? 1 ?1 1 ? ?
则X ? .

?0 1 0? ? 1 ? 1? ? ? ? ? 24、已知 X ? AX ? B ,其中 A ? ? ? 1 1 1 ?, B ? ? 2 0 ? ,求矩阵 X . ? ? 1 0 ? 1? ? 5 ? 3? ? ? ? ? ? 1 2 ?2 ? ? ? * 25、设 A, B 满足 A BA ? 2BA - 8E ,其中 A ? ? 0 ?2 4 ? ,求 B . ?0 0 1 ? ? ?

五.初等变换与初等矩阵
? a11 ? 26 、 设 A ? a21 ? ? a31 ? a12 a22 a32 a13 ? ? a21 ? a23 ? , B ? ? ? a11 ? ? a31 ? a11 a33 ? ? a22 a12 a32 ? a12 a23 ? ?0 1 0 ? ? ? 0 0? , a13 ? , P 1 ? ?1 ? ?0 0 1 ? ? a33 ? a13 ? ? ?

?1 0 0 ? ? P2 ? ? ? 0 1 0 ? ,则必有( ? ?1 0 1 ? ?
(A) APP 1 2 ?B (C) PP 1 2A ? B



(B) AP 2P 1 ?B (D) P 2P 1A ? B

27、设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的 ?1 倍加到第 2 列

?1 1 0? ? ? 得 C ,记 P ? ? 0 1 0 ? ,则( ?0 0 1? ? ?
(A) C ? P AP
?1



(B) C ? PAP

?1

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(C) C ? P AP
T

(D) C ? PAP

T

28、设 A = ? α1 , α2 , α3 ? 为 3 阶矩阵, A ? 1 , B = ?α2 , α1 , 2α3 ? ,试计算 B A .
*

29、设 n 阶矩阵 A, B 等价,则下列说法中,不一定成立的是( (A) A ? 0 ,则 B ? 0 (B)如果 A 可逆,则存在可逆矩阵 P ,使得 PB ? E (C)如果 A ? E ,则 B ? 0 (D)存在可逆矩阵 P 与 Q ,使得 PAQ ? B



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Ⅱ参考答案
一.逆矩阵的计算
1、 【解析】 :由 AB ? 2 A ? 3B 移项并提公因式可得 A? B ? 2E ? ? 3B ? O . 再 在 等 式 两 边 同 时 加 上 6 E 可 得 A? B ? 2E ? ? 3? B ? 2E ? ? 6E , 也 即

? A ? 3E ?? B ? 2E ? ? 6E ,进一步有 ? ?
可知 ? B ? 2 E ?
?1

A ? 3E ? ? ? B ? 2E ? ? E . ? 6 ?

? 1 0 ?1? A ? 3E ? ? ? ? ?0 2 0 ? 6 ?0 0 3 ? ? ?

?0 ? ?0 2、 【解析】 : A ? ? ... ? ?0 ?a ? n

a1 0 ... 0 0

0

...

a2 ... ... ... 0 0 ... ...
...

0 ? ? 0 ? ?0 ... ? ? ? ? ?C an ?1 ? 0 ? ?

B? 0? ?

? a1 0 ? a2 其中 C ? (an ) , B ? ? ? ... ... ? ?0 0 ? a1?1 ? ?1 ?1 ?1 则 C ? (an ) , B ? ? ? ... ? ? 0 ?
又因为
?1

0 ? ? ... 0 ? ... ... ? ? ... an ?1 ? 0 ... ?1 a2 ... ... ... 0 ? ? ? ? ? ?1 ? ... an ?1 ? 0 0 ...
A?1 ? ? O ?

? O ?O B ? ? ? ? ? ?1 ? A O? ?B

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? ?0 ? ?1 ?a 1 ?1 C ? ? ??? O ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? 0 0 1 a2 ? 0 0 ... 0 ... 0 ... ? 0 0 0 1? an ? ? ? 0? ? ?. 0? ? ? ? ? 0? ? ?

故A

?1

? O ? ? ?1 ?B

? 1 0 ... an ?1

3、 【解析】 : M 可逆 ? M ? A . D ? 0 ? A ? 0, D ? 0 ? A, D 可逆. 设 M 的逆矩阵为 M ?1 ? X ? ?

? X1 ? X3

X2 ? ? E1 0 ? ,由于 MX ? ? ? ? ,得 X4 ? 0 E ? 2?

?1 ? AX 1 ? BX 3 ? E1 ? X 1 ? A ? AX ? BX ? O ? ?1 ?1 ? A?1 ? 2 ? X 2 ? ? A BD 4 ,所以 M ?1 ? ? ?? ? DX 3 ? O ?O ? ?X3 ? O ? 1 ? ? DX 4 ? E2 ? ?X4 ? D

? A?1 BD ?1 ? ?. D ?1 ?

二.伴随矩阵
4、 【答案】 : (D) 【解析】 : A 为正交矩阵,可知 AA ? A A ? E .
T T

因此, A

T

?A ?

T T

? AT A ? E , ? AT ? AT ? AAT ? E ,可知 AT 为正交矩阵.
T T

A2 ? A2 ? ? A ? AAT ? AT ? AAT ? E , ? A2 ? A2 ? AT ? AT A? A ? AT A ? E ,故 A2 也为正
T

交矩阵.

A* ? A A?1 ? A AT


2



A* ? A* ? ? A AT ? A A? ? A AT A ? A E
T 2 2 2
2



?A ?

* T

A* ? ? A A? A AT ? A AAT ? A E . 由 AAT ? AT A ? E 可 知 , A ? 1 . 因 此
T T

A* ? A* ? ? ? A* ? A* ? E .可知 A* 也为正交矩阵.
T 最后, 2 A ? 2 A ? ? 4 AA ? 4 E ,可知 2 A 不为正交矩阵. T

5、 【答案】 : (D) 【解析】 :

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? AB ?

*

? AB ? AB ? ? A B B ?1 A?1 ? B* A*
?1

同时,易知其余选项均不成立,故选(D). 6、 【答案】 : (D) 【解析】 :当 B为n 阶可逆矩阵时,有 B* ?| B | B?1 ,故 、 (B) 、 (C)都不对. ( A?1 )* ?| A?1 | ( A?1 )?1 ?| A?1 |? A ,从而(A) 【评注】 :当 A 为 n 阶可逆矩阵时,一般直接使用公式 A* ?| A | A?1 . 7、 【答案】 :?

8 21
3 3

1 3 ?1? ?1? 【解析】 :由于 A ? ?3 ,可知 AT ? ? ? AT ? ? ? A ? ? , A* ? A A?1 ? ?3A?1 . 2 8 ?2? ?2?
也即 kA 的逆矩阵为 A* ?

1 T ?1 21 A A ? ? A?1 . 2 8
?1

由逆矩阵的公式可得: ? kA ?

? k ?1 A?1 ,可知 k ? ?

8 . 21

? 0 0 ? 2? ? ? 8、 【答案】 : ? 0 ?3 5 ? ? ?6 3 ? 3 ? ? ?
【解析】 :B
?1

?

B* |B|

B* ?| B | B ?1
1 ? 3 ? ? 1 5? ? 2 6? ? 1 1? ? ? 2 2? 0

? ?0 ? ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 B ? ( A DC ) ? C ? D ? A ? ? 0 ? ? ? ?1 ? ? ?0 ? ? 所以 B* ? ?6 0 ? ? ? ?1 ? 0

1 ? 3 ? ? 0 0 ? 2? ? 1 5? ? ? ? ? ? 0 ?3 5 ? 2 6? ? ?6 3 ? 3 ? ? ? 1 1? ? ? ? 2 2?

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?1 ?10 ? 1 9、 【答案】 :? ?5 ? ?3 ?10 ? 0 1 5 2 5 ? 0? ? 0? ? ? 1? 2? ?
0 1 5 2 5 ? 0? ? 0? ? ? 1? 2? ?

?1 ?10 ? A ?1 * ?1 * ?1 ? 【解析】 : A ? A A ? (A ) ? A ?5 ? ?3 ?10 ?
10、 【答案】 :?

? 4A O ? ? ? O 2B ?

【解析】 :易知 A 与 B 均可逆,可知 ?

? A* ?O

O? ? 也可逆,故 B* ?
O ? ? ? 1 ? ? B* ? ? ?

? A* ? ?O

O? A* ? ? B* ? O
2?1

*

O B*

? A* ? ?O

?1 ? ? A* ??1 O? * * ? ? ? A B ? B* ? ? O ?

? A

B

3?1

? A ?1 A ? ? O ?

O ? ? 4A O ? ??? ? ?1 O 2B ? B B? ? ?
*

11、 【分析】 :伴随矩阵的元素就是矩阵 A 的所有代数余子式,计算出 A ,再将所有元素 相加即可.

? 1 ?2 1 0 ? ? ? 0 1 ?2 1 ? ?1 ?1 ? 【解析】 :先计算出 A ? ,由于 A ? 1 ,可知 ? 0 0 1 ?2 ? ? ? ?0 0 0 1 ? ? 1 ?2 1 0 ? ? ? 0 1 ?2 1 ? * * ? . A 的所有代数余子式之和即为 A 所有元素之和,应填 0 . A ? ? 0 0 1 ?2 ? ? ? ?0 0 0 1 ?
12、 【解析】 :(A )
* ?1

? ? A A?1 ? ? A?1 ( A?1 )?1 .计算可得 A?1 ? 2 ,
?1

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? 5 ? 2 ? ( A?1 ) ?1 ? ? ?1 ? 1 ?? ? 2 1? ?1 ? ? ? 5 ?2 ?1? 2 ? ? ? * ?1 1 0 ? .故 ( A ) ? ? ?2 2 0 ? . ? ?1 0 1 ? 1 ? ? ? 0 ? 2 ?

13、 【证明】 : ( A* )T ? (| A | A?1 )T ?| A | ( A?1 )T ?| A | ( AT )?1 ?| AT | ( AT )?1 ? ( AT )* 14、 【证明】 :设 A ? (aij ), | A | 的元素 aij 的代数余子式 Aij ,则 | ? A | 的元素 ? aij 的代数余 子式 为 Bij ? (?1)
n?1
*

Aij . 于是, (? A)* ? (?1)n?1 A* .
n?1

所以, | (? A) |?| (?1)

A* |? [(?1)n?1 ]n | A* | ?| A* | .
* ?1

【评注】 : 本题没有说明 A 为可逆矩阵, 故不能使用公式 | A |? A A . 如果加上条件 A 为 可逆矩阵,也可以这样求解 (? A) ? ? A ? ? A ?
* ?1

? ? ?1? A ? ? A?1 ? ? ? ?1?
n

n ?1

A* ,故

(? A)* ? ? ?1?

n ?1

A* ? ?? ?1? ?

n?1 n

? A* ?| A* | . ?
T *
*

T * 15、 【证明】 : (1)当 aij ? Aij 时,有 A ? A ,则 A A ? A A ? A E. 由于 A 为 n 阶非零

实矩阵,即 aij 不全为 0,所以 tr AA

?

T

? ? ?? a
i ?1 j ?1

n

n

2 ij

? 0. 而 tr ? AAT ? ? tr ? A E ? ? n A ,这
? 1, A ? 1.
T

T 说明 A ? 0. 在 AA ? A E 两边取行列式,得 A
T

n?2

* 反之,若 A A ? E 且 A ? 1 ,则 A A ? A E ? E 且 A 可逆,于是, A A ?

A* A, AT ? A* , 即 aij ? Aij .
T * (2) 当 aij ? ? Aij . 时, 有 A ? ?A , 则 A A ? ? A A ? ? A E. 由于 A 为 n 阶非零实矩阵,
T *
n n

即 aij 不全为 0, 所以 A ?
T

? aij Aij ? ?? aij2 ? 0. 在 AT A ? ? A E 两边取行列式得 A ? ?1.
i ?1 i ?1

T * * 反之,若 A A ? E 且 A ? ?1 ,由于 A A ? A E ? ?E ,于是, A A ? ? A A. 进

一步,由于 A 可逆,得 A ? ? A ,即 aij ? ? Aij .
T *

三.可逆性的讨论
16、 【答案】 : (A) 【解析】 :①如果 A、B 均为 n 阶矩阵,命题当然正确,而现在的问题是题中没有 n 阶矩阵

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这一条件,故①不正确.例如

?1 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ?1 0 ? ?0 1 0 ? ?0 1 ? ? ?0 1? , ? ? ?0 0 ? ? ? ? ?
显然 A 不能讨论可逆性.类似地,对于 AB ? E ,虽然 | AB |? 1 ,但能否用行列式乘法公式 呢?应检查 AB 是否为 n 阶矩阵,有的考生不注意公式成立时的条件,随意用公式是不妥 的.

A, B 是 n 阶方阵, ( AB)2 ? E ,即 ( AB)( AB) ? E ,可知 A, B 均可逆.且 ABA ? B ?1 ,从
2 而 BABA ? E .即 ( BA) ? E .即②正确.

令A??

?1 0 ? ?0 , B?? ? ?0 0 ? ?0

0? , 2? ? ?1 0 ? ? 是可逆的,可知③不正确. ?0 2 ?

虽然 A, B 都不可逆,但 A ? B ? ?

由于 A, B 均 n 阶不可逆,知 | A |?| B |? 0 ,那么由行列式乘法公式知

| AB |?| A | ? | B |? 0
故 AB 必不可逆. ④正确. 【评注】 :若 A, B, C是n 阶矩阵,且 ABC ? E . 则 | A | ? | B | ? | C |? 1 ? A, B, C 均可逆.

那么

ABC ? E ? BC ? A ? BCA ? E
右乘C
?1

左乘A

?1

?1

右乘A

ABC ? E ? AB ? C ?1 ? CAB ? E
要学会这种“旋转”变形法. 17、 【答案】 : (D) 【解析】 : 当 A ? B 可逆时, AB ? A B ? 0 ,故 B ? 0 ,因此 B 可逆,可知②是正确的. 由于 ? A ? E ? B ? A ,可知当 A 可逆时, A ? E B ? 0 ,故 B ? 0 ,因此 B 可逆,可知① 是正确的. 类似地,当 B 可逆时, A 可逆,故 AB ? A B ? 0 ,因此 AB 可逆,故 A ? B 也可逆,

左乘C

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可知③是正确的. 最后,由 AB ? A ? B 可知 ? A ? E ? B ? A ? O ,也即 ? A ? E ? B ? ? A ? E ? ? E ,进一步有

? A ? E ?? B ? E ? ? E ,故 A ? E 恒可逆.可知④也是正确的.
综上,四个命题都是正确的,故选(D). 18、 【答案】 : (A) 【解析】 :由于 m ? n ,则有 r ? AB ? ? r ? A? ? n ? m ,可知矩阵 AB 不满秩,因此(A)正 确.由于 BA 是 n 阶矩阵,是否满秩无法确定,故不一定有 ,故(B)错误. BA ? 0 由于 A , B 不为方阵,因此没有等式 AB ? A B ? BA .事实上,由上面的讨论过程可知, 当 BA 满秩时,有 AB ? 0 ? BA ,故(C)不正确.

BA BA ? BA BA ? BA

n

n ?1

,可知,等式 BA BA ? BA BA 也不一定成立,故(D)错

误. 综上,唯一正确的选项是(A). 19、 【证明】 :方法一:记 A ? XY ,则 A2 ? XY T
T

?

?? XY ? ? X ?Y X ? Y
T T

T

? O ,于是 A 的

T 特征值全是零,那么 E ? A 的特征值全是 1 ,所以 E ? XY 可逆.

T T 2 方法二:令 A ? E ? XY , B ? XY ,由B ? O 有 ? A ? E ? ? O ,那么 A? 2E ? A? ? E ,
2

则 A ? E ? XY 可逆.
T

四.矩阵方程
?3 / 2 ? 20、 【答案】 : ? 0 ? 0 ?
?1

0 1 0

0 ? ? 0 ? 1/ 2? ?

【解析】 : A BA ? 6 A ? BA

( A?1 ? E) BA ? 6 A ( A?1 ? E) B ? 6E B ? 6( A?1 ? E )?1

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?1/ 5 ? A?? 0 ? 0 ?
?1

0 ? ? 1/ 7 0 ? 0 1/13 ? ? 0 0 6 0 0 1 0 0 ? ? 0 ? 12 ? ? 0 ? ? 0 ? 1/ 2 ? ?
2

?5 ? A ? ?0 ?0 ?
?1

0 7 0
?1

0? ? 0? 13 ? ? 0 ? ? 1/ 6 0 ? 0 1/12 ? ? 0

?4 ? A ? E ? ?0 ?0 ? ?3 / 2 ? B?? 0 ? 0 ?

? 1/ 4 ? ( A ? E) ? ? 0 ? 0 ?
?1

?1 ?1 21、 【解析】因 | A |? ? 0, 在 A ? AB ? E 两边左乘 A , 得 A ? B ? A . 即 B ? A ? A

?1

又由

?1 1 ? 1? ? A?? ?0 1 1 ? , ? ?0 0 ? 1? ?


?1 ?1 ?2 ? ? A ?? ?0 1 1 ? , ? ?0 0 ?1? ?
?1

从而

?1 1 ? 1? ?1 ? 1 ? 2? ?0 2 1? ? ? ? ? B?? 1 ? ?0 1 1 ? ? ?0 1 ? ? ?0 0 0 ? ? ?0 0 0 ? ? ?0 0 ? 1? ? ? ?0 0 ? 1 ? ? ?

?1 0 0 ? ?2 1 0 22、 【答案】 :? ? 1 ?2 1 ? ? 0 1 ?2

0? 0? ? 0? ? 1?
T

【解析】 :用矩阵 C 左乘已知矩阵方程的两端,有 (2C ? B) A ? E .对上式两端取转置,有

A(2CT ? BT ) ? E . 因为 A 是 4 阶方阵,故

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?1 ?2 T T ?1 A ? (2C ? B ) ? ? ?3 ? ?4 0 0 0? ?1 0 0 ? ? ?2 1 0 1 0 0? ?? ? 1 ?2 1 2 1 0? ? ? 3 2 1? ? 0 1 ?2
?1

0? 0? ?. 0? ? 1?

?1 1 0 ? 1? 0 1 1? 23、 【答案】 : ? 4? ? ?1 0 1 ? ?
【解析】 :由 AA? ? A E ,用矩阵 A 左乘方程的两端,有 A X ? E ? 2 AX ,即

( A E ? 2 A) X ? E .
据可逆定义,知 X ? ( A E ? 2 A)?1 .由于

1 1 ?1 ? 1 ?1 1 ? ? A ? ?1 1 1 ? 4 , A E ? 2 A ? 2 ? ? 1 1 ?1? , ? 1 ?1 1 ? ?1 1 1 ? ?


?1 1 0 ? 1? X ? ?0 1 1 ? ?. 4 ? ?1 0 1 ? ?
24 、 【解析】 : 由 X ? AX ? B 可 得 ? E ? A? X ? B ,容 易检验 E ? A 是 可逆的, 故有

? 0 2 1? ?1 ?1? ? 3 ?1? 1 ? ? ? ? X ? ( E ? A) ?1 B ? ? ?3 2 1? ? ?2 0 ? ? ?2 0 ? . 3? ? ? 0 ?1 1? ?? ? 5 ?3? ? ? ? 1 ?1? ?
25、 【解析】 :由于方程中有 A ,故可以考虑利用伴随矩阵的性质,乘以矩阵 A 进行化简: 给方程两边同时左乘 A 可得 A BA = 2ABA - 8A , 易知 A ? ?2 , 则有 -BA = ABA - 4 A . 再在该等式两边同时右乘易知 A 可得 -B = AB - 4E ,也即 ? A + E? B = 4E .
?1 *

这样 B = 4 ? A + E ?

?1

? 2 4 ?6 ? ? ? ? ? 0 ?4 8 ? . ?0 0 2? ? ?

五.初等变换与初等矩阵
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26、 【答案】 (C) 【解析】

P1 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵, P2 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得
初等矩阵,而 B 是由 A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到

C. 的,因此 PP 1 2 A ? B .故正确选项为
27、 【答案】 (B) 【解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P ,由初等变换与初等矩阵的关系,有

?1 ?1 0 ? B ? PA .令矩阵 Q ? ?0 1 0 ? ,则将 E 的第 1 列的 ?1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q ,于是 ? ? ? ? 0 0 1 ? ? ? 1 ?1 0 ? ? ? ?1 有 C ? BQ ,从而有 C ? PAQ ,由于 P ? 0 1 0 ? Q .所以, C ? PAQ ? PAP , ? ? ? ?0 0 1 ? ?
?1

故只有选项 B 正确. 28、 【解析】 :由题意易知,矩阵 B 是将矩阵 A 的第一列和第二列交换,再将 A 的第三列乘 以非零常数 2 得到的,则有

B = AE1,2E3 (2)

.

由于 A ? 1 ,由行列式的性质可知 B ? ?2 ,因此矩阵 A, B 都可逆. 可知 B = B B
* ?1 ?1 ?1? ?1 ? ?2 ? ? AE1,2E3 (2) ? ? ? ?2E3 ? 2 ? E1,2 A . ? ?

1? ?1? ?1 故 B* A ? ?2E3 ? ? ? E1,2 A A ? ?2E3 ? ? E1,2 ?2? ?2?

? ? ?1 ? ? 0 1 0 ? ? 0 ?2 0 ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ? 1 ? ? 1 0 0 ? ? ? ?2 0 0 ? . ? ? ? 1 ?? 0 0 1? ? ? 0 0 ?1? ? ?? ? 2?

29、 【答案】 (A) 【解析】 :两矩阵等价的充要条件是秩相同. 当 A 可逆时, 则有 r ? A? ? n , 因此有 r ? B ? ? n , 也即 B 是可逆的, 故 B B?E, 可见 (B )
?1

中命题成立. A ? E 的充要条件也是 r ? A? ? n ,此时也有 r ? B ? ? n ,故 B ? 0 ,可见(C) 中命题也是成立的. 矩阵 A, B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q ,使得 PAQ ? B ,可知(D)中命题也

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是成立的. 故唯一可能不成立的是(A)中的命题.事实上,当 A ? 0 时,我们也只能得到 r ? B ? ? n , 也即 B ? 0 ,不一定有 B ? 0 .故选(A).

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