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椭圆的定义与标准方程课件


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看完刚才的视频,请问: 行星绕太阳运动的轨迹是圆形 吗?如果不是圆,那又是什么 图形呢?

1、取一条定长的细绳子,把它的 两端都固定在图板的同一点处,套 上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖(动 点)画出的轨迹是一个圆。 2、如果把细绳的两端拉开一段 距离,分别固定在图板的两点 处,,套上铅笔,拉近绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么 曲线?

M

在这一过程中,你能说出 移动的笔尖满足的几何条件 吗?

F1

F2

作出M的轨迹图
M F1 F2

观察做图过程: 绳长应当大于 F1、F2之间的 距离。由于绳 长固定,所以 M 到两个定点 的距离和也固 定。

我们把平面内的两个定F1,F2的距 F1 离的和等于常数(大于F2 )的点的 轨迹叫做椭圆(ellipse)。 这两个定点叫做椭圆的焦点。

这两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距。

观察椭圆的形状,你 认为应该怎样选择坐标 系来表示椭圆的方程?
y

O

x

y

M

F1

0

F2

(1)椭圆的焦点在x轴 (2)焦点是F1(-C,0)、 F2(C,0) x (3)M不F1和F2的距离乊和为 2a。

即:P={M | MF1 ? MF2 ? 2a }

y

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
F1

2

2

M

0

F2

x

(1)椭圆的焦点在x轴 (2)焦点是F1(-C,0)、F2(C,0) (3) c 2 ? a 2 ? b2

y F2

M
F1 0

x

如图:如果焦点F1,F2 在y轴上,且F1,F2的坐标 分别为F1(0,-C)、F2 (0,C),a,b的意义同上, 那么椭圆的方程又是什么 呢?

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b a
(1)椭圆的焦点在y轴 (2)焦点是F1(0,-C), F2(0,C) (3) c 2 ? a 2 ? b 2

2

2

练习1:判定下列椭圆的焦点在?轴,并写出焦 点坐标
x2 y2 (1) ? ?1 25 16
x2 y2 (2) ? ?1 144 169

x2 y2 (3) 2 ? 2 ?1 m m ?1

练习2:将下列方程化为标准方程,并判定焦点在 哪个轴上,写出焦点坐标 。

(1)9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

(2) ? 2 x ? 3 y ? ?1
2 2

练习3:

Ax ? By ? C
2 2

在上述方程中,A、B、C满足什 么条件,就表示椭圆?

答: A、B、C同号,且A丌等于B

练习4:写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1) a=4,b=1,焦点在 x 轴上 (2)a=4,c=3,焦点在 y 轴上 (3)两个焦点的坐标是(-2,0) 和(2,0)并且经过点(2.5,1.5)

(1)椭圆的标准方程有几个?

答:两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。
(2)给出椭圆标准方程,怎样判断焦点在哪个轴上 答:在分母大的那个轴上。

Ax 2 ? By 2 ? C 什么时候表示椭圆 (3)

答: A、B、C同号,且A丌等于B。 (4)求一个椭圆的标准方程需求几个量? 答:两个。a、 b或a、c或b、c

P42 练习1、2


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