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湖南省雅礼中学2012届高三第五次月考试题(数学理)


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湖南省雅礼中学 2012 届高三第五次月考试

数学试题(理)
(考试范围:全部高考内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.在复平面内,复数 z ? (1 ? i ) i ( i 为虚数单位)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
1 ? x } ,则 A∩B 为

( D.第四象限 ( D. ( ?? ,1] (



2.若集合 A ? { y | y ? lg x } , B ? { x | y ? A.[0,1] B. (0,1]



C. [0, ? ? )
2

3.已知命题 p : ? x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q : ? x ? R , x ? 0 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? ( ? q ) 是假命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? ( ? q ) 是真命题



4.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 5 ? 8, S 8 ? 6, 则 S 9 ? S 4 的值是 A.24 B.36 C.42 D.48





5.已知 2 a ? b ? ( ? 1, 3 ), c ? (1, 3 ), 且 a ? c = 3 , | b | = 4 ,则 b 与 c 的夹角为 A.
?
6


2? 3



B.

?
4

C.

?
3

D.

6.已知某几何体的三视图如下图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为 ( )

A.

2? 3

?

1 2

B.

4? 3

?

1 6

C.

2? 6

?

1 6

D.

2? 3

?

1 2

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7.函数 f ( x ) ? sin ( x ?
2

?
4

) ? co s ( x ?
2

?
4

) ?1是

( B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 2 ? 的偶函数



A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 2 ? 的奇函数 8.已知 ? ? { ( x , y ) | y ? 0, y ?
2

4 ? x } ,直线 y ? m x ? 2 m 和曲线 y ?

4 ? x 有两个不同的交点,它
2

们围成的平面区域为 M,向区域Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M) ,若 ? ?2 P (M ) ? [ ,1] ,则实数 m 的取值范围为 ( ) 2? A. [ ,1]
2 1

B. [0 ,

3 3

]

C. [

3 3

,1]

D.[0,1]

二、填空题:本大题共 9 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号 后的横线上。 (一)选做题(请考生在 9、10、11、12 四题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.如右图,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD ? CE 于点 D,若 圆 O 的面积为 4 ? , ? A B C ? 30 ? ,则 AD 的长为 10. 在极坐标系下, 已知直线 l 的方程为 ? (co s ? ? 的距离为 。 。
?
3 ) ? 1 2

。 , 则点 M (1,
?
2 )到

直线 l

11.不等式 | x ? 2 | ? | 4 ? x |? 3 的解集是

12.一个爱好品茶的人,对泡某种茶时开水的温度用分数法进行优选,试验范围为 71℃—92℃,精确度要 求达到 ? 1℃,若最佳点为 75℃,则第三个试点为 ℃。 (二)必做题(13—17 题) 13.定积分 ?
ln 2 0

e d x 的值为

x



14.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 。 15.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学 甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 。 16.已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l ,过抛物线 C 上的点 A
2

生, 且

作 准 之 比

线 l 的垂线,垂足为 M,若 ? A M F 与 ? A O F (其中 O 为原点)的面积 为 3:1,则点 A 的横坐标为 。

17. 考查下面数字三角形阵, 其中数阵里面的每个数都是它上一行与之相邻两数字和, f ( n ) 为数阵第 n 设 行所有数字的和,则: (1) f ( n ) ? ; 。

(2) f (1 0 0 ) 被 100 除后的余数是

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin
x 2 co s x 2 ? 3 co s
2

x 2

.

(1)求函数 y ? f ( x ) 的零点; (2) 如果 ? A B C 的三边 a , b , c 满足 b ? ac , 且边 b 所对的角为 x , 求角 x 的取值范围及此时函数 f ( x )
2

的值域。

19. (本小题满分 12 分) 某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班” ,每班 50 人,学校采用 A、B 两种不 同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验,为了解教学效果,期末考试后,学校对甲、乙两 个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如下图) ,记成绩不低于 90 分者为“成绩优 秀” 。

(1)从乙班随机抽取 2 名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)根据频率分布直方图填写下面 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为: “成绩优秀”与教学 方式有关。 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计
K
2

乙班(B 方式)

总计

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )
2

P(K
k

? k)

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

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20. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ? A C B ? 90 ? ,AC=BC=4,D、E 分别为棱 AB,BC 的中点, M 为棱 AA1 上的点,二面角 M—DE—A 为 30 ? . (1)证明: A1 B1 ? C 1 D ; (2)求 MA 的长,并求点 A 到平面 MDE 的距离。

21. (本小题满分 13 分) 在综合实践活动中, 因制作一个工艺品的需要, 某小组设计了如图所示的一个门 (该图为轴对称图形) , 其中矩形 ABCD 的三边 AB、BC、CD 由长 6 分米的材料弯折而成,BC 边的长为 2t 分米 (1 ? t ?
3 2 );

曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线 C1 是一段余弦曲线(在如图所示平面直角坐标系中, 解析式为 y ? cos x ? 1 ) ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h1 ( t ) ;曲线 C2 是一段抛物线,其焦 点到准线的距离为
9 8

,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h 2 ( t ).

(1)试分别求出函数 h1 ( t ), h 2 ( t ) 的表达式; (2)要使得点 O 到 BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值 少? 是 多

22. (本小题满分 13 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为
3 2

的椭圆过点 ( 2 ,

2 2

).

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P、Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 求 ? O P Q 面积的取值范围。

23. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ? x log 2 x ? (1 ? x ) log 2 (1 ? x )(0 ? x ? 1) (1)求 f ( x ) 的最小值; ( 2 ) 设 正 数
p1 , p2 , ? 3 , p ,满 p

2

x



p1 ?

p2 ?

p3 ? ?

2

x

? 1p , ? 证

明 :

p1 lo g 2 p1 ? p 2 lo g 2 p 2 ? p 3 lo g 2 p 3 ? ? ? p 2 x lo g 2 p 2 x ? ? n .

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