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2.5.2等比数列前n项和


§2.5.2 等比数列的前 n 项和
【教材分析】 从教材的编写顺序上来看,等比数列的前 n 项和是第三章“数列”第五节的 内容,一方面它是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面 学习的函数等知识也有着密切的联系. 就知识的应用价值上来看, 它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一 个模型, 在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求

和问题 中有着广泛的应用. 等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想, 有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好 载体. 教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时,重 在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用, 教学中注重公式的形成推导 过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.
【学情分析】根据学生情况,教学中本着以学生发展为本的理念,充分给学生

想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台,通过他们自主学习、合作探究, 展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果,体验数学学习成功的喜悦.通过 师生之间不断合作和交流, 发展学生的数学观察能力和语言表达能力,培养学生 思维的发散性和严谨性. 【教学目标】 1.会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的 S n , an , a1 , n, q 中 知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力 2.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的 思想. 3.通过公式推导的教学, 对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的 科学态度.

【教学过程】
一、回顾公式,奠定基础 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②

二、知识运用,总结规律 例 1:已知一个项数时偶数的等比数列的首项为 1,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求这 个数列的公比和项数.

解 : 设此数列的公比为q, 项数为2n.

则q=

S偶 S奇

?

170 ?2 85
? 85,即 1 ? q 2n ? 85 1 ? q2

又 ? S奇 ?

a1 ?1 ? q 2 n ? 1 ? q2

? 2n ? 8, 即此数列共有8项.

例2:已知等比数列?an ?,a1 +a2 +a3 +a4 =4,a9 +a10 +a11 +a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值. 解 : 设等比数列?an ?为q

? a9 +a10 +a11 +a12 ? ? a1 +a2 +a3 +a4 ? ? q 8 ? q8 ? 4
?a17 +a18 +a19 +a20 ? (a9 +a10 +a11 +a12 ) ? q8 ? 64
3、设 a 为常数,求数列 a,2a ,3a ,?,na ,?的前 n 项和; (1)a=0 时,Sn=0 (2)a≠0 时,若 a=1,则 Sn=1+2+3+?+n=
n-1 n 2 3 n

1 n ( n ? 1) 2

若 a≠1,Sn-aSn=a(1+a+?+a -na ) ,Sn=

a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 2 (1 ? a )

三、高考真题,小试牛刀
1.(2010 年高考浙江卷文科 5)设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
3

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 A 2.(2010 年高考天津卷文科 15)设{an}是等比数列,公比 q ? 记 Tn ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。
。 【答案】4

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 = an?1

17
因为 Tn ?

a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q 2 n ) ? 17(1 ? q n ) ? (1 ? q 2n ) 1? q 1? q , , n ? N* = a1q n (1 ? q)q n

t 16 17 17(1 ? t ) ? (1 ? t 2 ) 16 ? 17t ? t 2 设 q ? t ,则有 Tn = = = ?[ ? ]? 2 ? 1 ( 2 ? 1)t 2 ?1 (1 ? 2)t (1 ? 2)t
n

? ?(

8 17 9 t 16 )? = ,当且仅当 ,即 t ? 4 ,所以当 Tn0 为数列 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? 1 ( 2 ? 1)t

{ Tn }的最大项时, n0 =4。 3.(2010 年全国高考宁夏卷 17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3? 2n?1 2 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时, (2)令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2
? 22( n?1) ?1 。
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而
5 7 22 ? Sn ? 1 2? ?2 2 ? 3 ?2 ? n ? ? 3 ? ? n?2



② 2 1

①-②得

(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 。


1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9


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