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第3讲:正弦、余弦、正切函数的图象与性质


第3讲
★学习指导★

正弦、余弦、正切函数的图象与性质

1.掌握正弦,余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过三角函数的图象 研究其性质. 2.掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间 等问题. 3.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用. ★基础梳理★ 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π ? ?3π ? (0,0),? ?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π ? ?3π ? (0,1),? ?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). 2.三角函数的图象和性质 函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

定义域

R

R

图象

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

π 对称轴:x=kπ+ (k∈Z) 2 对称性 对称中心: (kπ,0)(k∈Z)

对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称中心:

无对称轴

?kπ+π, ∈Z? 2 ? ?


?kπ,0?(k∈Z) 对称中心: ?2 ?

周期



π

1

单调增区间:

?2kπ-π ,2kπ+ π? 2 2? ?
单调性 (k∈Z); π 单调减区间:? ?2kπ+2 , 3π 2kπ+ 2 ? ?(k∈Z)

单调增区间[2kπ-π, 2kπ](k∈Z); 单调减区 间[2kπ,2kπ+ π](k∈Z)

π 单调增区间? ?kπ-2 ,kπ π + 2? ?(k∈Z)

奇偶性







两条性质 (1)周期性 2π π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围,根据正弦函数单 调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

双基自测
π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos? ?x+3?,x∈R( A.是奇函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 π ? 2.函数 y=tan? ?4-x?的定义域为(
? ? π x≠kπ- ,k∈Z? A.?x? 4 ? ? ? ? ? π ? C.?x? ?x≠kπ+4 ,k∈Z ? ? ?

).

B.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ).

? ? π x≠2kπ- ,k∈Z ? B.?x? 4 ? ? ? ? ? π ? D.?x? ?x≠2kπ+4 ,k∈Z ? 2

3.函数f ( x) ? sin(? x+

?
4

) (? ? 0)的周期是

2? ,则? = _________ 3
).

4、在[0,2 ? ]上,满足

sin x ?

1 2 的 x 取值范围是(

? ?? 0, ? ? 6? ? A.
y ? sin
5、函数

? ? 5? ? , ? ? 6 6 ? ? B.

? ? 2? ? , ? ? 6 3 ? ? C.

? 5? ? ,? ? ? 6 ? ?. D.

x a (a ? 0)的定义域为(



A.R

B.

??1,1?

? 1 1? ? , ? ? 3 3? ? C.

D.[-3,3]

例题解析
【例 1】(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域.

y ? tan(
(2)函数

?
4

? x)
的定义域是( )

A、{ x | x ? R 且

x??

?
4}
B 、{ x | x ? R 且

x?

3? 4 } 3? ,k ? z 4 }

C、{ x | x ? R 且

x ? k? ?

?
4

,k ? z
}

D、{ x | x ? R 且

x ? k? ?

【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域.

π? 【例 2】(2011· 大同模拟)函数 y=2cos2? ?x-4?-1 是( A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2

).

B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2 )

(2)函数 y ? tan3?x 的最小正周期是(

1 A、 3

2 B、 3

6
C、 ?

3
D、 ?

3

【训练 2】(1)求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x

② y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

),

x? R.
(2)设 a ? 0 ,则函数 y ? sin(ax ? 3) 的最小正周期为 ( )

A、

? a

B、

?
|a|

C、

2? a

D、

2? |a|


(3)函数 f ( x) ? 2 cos( A、13

kx ? ? ) ? 1 的周期不大于 2,则正整数 k 的最小值是( 4 3
C、11 D、10

B、12

(4)已知函数 y ? ?3 sin(

k ? x ? ) ? 1, (k ? 0) 3 6

(1)求最小正整数 k ,使函数周期不大于 2; (2)当 k 取上述最小正整数时,求函数取得最大值时相应 x 的值.

【例 3】下列函数有最值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合,并说出最大 值、最小值分别为什么?

?1? y ? cos x ? 1, x ? R ? 2 ? y ? ?3sin 2 x, x ? R

【训练 3】

4

【例 4】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:

?1? sin ? ??

? 23? ? ? 17? ? ? 2 ? cos ? ?? ? 与 cos ? ? ?. 5 4 ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 与 sin ? ? ?; 18 ? ? 10 ?

【训练 4】

2 函数 y=sinx,求 y ≥1/2 时自变量 x 的集合是_________________. 3 把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________
4 , sin ? 5

5 , ? cos ? 4

sin

, 32 ? 5

cos

5 ? 12

【例 5】

【训练 5】

5

作业

6


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