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江苏省宿迁市沭阳县银河学校2014-2015学年高一上学期第二次学情调研数学试卷


江苏省宿迁市沭阳县银河学校 2014-2015 学年高一上学期第二次 学情调研数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)集合 A.(1,2) ,N={x|x ≤4},则 M∩N=() B.(0,1) C.(1,2] D.
2

2. (5 分)下列命题中,正确的个数是() ①棱台上、下底面是相似

多边形,并且互相平行; ②若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥可以是六棱锥; ③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥; ④球是空间中到一定点的距离等于定长的点的集合. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 3. (5 分)设 A.(﹣3,4) ,

D.4 个

,那么下列各点在角 α 终边上的是() C.(4,﹣3) D.(3,﹣4)

B.(﹣4,3)

4. (5 分)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时, (x2 ﹣x1)<0 恒成立,设 a=f(﹣ ) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则 a、b、c 的大小关系为() A.c>a>b 5. (5 分)在 B.c>b>a B. ∪ C.a>c>b C.
2

D.b>a>c D.∪

6. (5 分)已知函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x +2,则 f(x) .g(x)的图象为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)函数 y= +log2(x+3)的定义域是() A.R +∞) B.(﹣3,+∞) C.(﹣∞,﹣3) D.(﹣3,0)∪(0,

8. (5 分)已知 A.(﹣1,0)∪(0,e) 0)∪(e,+∞) D.

的解集为() B.(﹣∞,﹣1)∪(e,+∞) C. (﹣1, (﹣∞,1)∪(0,e)

9. (5 分)设 a 是第四象限角,则下列函数值一定为负数的是() A.sin B.cos C.tan D.cos2α

10. (5 分)如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边 界上运动,并且总是保持 PE⊥AC.则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形是()

A.

B.

C.

D. ,∠ASC=∠BSC=30°, D.1

11. (5 分)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 则棱锥 S﹣ABC 的体积为() A.3 B. 2 C.

12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣ 2 (x+2) ,当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f=() A.335 B.338 C.1678 D.2012

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 x 13. (5 分)当 x>0 时,函数 f(x)=(a ﹣1) 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+1, (x∈N+)是增函数,则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)f(x)是定义在实数有 R 上的奇函数,若 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(﹣ 2)=.
2

16. (5 分)在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和 为定值.拓展到空间,类比平面几何的上述结论,可得:四个面均为等边三角形的四面体内 任意一点.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知 2loga(x﹣4)>loga(x﹣2) ,求 x 的取值范围. 18. (12 分)如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个 内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等. 相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发 现.我们来重温这个伟大发现: (1)求圆柱的体积与球的体积之比; (2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.

19. (12 分)已知关于 x 的二次方 x +2mx+2m+1=0,若方程有两根,一根在区间(﹣1,0) 内,另一根在区间(1,2)内,求实数 m 的取值范围. 20. (12 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由 B 沿棱柱侧面经过棱 C C1 到点 A1 的最短路线长为 2 , 设这条最短路线与 CC1 的交点为 D. (1)求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积; (2)在平面 A1BD 内是否存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行?证明你的判断; (3)证明:平面 A1BD⊥平面 A1ABB1.

2

21. (12 分)函数 f(x)=loga(a ﹣1) , ( 0<a<1) , (1)求 f(x)的定义域; (2)证明在定义域内 f(x)是增函数; x (3)解方程 f(2x)=loga(a +1)

x

22. (12 分)如图,已知点 B 在以 AC 为直径的圆上,SA⊥面 ABC,AE⊥SB 于 E,AF⊥SC 于 F. (Ⅰ)证明:SC⊥EF; (Ⅱ)若 SA=a,∠ASC=45°,∠AFE=30°,求三棱锥 S﹣AEF 的体积.

江苏省宿迁市沭阳县银河学校 2014-2015 学年高一上学 期第二次学情调研数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)集合 A.(1,2) ,N={x|x ≤4},则 M∩N=() B.(0,1) C.(1,2] D.
2

考点: 其他不等式的解法;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出集合 M 中函数的定义域,确定出 M,求出集合 N 中不等式的解集确定出 N, 找出两集合的公共部分,即可确定出两集合的交集. 解答: 解:由集合 M 中的函数 y= ,得:x﹣1≥0,即 x≥1,

∴M=, 则 M∩N=. 故选 D 点评: 此题考查了交集及其运算,以及其他不等式的解法,是一道基本题型. 2. (5 分)下列命题中,正确的个数是() ①棱台上、下底面是相似多边形,并且互相平行; ②若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥可以是六棱锥; ③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥; ④球是空间中到一定点的距离等于定长的点的集合. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 考点: 命题的真假判断与应用.

D.4 个

专题: 证明题. 分析: 画出符合题意得几何体判断出①正确,因为棱台是由平行于底面的平面截得的; 再判断出②不正确;根据圆锥的定义判断出③不正确;根据球的几何特征判断出④正确. 解答: 解:①正确,因为棱台是由平行于底面的平面截得的. ②正六棱锥的侧面构成等边三角形,侧面的六个顶角都为 60°,则六个顶角的和为 360°,这 样一来,六条侧棱在同一个平面内,这是不可能的,故②不正确; ③根据圆锥的定义知:一个直角三角形以直角边为轴得到的旋转体必定是圆锥,若以斜边 为轴得到的旋转体是两个底面相同的圆锥,故③不正确; ④空间中到一定点的距离等于定长的点的集合构成球,故④正确. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查了棱台(锥) 、圆锥、球的结构特征,空间 想像能力对正确解本题很重要, 准确理解几何体的定义, 是真正把握几何体结构特征的关键.

3. (5 分)设 A.(﹣3,4)



,那么下列各点在角 α 终边上的是() C.(4,﹣3) D.(3,﹣4)

B.(﹣4,3)

考点: 任意角的三角函数的定义;象限角、轴线角;三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 利用三角函数的定义有 sinα= ,cosα= ,从而可知选项. 解答: 解:由于 , ,根据三角函数的定义:sinα= ,cosα= ,可知

x=﹣4,y=3, 故选 B. 点评: 本题主要考查了三角函数的定义.考查了学生对三角函数基础知识的掌握. 4. (5 分)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时, (x2 ﹣x1)<0 恒成立,设 a=f(﹣ ) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则 a、b、c 的大小关系为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

考点: 函数恒成立问题;函数的图象. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,可得函数 f(x)关于 x=1 对称;由当 x2>x1>1 时, ( x2﹣x1)<0 恒成立,可得函数 f(x)在(1,+∞)上为 单调减函数,利用单调性即可判定出 a、b、c 的大小. 解答: 解:∵函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称, ∴函数 f(x)关于 x=1 对称 ∴a=f(﹣ )=f( ) , ∵当 x2>x1>1 时, ( x2﹣x1)<0 恒成立 ∴f (x2)﹣f (x1)<0,即 f (x2)<f (x1) ∴函数 f(x)在(1,+∞)上为单调减函数

∵1<2< <3 ∴f(2)>f( )>f(3)即 b>a>c 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的单调性应用,以及函数的对称性的应用,属于中档题. 5. (5 分)在 B. ∪ C. D.∪

考点: 正弦函数的图象. 专题: 计算题;作图题;三角函数的求值. 分析: 作出单位圆,由三角函数的定义可得到 x 的取值范围. 解答: 解:作图如右图, 则由图可知, sinx≥ 的 x 的取值范围是, 故选 C.

点评: 本题考查了三角函数的定义,属于基础题. 6. (5 分)已知函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x +2,则 f(x) .g(x)的图象为()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 由题意,函数 f(x)=log2|x|是偶函数,g(x)=﹣x +2 是偶函数,且 x→0 时,f(x) <0,g(x)>0,从而用排除法得到答案. 解答: 解:由已知可得, 函数 f(x)=log2|x|是偶函数,g(x)=﹣x +2 是偶函数, 故排除 A、D, 当 x→0 时,f(x)<0,g(x)>0, 故选 C. 点评: 本题考查了函数的图象的判断,通常用排除法.
2

7. (5 分)函数 y= +log2(x+3)的定义域是() A.R +∞) B.(﹣3,+∞) C.(﹣∞,﹣3) D.(﹣3,0)∪(0,

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 使该函数有意义,需要对数的真数大于 0,同时需要分母不等于 0,据此即可求出 函数的定义域. 解答: 解:要使原函数有意义,只需 ,

解得 x∈(﹣3,0)∪(0,+∞) ,所以原函数的定义域为(﹣3,0)∪(0,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查了函数定义域的求法,解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意 义,属基础题.

8. (5 分)已知 A.(﹣1,0)∪(0,e) 0)∪(e,+∞) D.

的解集为() B.(﹣∞,﹣1)∪(e,+∞) C. (﹣1, (﹣∞,1)∪(0,e)

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的性质. 专题: 综合题;转化思想;综合法. 分析: 本题函数是一个分段函数,解此类不等式应分段求解,然后再取它们的并集 解答: 解:由题意,当 x>0 时,有 lnx>1=lne,解得 x>e 符合题意 当 x<0 时,x+2>1,得 x>﹣1,故有﹣1/,x<0 综上知不等式的解集是(﹣1,0)∪(e,+∞) 故选 C 点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点,求解的关键是理解分段函数型不等 式求解 的原理,以及利用对数的单调性解不等式,本题属于基本性质运用题.

9. (5 分)设 a 是第四象限角,则下列函数值一定为负数的是() A.sin B.cos C.tan D.cos2α

考点: 三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 举出第四象限的两个角度, 求出半角和二倍角, 检验角的正弦, 余弦与正切的正负, 只要有负数的情况出现,就可以得到结果. 解答: 解:当 α=300°时, =150°,

这个角的正弦是正数, 当 α=﹣40°时,=﹣20°, 这个角的余弦一定是正值, 此时 2α=﹣80°,这个角的余弦一定是正数, 综上可知 tan 是负数,

故选:C. 点评: 本题考查三角函数的符号, 本题解题的关键是写出第四象限的两个角度, 对这两个 角度进行三角函数值的正负的确定,属于基础题. 10. (5 分)如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边 界上运动,并且总是保持 PE⊥AC.则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形是()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面垂直的判定;平面的基本性质及推论. 专题: 计算题;空 间位置关系与距离. 分析: 因为总保持 PE⊥AC,那么 AC 垂直 PE 所在的一个平面,AC⊥平面 SBD,不难推 出结果. 解答: 解:取 CD 中点 F,AC⊥EF,又∵SB 在面 ABCD 内的射影为 BD 且 AC⊥BD, ∴AC⊥SB,取 SC 中点 Q,∴EQ∥SB, ∴AC⊥EQ,又 AC⊥EF,∴AC⊥面 EQF,因此点 P 在 FQ 上移动时总有 AC⊥EP. 故选 A.

点评: 本题考查学生应用线面垂直的知识, 考查空间想象能力, 逻辑思维能力, 是中档题. 11. (5 分)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 则棱锥 S﹣ABC 的体积为() A.3 B. 2 C. ,∠ASC=∠BSC=30°, D.1

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD,说明 SC 是球的直径,利用余弦定 理,三角形的面积公式求出 S△ SCD,和棱锥的高 AB,即可求出棱锥的体积. 解答: 解:设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD 因为线段 SC 是球的直径, 所以它也是大圆的直径,则易得:∠SAC=∠SBC=90° 所以在 Rt△ SAC 中,SC=4,∠ASC=30° 得:AC=2,SA=2 又在 Rt△ SBC 中,SC=4,∠BSC=30° 得:BC=2,SB=2 则:SA=SB,AC= BC 因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中,SD⊥AB 且 SD= = = = =

在等腰三角形 CAB 中,CD⊥AB 且 CD=

又 SD 交 CD 于点 D 所以:AB⊥平面 SCD 即:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD, 因为: SD= ( + , CD= , SC=4 所以由余弦定理得: cos∠SDC= (SD +CD ﹣SC ) = =
2 2 2

=

﹣16)

则:sin∠SDC=

= =3 =

由三角形面积公式得△ SCD 的面积 S= SD?CD?sin∠SDC= 所以:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD= 故选 C

点评: 本题是中档题,考查球的内接棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力, 有难度的题目,常考题型. 12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣ 2 (x+2) ,当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f=() A.335 B.338 C.1678 D.2012 考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+6)=f(x)可知,f(x)是以 6 为周期的函数,可根据题目信息分别求得 f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) ,f(6)的值,再利用周期性即可得答案. 解答: 解:∵f(x+6)=f(x) , ∴f(x)是以 6 为周期的函数, 又当﹣1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)+f(2)=1+2=3,f(﹣1)=﹣1=f(5) ,f(0) =0=f(6) ; 2 当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) , 2 ∴f(3)=f(﹣3)=﹣(﹣3+2) =﹣1, 2 f(4)=f(﹣2)=﹣(﹣2+2) =0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2﹣1+0+(﹣1)+0=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f =+f+f =335×1+f(1)+f(2) =338. 故选:B. 点评: 本题考查函数的周期,由题意,求得 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=是关键, 考查转化与运算能力,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 x 13. (5 分)当 x>0 时,函数 f(x)=(a ﹣1) 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是 a< ﹣ 或 a> . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据题意指数函数 y=a 的图象与性质得出关于底数的不等关系,再解此不等式即 可求得实数 a 的取值范围. 2 x 解答: 解:∵当 x>0 时,函数 y=(a ﹣1) 的值总大于 1, 根据指数函数的性质得: 2 a ﹣1>1,

∴a >2,|a|> . 则实数 a 的取值范围是 a<﹣ 或 a> . 故答案为:a<﹣ 或 a> . 点评: 本题主要考查指数函数的图象与性质、不等式的解法.属于容易题. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+1, (x∈N+)是增函数,则实数 a 的取值范围是 .
2

2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出对称轴方程,利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减,比较 区间端点和对称轴的大小即可. 解答: 解:因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减; 而其对称轴为 x=a, ①若函数在 点评: 本题考查了二次函数的单调性.二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决 定.开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减;开口向下的二次函数在对称轴左边 递增,右边递. 15. (5 分)f(x)是定义在实数有 R 上的奇函数,若 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(﹣ 2)=﹣1. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据当 x≥0 时的函数解析式求出函数值 f(2) ,再根据奇函数的定义求出 f(﹣2) 的值. 解答: 解:∵当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,∴f(2)=log3(1+2)=1; ∵f(x)是定义在实数有 R 上的奇函数,∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值, 注意函数解析式中自变量的范围, 并且在 此范围内取恰当的值即与所求的值能联系在一起. 16. (5 分)在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和 为定值.拓展到空间,类比平面几何的上述结论,可得:四个面均为等边三角形的四面体内 任意一点到四个面的距离之和为定值. 考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时, 常用的思路有: 由平面图形中点 的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 故我们可以根据已知中平面几何中, 关 于“三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”, 推断出一个空间几何中一个关 于四个面均为等边三角形的四面体的性质.

解答: 解:由平面中关于点到线的距离的性质:“三边相等的三角形内任意一点到三边的 距离之和为定值”, 根据平面上关于线的性质类比为空间中关于面的性质, 我们可以推断在空间几何中有: “四个面均为等边三角形的四面体内任意一点 到四个面的距离之和为定值” 故答案为:到四个面的距离之和为定值. 点评: 本题主要考查类比推理及正四面体的几何特征.类比推理的一般步骤是: (1)找出 两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一 个明确的命题(猜想) . 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知 2loga(x﹣4)>loga(x﹣2) ,求 x 的取值范围. 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 当 a>1 时,由不等式可得

,由此解得不等式的解集;当 0

<a<1 时,

,由此解得 不等式的解集.

解答: 解:由 2loga(x﹣4)>loga(x﹣2) ,可得

>loga(x﹣2) .

当 a>1 时,

,解得 x>6

当 0<a<1 时,

,解得 4<x<6.

故当 a>1 时,不等式的解集为(6,+∞) ;当 0<a<1 时,不等式的解集为(4,6) . 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点, 一元二次不等式的解法, 体现了分类讨 论和等价转化的数学思想,属于中档题. 18. (12 分)如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个 内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等. 相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发 现.我们来重温这个伟大发现: (1)求圆柱的体积与球的体积之比; (2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.

考点: 球的体积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: (1)设圆柱的高为 h,底面半径为 r,球的半径为 R,求出圆柱的体积,球的体积, 即可得到结论. (2)求出圆柱的表面积,球的表面积即可得到比值. 解答: 解: (1)设圆柱的高为 h,底面半径为 r,球的半径为 R,由已知得 h=2R,r=R. ∵V 圆柱=πR ?2R. ∴ .
2

(2)∵S 圆柱=S 侧+2S 底=2πrh+2πr =6πr ,S 球=4πr . ∴ .

2

2

2

点评: 本题是基础题,看错圆柱和球的体积、表面积,考查计算能力,常考题目. 19. (12 分)已知关于 x 的二次方 x +2mx+2m+1=0,若方程有两根,一根在区间(﹣1,0) 内,另一根在区间(1,2)内,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 设 f(x)=x +2mx+2m+1,问题转化为抛物线 f(x)=x +2mx+2m+1 与 x 轴的交点 分别在区间(﹣1,0)和(1,2)内,由根的分布得出不等式,解不等式即可求解 2 解答: 解:设 f(x)=x +2mx+2m+1 由题意可得,f(x)的图象与 x 轴的交点的区间分别在(﹣1,0) , (1,2)内
2 2 2



解可得, 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化的数学思想

20. (12 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由 B 沿棱柱侧面经过棱 C C1 到点 A1 的最短路线长为 2 , 设这条最短路线与 CC1 的交点为 D. (1)求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积; (2)在平面 A1BD 内是否存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行?证明你的判断; (3)证明:平面 A1BD⊥平面 A1ABB1.

考点: 组合几何体的面积、体积问题;棱柱的结构特征;空间中直线与平面之间的位置关 系;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题;综合题. 分析: (1)由题意求出棱长,再求出三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面面积,再求出高 AA1, 即可求出棱柱的体积. (2)设 A1B 与 AB1 的交点为 O,连接 BB2,OD,在平面 A1BD 内存在过点 D 的直线 OD 与平面 ABC 内的直线 BB2 平行,即可证明所要证明结论. (3)连接 AD,B1D,平面 A1BD 内的直线 OD 垂直平面 A1ABB1 内的两条相交直线 A1B, AB1,即可证明平面 A1BD⊥平面 A1ABB1. 解答: 解: (1)如图,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120° 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 B 运动到点 B2 的位置, 连接 A1B2,则 A1B2 就是由点 B 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 A1 的最短路线. 设棱柱的棱长为 a,则 B2C=AC=AA1=a, ∵CD∥AA1∴D 为 CC1 的中点, (1 分) 2 2 2 在 Rt△ A1AB2 中,由勾股定理得 A1A +AB2 =A1B2 , 即 a +4a = ∵ ∴ (4 分)
2 2

解得 a=2, (3 分)

(2)设 A1B 与 AB1 的交点为 O,连接 BB2,OD,则 OD∥BB2(6 分) ∵BB2?平面 ABC,OD 不在平面 ABC ∴OD∥平面 ABC, 即在平面 A1BD 内存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行(8 分) (3)连接 AD,B1D ∵Rt△ A1C1D≌Rt△ BCD≌Rt△ ACD ∴A1D=BD=B1D=AD∴OD⊥A1B,OD⊥AB1(10 分) ∵A1B∩AB1=O∴OD⊥平面 A1ABB1 又∵OD?平面 A1BD∴平面 A1BD⊥平面 A1ABB1. (12 分)

点评: 本题考查组合几何体的面积、体积问题,棱柱的结构特征,空间中直线与平面之间 的位置关系,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题. 21. (12 分)函数 f(x)=loga(a ﹣1) , (0<a<1) , (1)求 f(x)的定义域; (2)证明在定义域内 f(x)是增函数; x (3)解方程 f(2x)=loga(a +1) 考点: 函数的零点;函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数函数的性质求定义域. (2)利用函数的单调性的定义证明函数的单 调性. (3)利用对数函数的性质解对数方程. 解答: 解: (1)要使函数有意义,则 a ﹣1>0,即 a >1,因为 0<a<1,所以 x<0. 即函数的定义域为(﹣∞,0) . (2)任设 x1<x2<0, 则 因为 0<a<1,x1<x2<0, 所以 , ,
x x x



,所以



所以 f(x2)>f(x1) ,所以函数 f(x)在定义域内 f(x)是增函数. (3)由 f(2x)=loga(a +1)得
x 2x x



即 a +1=a ﹣1, 2x x x x 所以 a ﹣a ﹣2=0,解得 a =2,x=loga2,或者 a =﹣1 不成立舍去. 所以方程 的根为 x=loga2. 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质,考查学生的运算能力. 22. (12 分)如图,已知点 B 在以 AC 为直径的圆上,SA⊥面 ABC,AE⊥SB 于 E,AF⊥SC 于 F. (Ⅰ)证明:SC⊥EF; (Ⅱ)若 SA=a,∠ASC=45°,∠AFE=30°,求三棱锥 S﹣AEF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I) 由 SA⊥BC, 得 BC⊥面 SAB, 从而 BC⊥AE. 由 AE⊥SB, BC⊥AE, 得 AE⊥ 面 SBC,由此能证明 SC⊥EF. (Ⅱ)由已知得 ,AE⊥面 SBC,由此能求出三棱锥 S﹣AEF 的体积.

解答: (I)解:∵SA⊥面 ABC,∴SA⊥BC, ∵B 在以 AC 为直径的圆上, ∴BC⊥面 SAB,又 AE?平面 SAB, ∴BC⊥AE. ∵AE⊥SB,BC⊥AE,SB∩BC=B, ∴AE⊥面 SBC,又 SC?面 SBC, ∴AE⊥SC. ∵AE⊥SC,AF⊥SC,AE∩AF=A, ∴SC⊥平面 AEF,又 EF?平面 AEF, ∴SC⊥EF. (Ⅱ)Rt△ SAC 中,∵ 又 AF⊥SC,∴F 为 SC 的中点,∴ 由(I)知 AE⊥面 SBC, ∴ 得 ∴ 由(I)知 SC⊥面 AEF,∴ , , . , ,

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养.


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