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一道高中数学联赛题的分析与拓展


上 海 中学数 学 ? 2 0 1 0年第 1 0期 



道 高 中数 学 联 赛 题 的分 析 与 拓 展 
2 0 1 8 0 0 上 海 市嘉 定 区远 东 学校 王 富春 
X2


2 0 0 9 年全 国高 中联赛 一试 解答 题第 一题 为 :   设 直线 z :  

=k x + m( 其中  , m 为整 数) 与 
椭圆而 x 2 T
yZ
 



2  

lz

1 交 于不 同两点 c , D, 问是 否 存 在 直 

线z , 使得向量  +西   , 若存在 , 指 出这样的 
= 1交 于 不 同 两 点 A, B, 与 双 曲线  直 线 有 多 少 条 ? 若 不存 在 , 说 明理 由.  

所 以 a的取值范围是 0 ≤n ≤÷.  
厶 



方 面 , E h ( I ) 知 , ( z ) ≥   _ l ,   ≤ ( z + 1 )  


品析 : 题( I) 的待证不等式 化简后 , 问题 转 

_ 厂 (  ) . 所以h   (  ) ≤( a -a x -1 ) 厂( z) +口 ( - z +1 )  

化 为 求 函数 F(  ) 的最 小值 , 接下 来 的三 步 曲,   就是导数问题的通法了. 需要 注意的是 , 待 证 不  等式化简后正是“ 超越 不 等式 ”   ≥ z+l , 与例 1   暗合 , l n x与 e  好 似孪 生 兄 弟 , 形影相伴.   题( Ⅱ) 看 似 与例 1 (I) 极其相似 : 求 变 量 的 
取值范围 , 将 不 等式 , ( z ) ≤  层层化 简 , 分 

厂 (   ) 一( 2 口 一1 ) 厂 (   ) .( * *) 若n ≤  1 则矗   ( z )  
≤0, ^ ( z ) 递减 , 从而 ^ ( z ) ≤ ( O ) =0 , 即_ 厂 (  ) ≤ 
口 z+ 1 。  

另一 方面 , 由 (I) 知 e z ≥ z+ 1 , e — z ≥ 一 

+1 ( 用 一  代 换 x) ,  ≥ 1 一P 一 , 即  ≥ /( z ) .  
所以h   ( z) ≥( 口 一口 z一1 ) ,(  ) +a f( x ) 一( 2 a 一 

离 出 变量 n, 继 而利用 恒成 立原 理“ n ≤ g(  ) 恒 

成 立∞ 口 ≤g ( z )   i   ” , 将 问 题 转 化 为 求 辅 助 函数  g ( z ) 的最 小 值 ( 下确界) , 是通 法 ; 接 下 来 求 函数  最 小值 ( 下 确界 ) 的 三步 曲, 又 是 导 数 问 题 的 通  法. 但是 , 如果“ 通法” 真 的能 够 在 题 ( I I) 中运 用  得顺 风 顺 水 , 那 么题 ( I I ) 就 不能堪 当压轴题 的  
重 任 了.  

1 -a x ) , ( z ) .( ** *) 若口 >÷ , 则当 0 <z < 
时, h   ( z) >0 ,h(  ) 递增, 从 而 h( z) > 
^ ( o ) 一0 , 即 厂 ( z) >  , 矛盾 .  

事实上 , 题( 1 1 ) 接下 来也 遇 到 了类 似 例 1   ( 1 1 ) 的问 题 : 如何判 断导数 g   ( z) 的符 号 . 有 了 
例 l ( Ⅱ) 的“ 变通 ” 经验 , 可 以 通 过 g( z) 的 二 阶 

另外 , 若 口 <0, 则 当 z> 一  > 0时 , a c E ' +1   <O , 矛盾 , 从而n ≥O . 所 以 a的取 值 范 围 是 O ≤口  

导数 、 甚 至 三 阶 导数 解 决 问 题 , 但 其 运 算 复 杂 程  度 与 技 巧 性 大 大 超 过 了例 1 (Ⅱ) .  
至此 , 经 历“ 通 法一 变 通 一 再 变 通 ” 解 决 了 

≤ 专 .  
命题 人 的解法 , 不 通 过 二 阶 导 数 判 断 辅 助  函数 的导 数 h   ( z ) 的符 号 , 而是将 h   ( z ) 化 为 含  , (  ) 与 z的 ( *) 式, 然 后 借 助 题 (I) 获 得 的 结 
论 z ≤( z +1 ) ,(  ) 及 z ≥_ 厂 (  ) , 将 h   ( z) 放 缩 到 

这 道 压 轴 题 .但 美 中 不 足 的 是 ,求 l i m 
I一 0  

( ,  - ~  , 专) 1   、   其 实 需 用 到 高 等 数 学 中 的 “ 罗 比 塔  
法 则” , “ 超 纲” 的 变 通 需 要 转 向新 的 变 通 . 请 看  命 题 人 关 于题 ( I I ) 的解法 :   当 z≥ 0时 ,,( z ) ≥0 , 从而 口 z+ 1 >o . f  
( z ) ≤  即a x f ( x) + ,(  ) 一z ≤o .  

较 为 简 单 的 形 式 (* *) 及 (* * *) 式, 便 于 判 

断 其 符 号 .其 中结 论 z ≤(  + 1 ) _ 厂 ( z ) 就 是“ 超 越  不等式”   ≥ X+ 1 , 结 论 X≥ ,( z - ) 就 是在 “ 超 越 
不等式”   ≥ + 1中 用 一  代 换 z( 一种 变通 )  

得到的. 命题人 “ 变则通” 的法宝就是 “ 超 越 不 等 
式” : e z ≥z+1及 e - z ≥ 一. z +1 .  

令h ( z ) 一a x f ( z ) +_ 厂 ( z ) 一 , 则 h   ( z ) 一  

a f ( x ) +a x y( z ) +厂 ( z ) 一1 . 因 为  ( z ) 一  e 一  , /(  ) +厂 (  ) 一1 , /( z ) :1 一, ( z ) , 所 以 
h   ( z) 一( 口一 口 z一 1 )r (  ) +a x. (* )  

“ 通 法” 是一 种较高 的 思维层 次 ; “ 通法 ” 变  通, 形成 “ 巧 法 ”, “ 通 法” 与“ 巧法 ” 相 辅相成 , 则  是 一种 更 高 的 思 维 层 次 . 这 就 是 两 道 高 考 试 题  给 我们 的重 要 启 示 之 一 .  

上 海 中学数学 ? 2 0 1 0年 第 l 0期 
f  —k x+ 1 9 2  

线的斜 率为 ±、 / 3 得 到与双 曲线相 交时有 I   k   I < 


原 解: 由 { . 2 7 2  y 2 一   消去Y 化简整理得 ( 3  
l 1 6  1 2  
+4 k 0 ) 2 . 2 +8 k mx+ 4 m0 —4 8 —0 . 设 A( 5 8 1 , y 1 ) ,  

( 正 ∈z ) , 所 以  一 一 1 , 0 , 1 , 于 是 满 足 条 件 得 
分 析 与 拓展 

直 线 共 有 9条 .   两种方 法相 比, 原 解 从 通 常 思 路 出发 侧 重  于 函数 和 方 程 的 思 想 . 方 法 二 利 用 平 时 多 用 于  小 题 的 点 差 法 求 解 得 到 k:0或 m一0 , 在 此 基 
础 上进 行 图 形 分 析 得 到 结 果. 笔 者 通 过 对 两 种 

B( 3 : 2 , Y 2 ) 。 则 1 +x 2 一一再 8 k   n i
. 

△1 一( 8 k n) i 2 — 4( 3+ 4 k 2) ( 4 m2— 4 8 ) >0   ( 1 )  
f y: 是   + 

由{ I   z 2  y 2  , 消去   化简整理得( 3 一k   )  一  
一  



 

方 法结 合 图 形 研 究 猜 想 , 若 对 两 条 圆锥 曲 线 作 


2 志 优z~  2 —1 2 —0 . 设 C(  3 , y 3 ) , B( x 4 , y 4 ) , 则 
2 ki n 
x 3十 x 4一   — 万 .  

般性 推 广 , 都 会 有 类 似 结 果 吗 ? 答 案 是 肯 定  拓展 一 : 设 直线 z :  — k x+m( 其中 k , m 为 

的.  



5 2一 ( 一2 k n) i 2+ 4( 3 一k 2 ) ( m2 +1 2 ) >0

( 2 )  

+面   得 (  3 一  1 ) +(   4 一  2 ) 一0 , 即 l  
+  z —  。 +  . 所 以一  
2 志   一0或 一  4   一  1  

整数 ) 与曲线  +告 一1 , ( 口 >o , 6 >o ) 交 于不同 
两点 A, B, 与双 曲 线  一  : 1 , ( c > d, d> 0 )  

一丽 2 k n 因 此  i


交于不 同两点 c, D, 试 证 明: 使 得 向量  +茄  
?

由上式解 得 意 一0  

的直 线 z 的条 数 为 2 [ 6 ] +2 [ 旦] +1 ( [ ” ] 为 
小 于  最 大 整数 ) .   解: 设 A( # d l , y 1 ) , B(  2 , y 2 ) , C( f , _ 3 , y 3 ) , D  

或 m一0 . 当k 一0时, 由( 1 ) 得一2 √ 3 < <2 √ 3 .  
因  是 整 数 , 则 / T / 的值 为 一 3 , 一2 , 一1 , 0 , 1 , 2 ,  

3 . 当 m一0 , 由( 2 ) 得 一√ 3 <是 <√ 3 . 因k 是整数 ,  
则 是 一一 1 , 0 , 1 , 于 是 满 足 条件 得 直 线 共 有 9条 .  
另解 : 设 A( x l , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , C( x 3 , Y 3 ) ,  

f 堑. . . 垣一  
眦 4   则  1   2  


侄  f 堑 _ _   一 1   l :  相 减 得  +  


a2 ’ b 2  

两式相减得 : : d-x    ̄  

 l J  f  

【 1 6’1 2  
+ 

一1  

一o . . i . b 2 (  l + 2 ) +以   是 ( y 1 +. y 2 ) 一。变 

形为 z 1 + 2 一一百 t l -  (  1 +y 2 )   ( 1 ) . 同理 可 得 
直 线 与 双 曲线 相 交 有 : x 3 +x 4 =  走 ( y 3 +y 4 )  

一0 . . ? . 3 (  1 + 2 ) +4 是 (  1 + 2 ) 一。变 

形为X l -  ̄ - X 2 一一 +k ( y l + y 2 )( 1 ) , 同 理可 得直  
线与双曲线相交有 : 3 7 3 +x 4 一k ( y 3 +y 4 )   ( 2 ) ,  

( 2 ) . 由  + 面  得 { I   。 一  _  一  一   , 所  
y3一 yl_ 『 I   4一 y2一 u   yl十 y2一 y3十 y4  

l  _ _ z   一   。 _   由  + 面  得 { l   y 如 3 二 一   y   l   十   y   4 二 一   y 规 2   一 U   所 以   以{
4   - 姐一 日-   ( 3 ) .   1   l十 y2一 y3十   4  
由( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 得到 一÷k ( y l +y 2 ) 一k ( y l  
+y 2 ) , 所 以 是一 0或 y I +y 2 —0 .由 ( 1 ) 和 y l + 
一  

( 3 ) . 由 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 得 :  

愚 (  1 + 2 ) 一  忌 (  1 +. y 2 ) ? 所以志 一0或 Y 1  

+ y2 —0 .  

由( 1 ) 和  1 +y 2 = 0得 到 . r l +_ , , 2 —0 , 所 以 

点 A和 点 B 关于原点对 称 , 此 时 直 线 AB 过 原 
点, 有 m一0 . 当 k 一 0时 , 直线 Z : Y—k x+ 7  — m  

Y 2 —0得 到  l +x 2 —0 , 则 点 A 和 点 B 关 于 原 点  对称 , 此 时 直 线 AB 过 原 点 , 有 m一 0, 当 k:0   时, 直线 z : Y—k x+ m—m 与 x轴 平 行 , 与 双 曲 

与  轴 平行 , 与双 曲线 一 定 相 交 , 由椭 圆  + 


线一定相交 , 由椭 圆  i z   1 -   y Z —l中一2 √   ≤_ y ≤ 
2   得 到 一2   < < 2   ( m ∈z) , 则  = 一 3 ,  


1中 一6 ≤ ≤ b得 到 一6 < < 6 (   ∈Z) .  

所 以 m一一 E b ] , 一[   +1 , …, o, …, [   一1 ,   2 , 一1 , 0 , 1 , 2 , 3 . 当 m一0时 , 直线 z : Y— k x+  [ 阳. 当  一 。时 , 直线 £ : y— k x+  一 k x 过 原  点, 与 椭 圆 一 定 相交 , 由双 曲线 渐 近 线 的 斜 率 为 

m一是  过 原 点 , 与椭 圆一 定 相 交 , 由 双 曲线 渐 近 

上海 中学数 学 ? 2 0 1 0年 第 1 O期 

函数 的 对 称 性 和 周 期 性 的 关 系 
3 1 2 4 0 0   浙 江省 嵊 州 第一 中 学  周 少锋 
“ 函数” 一 章 的 内 容 贯 穿 于 高 中 数 学 的 始  终, 历 来 是 数 学 高考 考 查 的 一 个 难 点 和 热 点 , 要  求 学 生 熟 练 掌 握 函数 的 性 质 . 但 在 学 习 这 一 章 
过程中 , 许 多 同学 被 函 数 的若 干 性 质 弄 的 头 昏  脑涨. 事 实上 , 只 要 把 握 其 中 的关 系 , 也 就 不 困 
难了.  


周 期 函数 , 且 周 期 为 T一 2 k( 7 —2 )一 l O k , 又 /  
( 3 ) 一,( 1 ) 一o , 而 厂( 7 ) ≠o , 厂( 一3 ) = ,( 一3 + 

1 0 ) 一f ( 7 ) ≠o , 所 以 ,( 一3 ) ≠ 士厂 ( 3 ) , 故 函数 Y   一 (  ) 是 非 奇 非 偶 函数 .  
(Ⅱ)又 ,( 3 ) 一厂 ( 1 ) 一o , 厂( 1 1 ) 一- 厂 ( 1 3 ) 一 



由 函数 的 对 称 性 讨 论 函 数 的 周 期 性   定 理 1 若函数 , (  ) 的 图像关 于 直线 z =n  

, ( 一7 ) 一 f( 一9 ) =0 , 故 f( z ) 在[ 0 , l O ] 和   [ 一1 0 , O ] 上均有有两个解 , 从 而 可 知 函数 y —f   (  ) 在[ O , 2 0 0 5 ] 上有 4 0 2 个解, 在[ 一2 0 0 5 , O ] 上  有4 0 0个 解 , 所 以 函 数 Y= f(  ) 在[ 一2 0 0 5 ,  
2 0 0 5 ] 上有 8 0 2个 解 .   定理 2 若 函数 . 厂 ( z) 的 图 像 关 于 点 A( n ,   O ) 对称 , 且 厂( z ) 的 图像 又关 于点 B( b , O ) 对 称( n  

对称 , 且_ 厂 ( z ) 的 图像 又 关 于直 线 z —b 对称 ( n ≠ 
6 ) , 则 函数 ,(  ) 是一 个 周期 函数 , 且 周 期 丁一 
2 志 ( 6一 口 ) ( 忌∈ Z, k ≠0 ) .  

证 明: 。 . 。 , (  ) 的 图像 关 于 直 线 z一日对 称 ,   且 关 于 直 线 z—b对 称 ( a 4 : 6 ) , 对 于任意 t ∈R,   有 ,( 2 口 ~  ) 一, ( £ )   ,( 2 6 一£ )   ①, 令2 6 一t — 


≠6 ) , 则 函数 厂 (   ) 是一个周期函数 , 且 周 期 T一  
2 k( b -口 )( k∈ Z , k ≠0 ) .  

则 2 n ~  —z+2 ( n 一6 ) 代 人① , 有 f [ - 2 ( 口 一6 )  

+  =厂( z) . 又 口 ≠b , . ‘ . n 一6 ≠0 , . ‘ . 厂( z) 的 周  期 是 T=2 五 ( 6 一口 ) ( 龙 ∈Z, k ≠O ) .   例 1   ( 2 0 0 5广 东 卷 理 ) 设 函 数 f(  ) 在 

证 明: ‘ . ‘ , (  ) 的 图 像 关 于 点 A( a , 0 ) 和B   ( 6 , 0 ) 都对称 , 故 对于任意 t ∈R, 厂 ( £ ) 一 一厂 ( 2 a   ) 一 一,( 2 6 一£ ) , 令 z=2 6 一t , 2 a—t 一2 ( 口 一  6 ) +z代 入 上 式 得 f [ 2 ( a 一6 ) +z ] 一厂 ( z ) , 而。  
一  

≠b , . ‘ . a -6 ≠0 , . ‘ . 厂 ( z ) 是 以 丁= 2 k ( b 一口 ) ( k ∈  

( 一C x 。 , +。 。 ) 上满足 . 厂 ( 2 一 ) =f( 2 +z) ' 厂 ( 7 一 

z, k v e 0 ) 为 周 期 的周 期 函 数 .   例2 ( 2 0 0 9全 国 I卷理 ) 函数  (  ) 的定 义  域 为 R, 若 f ( x+ 1 ) 与 ,( z一 1 ) 都 是奇 函数 , 则 
(   )  

z ) 一f ( 7 +  ) , 且 在闭 区间[ O , 7 ] 上, 只有 , ( 1 )   =- 厂 ( 3 ) :0 . (I)试 判 断 函 数  一_ 厂 ( z ) 的 奇 偶  性; (I I) 试 求 方 程 f( z )= 0 在 闭 区 间  [ 一2 0 0 5 , 2 0 0 5 ] 上 的根 的个 数 , 并 证 明 你 的 结 
论.  

A ., ( z ) 是 偶 函数  B ._ 厂 ( z ) 是 奇 函数 
C.- 厂 ( z ) 一f ( x+2 ) D. f( x+3 ) 是 奇 函数  分析 : 由f ( x +1 ) 是 奇 函数 , 可知 - 厂 (  ) 关 于  点( 1 , O ) 对称. _ 厂 ( X一 1 ) 是 奇 函数 , 可 知 厂( z ) 关  于点 ( 一1 , O ) 对称, 则 由定 理 2知 , 厂( z ) 是 一 个 

分析 : (I)由 厂( 2 一 ) = ,( 2 + ) , ,( 7 一  z ) 一厂( 7 +z ) , 所 以 函 数 ,(  ) 关 于 直 线  = 2 ,  

直 线  一7对 称 , 从 而 定 理 l知 函数 Y 一- 厂 (  ) 是 

一1 , ( c >o ,  > o ) 交 于 不 同 两 点 C, D,   ± 孚 得 到 与 双 曲 线 相 交 时 有  < 詈 ( 忌 ∈ z ) , 所 以   使 得 向量  +  的直线 l 的 条 数  [   ] , 一 [ -  ̄ - ] - F 1 , … , 0 , … , [ 詈 ] 一 1 , [   ] .   试证 明 :
C ‘一  
= 一

』 

于是满足条件得直线共 有 2 [ b ] H - 2 [  ̄] - F I  
条.  

为2 r b l +2 [  ] +1 ( [   ] 为 小 于  最大 整 数 ) .   解: 解法与拓展一的解法相似.   说 明: 1 .原 题 的第 二 种 解 法 为 拓 展 一 的 解 
法 的特 殊 情 况 .  

拓展二 : 设直线 z : Y —k x + m( 其中愚 ,   为 

整 数 ) 与 曲 线   三 二 口 二 ≠    +  

: 1 , (   > 0 , 6 >  
一 

2 .[   ] 通 常 为 不 大 于  的最 大 整 数 , 这 里 考 
』 

o ) 交 于 不 同 两 点 A, B, 与 双 曲 线  二 

虑 到 b与  , 作 以上 定 义 .  


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