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A版高中数学必修二


3.2.2

3.2.2
[学习要求]
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直线的两点式方程

1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围; 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围. [学法指导] 通过应用过两点的斜率公式,探究出直线的两点式方程, 经历通过新旧知识的比较、 分析、 应用获得新知识

的过程, 感知事物之间的普遍联系与相互转化,形成用联系的观点 看问题的习惯.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.2

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1. 直线的两点式方程: 经过直线上两点 p1(x1, y1), p2(x2, y2)(其 y-y1 x-x1 = 中 x1≠x2,y1≠y2)的直线方程 y2-y1 x2-x1 叫做直线 的两点式方程,简称两点式. 2.直线的截距式方程:我们把直线与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距, 此时直线在 y 轴上的截距是 b, x y + =1 方程 a b 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确 定,所以叫做直线的 截距式方程 .

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.2

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3.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段 P1P2 ? ?x=x2+x1 2 ? ? ? y2+y1 ?y= 2 ? 的中点坐标公式为 .

研一研·问题探究、课堂更高效

3.2.2

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[问题情境] 已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜 式表示直线的方程;已知直线的斜率及直线在 y 轴上的截 距能用直线的斜截式表示直线的方程,那么,如果已知直 线经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),是 否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢?

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探究点一 导引 问题 1
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3.2.2

直线的两点式方程

已知直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2, 经过一点,且已知斜率的直线,如何求它的方程?
利用直线的点斜式方程,将数据代入就能求出直线的 能不能把上述问题转化成已经解决的问题?怎样

y1≠y2),如何求出过这两点的直线方程?


方程. 问题 2 转化? y2-y1 答 由于 x1≠x2, 所求直线的斜率 k= .取 P1(x1, y1)和 k, x2-x1 y2-y1 由点斜式方程,得 y-y1= (x-x1), x2-x1 y-y1 x-x1 由 y1≠y2,方程两边同除以 y2-y1,得 = . y2-y1 x2-x1

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3.2.2

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小结 经过直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2) y-y1 x-x1 的直线方程 = 叫做直线的两点式方程,简称两点式. y2-y1 x2-x1

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3.2.2

问题 3

从两点式方程的形式上看,直线方程的两点式适合

求什么样的直线方程?
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答 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.

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3.2.2

例1

已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为

B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求 l 的方程.
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y-0 解 将两点 A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得 = b-0 x-a x y ,即a+b=1. 0-a

小结 我们把直线与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x x y 轴上的截距,此时直线在 y 轴上的截距是 b,方程 + =1 a b 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定,所以叫做直线 的截距式方程.

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3.2.2

跟踪训练 1 三角形的顶点是 A(-4,0),B(3,-3),C(0,3),求这 个三角形三边所在的直线的方程. y-0 解 ∵直线 AB 过 A(-4,0),B(3,-3)两点,由两点式得 = -3-0 x-?-4? , 3-?-4? 整理得 3x+7y+12=0, ∴直线 AB 的方程为 3x+7y+12=0. ∵直线 AC 过 A(-4,0)和 C(0,3)两点,
∴直线 AC 的方程为 3x-4y+12=0.
∵直线 BC 过 B(3,-3)和 C(0,3)两点, y-?-3? x-3 由两点式得 = . 3-?-3? 0-3 整理,得 2x+y-3=0,
∴直线 BC 的方程为 2x+y-3=0.

本 课 时 栏 目 y-0 x-?-4? 开 关 由两点式得3-0=0-?-4?,整理得 3x-4y+12=0.

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探究点二 问题 直线两点式、截距式方程的应用 如图所示,已知 A(x1 , y1), B(x2 , y2),

3.2.2

M(x,y)是线段 AB 的中点,如何用 A,B 点的 坐标表示 M 点的坐标?
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解 ∵直线经过点 P(-2,3),且斜率为 2,代入点斜式,得:y-3 =2(x+2),即 2x-y+7=0.
答 过点 A,B,M 分别向 x 轴,y 轴作垂线 AA1,AA2,BB1,BB2, MM1,MM2,垂足分别为 A1(x1,0),A2(0,y1),B1(x2,0),B2(0,y2), M1(x,0),M2(0,y). 因为 M 是线段 AB 的中点,所以点 M1 和点 M2 分别是 A1B1 和 A2B2
的中点,即 A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以 x-x1=x2-x,y-y1 x1+x2 y1+y2 =y2-y.即 x= 2 ,y= 2 . 这就是线段中点坐标的计算公式,简称中点公式.

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3.2.2

小结
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已知 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2

? ?x=x2+x1, 2 ? 的中点 M 的坐标为(x,y),则? ? y2+y1 y= ? 2 ? 的中点坐标公式.

,这个公式为线段

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例 2

3.2.2

已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求

BC 边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.
解 如图,过 B(3 ,- 3) , C(0,2) 的两点式方程为 y-2 x-0 = , -3-2 3-0 整理得 5x+3y-6=0.

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这就是 BC 边所在直线的方程.
BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段, 由中点坐标 3+0 -3+2 3 1 公式可得点 M 的坐标为( , ), 即( , - ). 过 A(-5,0), 2 2 2 2 y-0 x+5 3 1 M(2,-2)的直线的方程为 1 =3 , -2-0 2+5 1 13 5 即 x+ y+ =0,即 x+13y+5=0. 2 2 2

这就是 BC 边上中线所在直线的方程.

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3.2.2

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小结

当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断

是否满足两点式方程的适用条件,若满足即可考虑用两点式求方 程.在斜率存在的情况下,也可以选用斜率公式求出斜率,再用 点斜式写方程.

3.2.2 研一研·问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知△ABC 的三个顶点坐标为 A( - 3,0) ,

B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上的高 AD 所在直线的方程;
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(3)BC 边上的中线 AE 所在直线的方程. y-1 x-2 解 (1)直线 BC 的方程为 = , 3-1 -2-2 即 x+2y-4=0. 1 (2)由(1)知 kBC=- ,则 kAD=2, 2 又 AD 过 A(-3,0), 故直线 AD 的方程为 y=2(x+3), 即 2x-y+6=0. (3)BC 边中点为 E(0,2), x y 故 AE 所在直线方程为 + =1, -3 2 即 2x-3y+6=0.

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例 3 解

3.2.2

求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 设直线的两截距都是 a,则有

的方程. 3 ①当 a=0 时,直线为 y=kx,将 P(2,3)代入得 k= , 2 ∴l:3x-2y=0; x y ②当 a≠0 时,直线设为a+a=1,即 x+y=a, 把 P(2,3)代入得 a=5,∴l:x+y=5.
∴直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0.

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小结 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交, 则可考虑选用 截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式直线方程时, 必须首先考虑直线能否过原点以 及能否与两坐标轴垂直.

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跟踪训练 3

3.2.2

求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的绝对

值相等的直线 l 的方程. 解 设直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a,b, 则直线过两点 A(a,0)和 B(0,b).
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(1)当 a≠0 且 b≠0 时,

4 3 ∵直线 l 过点(4,-3),∴a-b=1 又|a|=|b| 4 3 ? ? - =1 由①②联立,得方程组?a b , ? ?|a|=|b|
? ?a=1 由此解得? ? ?b=1 ? ?a=7 或? ? ?b=-7

x y 由截距式求得直线 l 的方程为a+b=1.





故直线 l 的方程为 x+y-1=0 或 x-y-7=0.

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3.2.2

(2)当 a=b=0 时,

直线 l 过原点 O(0,0)和点(4,-3),
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由两点式得直线 l 的方程为 3x+4y=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x+y-1=0 或 x-y-7=0 或 3x +4y=0.

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3.2.2

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1.在 x、y 轴上的截距分别是-3、4 的直线方程是( A ) x y x y A. + =1 B. + =1 3 -4 -3 4 x y x y C. - =1 D. + =1 4 -3 -3 4

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3.2.2

2.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的
4x+3y=0 或 x+y+1=0 方程是________________________________ .
4 ①若直线过原点,则 k=- , 3 4 ∴y=- x,即 4x+3y=0. 3 x y ②若直线不过原点,设a+a=1,即 x+y=a. 解析
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∴a=3+(-4)=-1, ∴x+y+1=0.

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3.2.2

3.直线 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为 2,两 截距之差为 3,求直线 l 的方程.
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解 由题意,得直线 l 在两坐标轴上截距都大于零, x y 故可设直线方程为a+b=1 (a>0,b>0), 1 ? ? ab=2 由已知得:?2 , ? ?|a-b|=3
? ?a=1 解得? ? ?b=4 ? ?a=4 或? ? ?b=1 ? ?a=-1 或? ? ?b=-4 ? ?a=-4 (舍)或? ? ?b=-1

(舍),

x y ∴直线方程为4+y=1 或 x+4=1.

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3.2.2

1.直线方程的几种形式,都可以用来求直线的方程,但各 有自己的限制条件,应用时要全面考虑.点斜式与斜截
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式要注意斜率不存在的情况. 两点式要考虑直线平行于 x 轴和垂直于 x 轴的情况. 截距式要注意两个截距都不为 0 的条件限制,另外截距相等也包括截距均为零的情况, 不能用截距式方程表示,而应用 y=kx 表示. y2-y1 y-y1 x-x1 2 . 方 程 y - y1 = (x - x1)(x1≠x2) 与 = x2-x1 y2-y1 x2-x1 (x1≠x2,y1≠y2)以及(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)代表 的直线范围不同.


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