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1.1.2弧度制


问题1:一幅画的尺寸是长1米,宽2尺, 试计算这幅画的面积.
问题1说明: (1)同一个量可以有不同的度量单位,不同场合 和背景下根据实际需要可以选用不同的度量制; (2)在同一个问题中不同的度量单位之间不能直 接运算,需要进行换算统一单位。 思考:长度单位除了尺和米以外还有英尺、码 (约91.4厘米)、海里等,你还能举出生活中 类似的实例吗?

问题2:平面几何中,1度的角是如何定义的?

1 规定把周角的 作为1度的角, 360 用度做单位来度量角的单位制叫做角度
制.
60°

90°

对于整个圆周无论半径如何,周长多长, 我们总能把它分成360等份,每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
C 问题3:由 C ? 2? r ,得到 r ? 2? ,请同学 C

们分析式子

r

? 2?

的意义。

结论:若以半径长为单位度量圆周,则无论 周长如何都只能分成 2? 份。

定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做

1弧度(radian)的角,用符号rad表示,读作
弧度.

这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做
弧度制。

设弧AB的长为l, 若l=r, l 1 弧度 = 则∠AOB=

若l=2r, l = 2 弧度 则∠AOB=

r

r

若l=3r, l 则∠AOB= = 3 弧度 r l=2r B B l=r 2弧度 1弧度 A A O r O

B O

l=3r
3弧度

A

O

r

A

B

-3弧度

= 3, r l = -3弧度 即∠AOB=- r 思考:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对的 弧长是 l ,那么 的弧度数是多少?

l=3r 若圆心角∠AOB表示一个负角,且 它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为 负数,零角的弧度数为0,如果半径为r的圆 的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度 数的绝对值是 l ︱α︱= r

这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定.

问题4:角度制与弧度制对比有什么区别 和联系?
(1)以弧度和度为单位的角,都是一个与半径 无关的定值。 (2) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的 单位制,角度制是以“度”为单位来度量角 的单位制;

(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实
数表示,而角度制是六十进制;

(4)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小,而1度是圆周 的所对的圆心 360

角的大小; 1弧度≠1?

问题5:角度制与弧度制换算关系是什么?

弧度与角度的换算

l 若l=2 π r,则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°
2πrad

l=2 π r

360°= 2π rad 180°= π rad

O

r

(B) A

180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
π 1°= —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 180 180 )°≈ 57.30°= 57°18′ 1弧度 =( —— π

三、例题
(1)把67°30′化成弧度。
? 1? 解:67 30' ? ? 67 ? ? 2?
? ?

1 3 67 30' ? rad ? 67 ? ?rad 180 2 8
?

?

3 (2)把 —π 弧度化成度。 5 3 180 ? 解: 3 ? ? rad ? ? ? ( ) ? 108 5 5 ?

度 00 300 450 600 弧 度

? 0 6

? 4

? 3

90
? 2

0

1200 1350 1500 1800

2700 3600

2? 3

3? 4

5? 6

?

3? 2

2?

注意:
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。 2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二 字通常省略不写,但用“度”(°)为单位不能 省。 3、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求,不用将π化成小数。

在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对 应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的 弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一 的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 正角 负角 正数 负数

零角 任意角的集合

0 实数集R

例2:请用弧度制表示下列角度的集合
锐角: {? | 0? ? ? ? 90?} 直角: {? | ? ? 90 }
?

{? | 0 ? ? ? } 2 {? | ? ? } 2

?

?

钝角:{? | 90 ? ? ? 180 }
? ? ? { ? | ? ? 180 } 平角:

{? |

?
2

? ? ? ?}

{? | ? ? ? } {? | ? ? 2? }

? { ? | ? ? 360 } 周角:

例3:用弧度制表示
(1)终边落在45°角的终边上的所有角的集合

{? | ? ?

?
4

? 2 k? , k ? Z }

(2)第Ⅱ象限角的集合

{? |

?
2

? 2 k ? ? ? ? ? ? 2 k? , k ? Z }

探究:
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式,并

尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制:
n? r l ? 180

(0 ? ? ? 2? )
2

弧长公式:

n? r 扇形面积公式: S 扇形 ? 360 弧度制:
弧长公式:

l ? ? r (0 ? ? ? 2? )

1 1 2 扇形面积公式: S ? l r ? ? r (0 ? ? ? 2? ) 2 2

例4 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求 扇形的中心角.

l 分析:要求中心角,根据公式| ? |? ,需求弧长l及半径R. R 解 设扇形的中心角的弧度数为 ? (0 ? ? ? 2? ) , 弧长为l,半
径为R,

l ? 2R ? 10 根据题意: 1 lR ? 4 2 由①得 l ? 10 ? 2R ,
2 R ? 5R ? 4 ? 0 代入②得




解得 R1 =1,R 2 =4

l 当R=1时,l=8cm时, ? ? ? 8 ? 2? R l 1 ?? ? 当R=4时,l=2cm时, R 2 1 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 2

舍去


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