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必修四三角函数和平面向量测试题含答案


小池中学试题库★数学卷

三角函数及平面向量综合测试题
一.选择题:(满分 50 分,每题 5 分) 1.下列向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( A. e 1 = (0,0), C. e 1 = (3,5),
? ? ?


?

e2
?

>=(1,-2) ; =(6,10);
???? ??? ? ???? ??? ? ? B A |? | B C ? A B |

B. e 1 = (-1,2), D. e 1 = (2,-3) ,
?

?

e2
?

= (5,7); =
( 1 2 ,? 3 4 )

e2

e2

2.在平行四边形 ABCD 中,若 | B C A.四边形 ABCD 为菱形 C.四边形 ABCD 为正方形
? ?

,则必有( ) B.四边形 ABCD 为矩形 D.以上皆错
? ? ?

3.已知向量 e 1 , e 2 不共线,实数(3x-4y) e 1 +(2x-3y) e 2 =6 e 1 +3 e 2 ,则 x-y 的值等于 ( ) A.3 B.-3
??? ? AB

?

C.0

D.2

4.已知正方形 ABCD 边长为 1, A.0 B.3 5.设
? ?

=a

?

???? , BC

=b

?

???? , AC

C. 2
? ? ?

2

= c ,则| a + b + c |等于( D. 2
? ?

?

?

?

?



??? ? ???? ???? ??? ? ( AB ? CD ) ? (BC ? DA) ?
? ? ?

?

a

,而 b 是一非零向量,则下列个结论:(1)
? ? ?

a

与 b 共线; (2)

a

+ b = a ;(3) A.(1) (2)
5 5

a

+ b = b ;(4) | a + b |<| a |+| b |中正确的是( ) B.(3) (4) C.(2) (4) D.(1) (3)

1 5 ? cos( x 2 ? 3? 2

6. 已知 sin ? =
A.3 5

4 4 则 sin ? - cos ? 的值是(

B. -

1 5

C.

D.

3 5

7. 在同一平面直角坐标系中,函数 y
是( )

)( x ? [ 0, ? ]) 的图象和直线 y ? 2

1 2

的交点个数

A.0

B.1


C.2

D.4

8.函数 y=-xcosx 的部分图象是(

9.已知△ABC 的两个顶点 A(3,7)和 B(-2,5),若 AC 的中点在 x 轴上,BC 的中点在 y 轴上,则顶点 C 的坐标是 ( ) A.(-7,2) B.(2,-7) C.(-3,-5) D.(5,3) 10.AD、BE 分别为△ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 A D = a , B E = b ,那么 B C 为( A. 2
3
?

????

?

??? ?

?

????


?

a

-4
3

?

b

B. 2
3

?

a

-2
3

?

b

C. 2
3

?

a

+4
3

?

b

D.- 2
3

?

a

+4
3

b

1

小池中学试题库★数学卷

班级 题号 答案 1 2 3

座号 4 5 6

姓名 7 8 9 10

二.填空题:(满分 25 分,每题 5 分) 11.函数 y
? cos(

?
3

?

2 5

x ) 的最小正周期

12.函数 y ?

2 s in (3 x+

?
4

) -1 的单调递减区间为
? 1 ??? AB 2
? ?


?
2

13.已知 A(2,3),B(1,4)且
? ?

=(sinα ,cosβ ),α 、β ∈(? ?

,

?
2

),则 α+β=

14.已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若 k a + b 与 a -3 b 平行,则实数 k 的值为

15. 给出下列五个命题:
①函数 y ? ta n x 的图象关于点 ( k ? ?
?
2 , 0 ) , k ? Z 对称;

②函数 f ( x ) ? s in | x | 是最小正周期为 ? 的周期函数; ③设 ? 为第二象限的角,则 ta n
2

?
2

? cos

?
2

,且 s in

?
2

? cos

?
2



④函数 y ? c o s x ? s in x 的最小值为 ? 1 ,. 其中正确的命题是_____________________.

三.解答题:(满分 75 分) 16. (本题 12 分)已知:点B(1,0)是向量 a 的终点,向量 b ,
? ? ? ?

c

均以原点O为起点,且
?

b

=(-3,-4),

?

c

=(1,1)与向量 a 的关系为 a =3 b -2 c ,求向量 a 的起点坐标.

?

?

?

?

2

小池中学试题库★数学卷

17.本题 12 分) ( 已知 A、 C 三点坐标分别为(-1,0)、 B、 (3,-1)、 (1,2) A E , 求证: E F
???? ??? ? // A B

????

?

1 ???? ???? 1 ???? AC , BF ? BC , 3 3

18. (本题 12 分)设两个非零向量 a 与 b 不共线 ⑴若 A B = a + b , B C =2 a +8 b , C D =3( a - b ) ,求证:A、B、D 三点共线; ⑵试确定实数 k,使 k a + b 和 a +k b 共线.
? ? ? ?

?

?

??? ?

?

?

????

?

?

????

?

?

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 O A ? ( 3 , ? 4 ) , O B ? ( 6 , ? 3 ) , O C ? ( 5 ? m , ? ( 3 ? m ) ) , (1)若点 A 、 B 、 C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若 ? A B C 为直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值.
??? ?
??? ? ????

3

小池中学试题库★数学卷

20. (本小题满分 12 分) 已知 s in ? , c o s ? 是方程 8 x ? 6 m x ? 2 m ? 1 ? 0 的两个实数根,求实数 m 的值.
2

21. (本题 15 分)函数 y

? A sin( ? x ? ? ), ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

? 2

)

的最小值是?2,其图象最

高点与最低点横坐标差是 3?,又:图象过点(0,1),求(1)函数解析式,并利用“五 点法” 画出函数的图象(2)函数的最大值、以及达到最大值时 x 的集合; (3)该函 数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩得到?(4)当 x∈(0, 时,函数的值域.
3? 2



4

小池中学试题库★数学卷

三角函数及平面向量综合测试题答案
一.选择题:(满分 50 分,每题 5 分) 题号 答案 1 B
?
12

2 B
2k? 3

3 A
7? 36 2k? 3

4 C

5 D

6 A 13. ? 或 6

7 C
?
2

8 D

9 B

10 C

二.填空题:(满分 20 分,每题 5 分) 11.5? 12. [
? , ? ], k ? Z



14.- 1
3

15①④

三.解答题:(满分 80 分,第 15、19、20 题各 14 分,第 16、17、18 题各 12 分) 16.解:设 a 的起点坐标为 A(x,y) ,则 A B =(1-x,-y)=(-11,-14),解得 x=12, y=14. 17.解:设 E(x1, y1),F(x2, y2) ,∵ AE 又 BF 由于 A B
??? ?
? 1 3 BC 1 3
?

??? ?

?

AC

, ∴(x1+1, y1)=(
7

2 2 , 3 3

), ∴x1= ? , y1= ,
3 3

1

2

,∴(x2-3, y2+1)=(- ,1), ∴x2= , y2=0,
3
3 8 2 3 ???? ( ,? ) ? EF 2 3 3 2

2

3
??? ? // A B

???? 8 2 则 EF ? ( , ? ) 3 3

? ( 4 , ? 1) ?

,所以 E F

????

18.解:⑴∵ B D

????

???? ???? ? BC ? CD

=5(a+b)=5 A B

??? ?

???? ? 2DC



??? ? AB

、 B D 共线,又它们有公

????

共点 B,所以 A、B、C 三点共线 ⑵依题:存在实数 λ ,使 k a + b =λ ( a +k b )
? ? ? ?

即(k-λ )

?

a

=(λ k-1)

?

b

∴k-λ =λ k-1=0 ∴k=±1 19. .解: (1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线,
∵ O A ? (3, ? 4 ) , O B ? (6 , ? 3) , O C ? (5 ? m , ? (3 ? m )) , ∴ A B ? ( 3 , 1) , B C ? ( ? m ? 1, ? m ) , 而 A B 与 B C 不平行, 即 ? 3 m ? ? m ? 1 ,得 m ? ∴实数 m ?
1 2 1 2
??? ?
????
??? ?
????

??? ?

??? ?

????



时满足条件.
??? ? ????

(2)若 ? A B C 为直角三角形,且 ? A 为直角,则 A B ? A C , 而 A B ? ( 3 , 1) , A C ? ( 2 ? m , 1 ? m ) , ∴ 3 ( 2 ? m ) ? (1 ? m ) ? 0 ,解得 m ?
7 4
??? ?
????


2m ? 1 8

20. 解:显然有 s in ?

? cos ? ? ?

3m 4

, s in ? c o s ? ?



5

小池中学试题库★数学卷
2m ? 1 8 9m 16
2

得1 ? 2 ?

?

,即 9 m ? 8 m ? 2 0 ? 0 ,
2

m ? 2, 或 m ? ?

10 9

,然而 m 的值需要满足 ? ? 9 m ? 1 6 m ? 8 ? 0 ,
2

得 m ? 2 不符合题意,所以 m ? ?

10 9



21. 解: (1)易知:A = 2 半周期
1 3

T 2

? 3?

∴T = 6? 即 有 2 sin

2?

?

? 6?

(?

? 0

) 从而:
? 6

? ?

设: y

? 2 sin(

1 3

x ? ?) 1 3

令x = 0
x ? ? 6 )

? ? 1 又: | ? |?

? 2

∴?

?



所求函数解析式为 y

? 2 sin(

图略
? 2 sin( 1 3 x ? ? 6 )

(2)当{x|x=6kπ +π ,k∈Z}时, y ∈ ?1 , 2 ?

取最大值 2

(3)略

(4) y

6


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