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四年级奥数 奇数与偶数(教师用含答案)



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第二讲:奇数与偶数

教学目标
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分,小学生的数学思维模式大多为“纯 粹的定量计算,拿到一个题就先去试数,或者是找规律,在性质分析层面几乎为 0,本讲力 求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力, 培养孩子明白做题前有时要 “先 看能不能这么做,再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到,但不会单 独出题,而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨
一、 奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除的数叫做奇 数。通常偶数可以用 2k(k 为整数)表示,奇数则可以用 2k+1(k 为整数)表示。 特别注意,因为 0 能被 2 整除,所以 0 是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质
性质 1:偶数〒偶数=偶数,奇数〒奇数=偶数 性质 2:偶数〒奇数=奇数 性质 3:偶数个奇数的和或差是偶数 性质 4:奇数个奇数的和或差是奇数 性质 5:偶数〓奇数=偶数,奇数〓奇数=奇数,偶数〓偶数=偶数

三、两个实用的推论:
推论 1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性,奇数改变运算结果的奇偶性。 推论 2:对于任意 2 个整数 a,b ,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶

例题精讲
模块一:奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质
【例 1】 1 ? 2 ? 3 ? ……? 1993 的和是奇数还是偶数?

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【解析】 在 1 至 1993 中,共有 1993 个连续自然数,其中 997 个奇数,996 个偶数,即共有 奇数个奇数,那么原式的计算结果为奇数 【巩固】 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 99 ? 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? 96 ? ? ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 的和是奇数还是偶数?为什么? 【解析】 在 算 式 中 , 1 ~ 99 都 出 现 了 次 , 所 以 2 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99 ? 99 ? 98 ? 97 ? 96 ? ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 是偶数,而 100 也是偶数, 所以 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 99 ? 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? 96 ? ? ? 7 ? 6 ?5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 的和是偶数. 【巩固】 29 ? 30 ? 31 ? ……? 87 ? 88 得数是奇数还是偶数? 【解析】 偶数。原式中共有 60 个连续自然数,奇数开头偶数结尾说明有 30 个奇数,为偶数 个。 【例 2】 (200 ? 201 ? 202 ? …… ? 288) 得 数是 奇数 还 ? ( 151 ? 152 ? 153 ? …… ? 233) 是偶数? 【解析】 200 至 288 共 89 个数,其中偶数比奇数多 1,44 个奇数的和是偶数;151 至 233 共 83 个数,奇数比偶数多 1,42 个奇数,为偶数;偶数减去偶数仍为偶数。 【例 3】 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 98 ? 99 的计算结果是奇数还是偶数,为什么? 【解析】 特殊数字: “1 ” .在这个算式中,所有做乘法运算的都是奇数 ? 偶数,所以它们的 乘积都是偶数,这些偶数相加的结果还是偶数,只有 1 是奇数,又因为奇数 ? 偶数 = 奇数,所以这个题的计算结果是奇数. 【例 4】 能否在下式的“□”内填入加号或减号,使等式成立,若能请填入符号,不能请 说明理由 (1)1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9=10 (2)1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9=27 不能。很多学生拿到这个题就开始试数,试了半天也试不出来因为,这时给他讲解,原式有 5 个奇数,无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分 析 后 定 量 计 算 的 题 目 ”( 2 ) 可 以 。 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 27 或

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 27 模块二:奇偶运算性质综合及代数分析法
【例 5】 是否存在自然数 a 和 b,使得 ab(a+b)=115? 【解析】 不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想,即 2 个自然数在奇偶性的 组合上只有 3 种情况, “2 奇 0 偶,1 奇 1 偶,0 奇 2 偶” ,可以分别讨论发现均不 成立。 【巩固】 是否存在自然数 a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327? 【解析】 不存在。可以分情况来讨论:3 奇 0 偶,2 奇 1 偶,1 奇 2 偶,0 奇 3 偶。但是比 较繁琐, 可以根据 45327 是一个奇数, 只有奇数乘以奇数才能得到, 所以 a-b、 b-c、 a-c 都为奇数,再根据奇偶性进行判断。 【巩固】 已知 a,b,c 中有一个是 511, 一个是 622, 一个是 793。 求证:(a ? 1)(b ? 2)(c ? 3) 是一个偶数 【解析】 因为在 a,b,c 中有 2 个是奇数,1 个是偶数,那么说明 a,c 两个数中至少有一个是

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模块三、奇偶模型与应用题

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奇数,那么 (a ? 1) 和 (c ? 3) 中至少有一个是偶数,所以 (a ? 1)(b ? 2)(c ? 3) 中至 少有一个因数是偶数,结果为偶数

【例 6】 沿着河岸长着 8 丛植物,相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个.问:8 丛植 物上能否一共结有 225 个浆果?说明理由. 【解析】 不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题,可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数 目差 1 个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同, 所以一定有 4 棵植物的果实为奇数个, 总和一定为偶数,不能为 225. 【例 7】 试找出两个整数,使大数与小数之和加上大数与小数之差,再加上 1000 等于 1999 .如果找得出来,请写出这两个数,如果找不出来,请说明理由. 【解析】 因为两个数的和 a ? b 与两个数的差 a ? b 的奇偶性相同,所以 的和 (a ? b) ? (a ? b) 是偶数.由结论三可知,这两数之和与这两数之差的和为偶数,再加 1000 还是偶 数,所以它们的和不能等于奇数 1999.

模块四:整数的奇偶性分析法
【例 8】 一个图书馆分东西两个阅览室.东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯.西阅览室里每 张桌子上有 3 盏灯.现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数.问: 哪个阅览室的桌子数是奇数? 【解析】 根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数, 想一想可以确定哪个阅览室桌子数、 灯数的奇偶性呢?由于东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯, 因此东阅览室的灯的总数 一定是偶数. 由于两个阅览室里灯的总数是奇数, 因此西阅览室的灯的总数一定是 奇数.又因为西阅览室里每张桌子上有 3 盏灯,可知西阅览室的桌子数是奇数.由 于两个阅览室里的总的桌子数是奇数,因此东阅览室的桌子数是偶数.所以,只有 西阅览室的桌子数是奇数. 【例 9】 师傅与徒弟加工同一种零件,各人把产品放在自己的箩筐里,师傅的产量是徒弟 的 2 倍,师傅的产品放在 4 只箩筐中,徒弟的产品放在 2 只箩筐中,每只箩筐都 标明了产品的只数:78 只,94 只,86 只,87 只,82 只,80 只.根据上面的条 件,你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗? 【解析】 注意到所给出的 6 个数只有一个为奇数,它肯定是徒弟制造的.原因是:师傅的产 量是徒弟的 2 倍,一定是偶数,它是 4 只箩筐中产品数的和,在题目条件下只能为 四个偶数的和.徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出,求出 徒弟加工零件总数为: ( 78 ? 94 ? 86 ? 87 ? 82 ? 80) ? ( 2 ?1 ) ? 169 , 那 另 一 筐 放 有 产 品 169 ? 87 ? 82 (只).所以,标明“82 只”和“87 只”这两筐中的产品是徒弟制造的.

课后练习
练习1. 东东在做算术题时,写出了如下一个等式: 1038 ? 13 ? 75 ? 64 ,他做得对吗? 【解析】 等式左边是偶数, 13 ? 75 是奇数, 64 是偶数,根据奇数 ? 偶数 ? 奇数,等式右边 是奇数,偶数不等于奇数,因此东东写出的等式是不对的.

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练习2.

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a、b、c 三个数的和与它们的积的和为奇数,问这三个数中最多可以有几个奇数? (★★★) 【解析】 根据题目内容,可以列出所要讨论的式子为 a ? b ? c ? abc 。则接下来可以分类讨 论 3 奇 0 偶,2 奇 1 偶,1 奇 2 偶,0 奇 3 偶四种情况。经验证如果要满足上式结 果为奇数,那么可以发现最多只能有 1 个奇数。 练习3. 黑板上写着两个数 1 和 2,按下列规则增写新数,若黑板有两个数 a 和 b,则增写 a×b+a+b 这个数,比如可增写 5(因为 1×2+1+2=5)增写 11(因为 1×5+1 +5=11) ,一直写下去,问能否得到 2008,若不能,说明理由,若能则说出最少 需要写几次得到? 【解析】 黑板上的数起初为一奇一偶, 按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数, 第四个 数如果选择仍由一奇一偶写出来的, 那么仍然是奇数; 另一种可以选择两个奇数开 始,那么“奇×奇+奇+奇=奇” ,所以不论如何增写,新增的数一定是奇数,所以 不可能出现 2008。


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