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2014年高中数学竞赛题


2014 年高中数学竞赛题
1.小王以 5 米/秒去追停靠在交通信号前的汽车,当他离汽车 18 米时,交通信号灯由红变 绿,汽车以 1 米/秒 2 的加速度起步开走,那么( (A)小王可在 7 秒内追上汽车. ) (B)小王可在 10 秒内追上汽车.

(C)小王追不上汽车,他们之间的最近距离为 5.5 米. (D)小王追不上汽车,他们之间的最近距离

为 7 米. 2 .

f (x)

is

a

monotonically

increasing

function

on

R?

.And

f (xy) ? f ( x) ? f ( y) .If f (3) ? 1 ,and f (a) ? f (a ? 1) ? 2 ,the value range of a is
( )

(A) ? 0, ? .
*

? ?

9? 8?

(B) ?1, ? .

? 9? ? 8?

(C) ?1, ? . 8

? 9? ? ?

(D) ?1, ? . 8 ) (D)

? 9? ? ?

n 7 3. x ? R ,n ? N , 若 定义 M x ? x( x ? 1)( x ? 2)? ? x ? n ?1) , 则函数 f ( x) ? M x ?3( ?(

(A)是偶函数.

(B) 是奇函数.

(C)既不是偶函数,也不是奇函数.

既是奇函数又是偶函数. 4.已 a,b,c are different form each ,but a , b , c So,
2 2 2

is in an arithmetic progression.

1 1 1 , , is in( b?c c?a a?b



(A)not only an arithmetic progression but also a geometric progression. (B)neither an arithmetic progression nor a geometric progression. (C)an arithmetic progression but not a geometric progression. (D)a geometric progression but not an arithmetic progression.
(英汉词典:arithmetic progression 等差数列;geometric progression 等比数列)

5.若 a ? 1 , b ? 2 , c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 、 b 的夹角是_____________. 6.已知等差数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,若不经过点 O 的直线上的三点 A、B、C 满足

?

?

?

? ?

?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? OB ? a3 OA ? a2008 OC ,则 S 2010 ? _____________.
? 7 . 已 知 f ( n) 5 ? 1? 0 1 5 ? ?? ?0 ?n 5 中 n 是 5 的 倍 数 , 则 2? 2 其 , ?

f (2010 ? _____________. )

8.已知集合 A ? x | x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 , B ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 A ? B ? A ,则实数 a 的值 构成的集合为_____________. 9.以下是关于数列的四个命题,其中正确的是 _____________. (瑱序号) ①②⑴①既是等差数列,又是等比数列的数列是常数数列; ②若数列 {an } 是等比数列,则数列 ?an ? an?1 ?也是等比数列; ③若数列 {an } 的递推公式是 an?1 ? a? n ,则数列 ?an ? 是等比数列; a ④若数列 {an } 的前 n 项和公式为 S n ,且 S n ? q n ? 1 ,则数列 ?an ? 是等差数列或等比数列. 10.已知 a 、 b 、 c 为非负数,则 f (a, b, c) ?

?

?

c a b ? ? 的最小值是_____________. a b?c c

三、B 组填空题(每小题 4 分,共 40 分)
11 . 数 列 {an } 中 , a1 ? a 2 a ?3 ? ?an ? 2n ?1 , 则 a1 ? _____________ , ? ??
2 2 a12 ? a2 ? a3 ?? ? an ? _____________. ?? 2

12 . 已 知 f ( x) ? ?

?2 ? x, ( x ? 0), , 使 f ( x) ? 0 的 x 的 值 有 ________ 个 ; 不 等 式 ? x ? 2, ( x ? 0),

x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 2 的解集是_____________.
13.If x , y and z are non—numbers such that x ? y ? 1 and xy ? z ,which of the following can be true?_____________. ① y ? z ;② y ? z ;③ z ? x ;④ z ? x ;⑤ x ? 0 . 14.不等式 x ? ax ?
2

3 的解集是 ( 4, b) ,则实数 a ? _______, b ? _________. 2

15.设 f ( x) ? x ? x ? 4 ,集合 M ? ?y | y ? f (n),1 ? n ? 100 n ? Z ?,则集合 M 中的偶 , 数有________个;集合 M 中的 3 的倍数有_________个.


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