2.1空间点,直线,平面之间的位置关系2[1]1

b

b′

b O
?

a
?

O

a′

a′ a

D′

C′ B′

A′
D A

C B

1、直线AA′

与哪些棱所在的直线是互相垂直的呢？ 2、直线AA′与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面 直线？ 3、如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，

那么，另一条直线是否也与这条直线垂直呢？
4、垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

D′ A′ D

B′

C′

C

A B 1、直线AA′与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？ 解答1：直线AA′分别与C′D′，CD，B′C′，BC是互 相垂直的异面直线。

2、直线AA′与哪些棱所在的直线是互相垂直的呢？ 解答2：直线AA′分别与C′D′，CD，A′B′，AB，B′C′， BC，AD，A′D′互相垂直。 3、如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那 么，另一条直线是否也与这条直线垂直呢？（垂直）
4、垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ （平行、异面、相交）

D′ A′ B′

C′

D 例1、如图，在长方体ABCD－ C A′B′C′D′中，AA′＝AB， A B 直线AA′与直线CD′垂直吗？若不垂直，它们的夹 角是多少?

解答：由DD′??AA′可知，∠DD′C是异面直线AA′与CD′ 的夹角，在RtΔDD′C中， ∠D’DC＝90°， DD′＝DC， 所以∠DD′C＝45°。即直线AA′与CD′的夹角是45°。

例2.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P，过 点P画一条直线和棱C 1D1平行，说明应该怎么画. 解： 如图（1），过点P作直线 MN∥CD，分别交AD，BC于M、N， 则由公理4得，MN∥C 1D1. D
M

C P D1 B B1
N

A
A1

C1

图（1）

? 例3、已知： BAC 和? B ?A ? C ? 的边 AB // A ? B ?, AC // A ? C ?

并且方向相同（即向量AB 与 A ? B ?, AC 与 A ? C ? 的方向相同）．
求证： BAC ? ? B ?A ? C ? ?

例4、以知E、F、G、H分别是空间四边形（四个顶点 不共面的四边形叫做空间四边形）四条边AB、BC、CD、 DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形。
A E H

B
F G

D

C

例5、如图，以知F 、 E是正方体的棱AD、A1 D 1 的 中点，求证： BEC ? ? B1 FC 1 . ?

A 课堂练习 E

D B 1、如图，在三棱锥A－BCD中， G F C E、F分别是AB、CD的中点， 且EF=5，AC=6，BD=8，则异面直线AC与BD的 夹角为多少？

解答：取BC中点G，连结EG、GF，则GE＝ 2 AC且 1 GE??AC，GF＝ 2 BD且GF?? BD，所以∠EGF是 异面直线AC与BD的夹角，且GE＝3，GF＝4，所以 ED2＋GF2＝EF2，所以EGF＝90o，所以异面直线AC 与BD的夹角是90o。

1

D′ 课堂练习 A′ B′

C′

D

C

A B 2、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线BC′与 CD′的夹角是多少？ 解答：连结A′B，A′C，易知BA′ ??CD ′，所以 ∠A′BC′是异面直线BC′与CD′所成的角，在ΔA′BC ′中， 易知A′B＝BC′＝C′A′，所以∠A′BC′＝60o，所以直线 BC′与CD′的夹角是60o。 3、直线BC′与AC、B′D′、A′D的夹角分别是多少？ （60o,60o,90o）

课堂练习
4．空间两直线平行是指它们（ ） A．无交点 B．共面且无交点 C．和同一条直线垂直 D．以上都不对

5．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行，则这两个角（ ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．既不相等也不互补