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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 热点专题突破系列(四)立体几何的综合问题


热点专题突破系列(四) 立体几何的综合问题 考点一 平行、垂直关系的证明与体积的计算 【考情分析】 以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体,通过空间平 行、垂直关系的论证命制,主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定 定理与性质定理,常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇 考查,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想, 一般以解答题的形式出现,难度中等. 【典例1】(2014·重庆高考改编)如图所示, 在四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形, PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= ? ,M为BC上一点, 3 且BM= 1 ,N为AB上一点,且BN= 1 . 2 2 (1)证明:MN∥平面PAC. (2)证明:BC⊥平面POM. (3)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积. 【解题提示】(1)只需证明MN∥AC即可. (2)在平面POM内可以找到OM,PO与BC垂直,从而得出结论. (3)直接利用体积公式求解即可. 【规范解答】(1)因为BM=BN= 1 , 所以 BM ? BN , BC BA 2 所以MN∥AC. 又MN 平面PAC,AC 平面PAC, 所以MN∥平面PAC. (2)因为ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,则AO⊥OB. 因为∠BAD= ? ,故OB=AB·sin ? =1, 3 1 ? 又因为BM= ,且∠OBM= , 2 3 6 在△OBM中, OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM 1 1 ? 3 ? 12 ? ( ) 2 ? 2 ? 1? ? cos ? . 2 2 3 4 所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM,故OM⊥BC. 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC. 从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直, 所以BC⊥平面POM. (3)由(2)得,OA=AB·cos∠OAB=2× cos ? ? 3. 6 设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形, 故PA2=PO2+OA2=a2+3. 由△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+ 3 . 4 连接AM,在△ABM中, AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM 1 1 2? 21 ? 22 ? ( ) 2 ? 2 ? 2 ? ? cos ? . 2 2 3 4 由已知MP⊥AP, 故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2, 即 a 2 ? 3 ? a 2 ? 3 ? 21 , 得 a ? 3 ,a ? ? 3 (舍去), 即PO= 3 . 2 4 4 2 2 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB 2 2 1 1 1 3 5 3 ? ? 3 ?1 ? ? ? ? . 2 2 2 2 8 1 = 1 ·AO·OB+ ·BM·OM 所以四棱锥P-ABMO的体积 VP?ABMO ? 1 1 5 3 3 5 S四边形ABMO PO ? ? ? ? . 3 3 8 2 16 【规律方法】 1.空间两直线位置关系的判定方法 (1)对于平行直线可通过作辅助线,利用三角形或梯形中位线的性质及 线面平行与面面平行的性质定理. (2)垂直关系可采用线面垂直的性质解决. 2.空间线面的位置关系的判定方法 (1)证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行 , 解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形,寻 求比例关系确定两直线平行. (2)证明直线与平面垂

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