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立体几何证明题专题(教师版)


立体几何证明题
考点 1:点线面的位置关系及平面的性质 例 1.下列命题: ①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________. 【解析】 由公理 3 知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命题①错,②中有可能出现两平面 只有一条公共线(当这三个公共点共线时),②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若 为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形 由公理 2 可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形,如图(1)所示.

在正方体 ABCD—A′B′C′D′中,直线 BB′⊥AB,BB′⊥CB,但 AB 与 CB 不平行,∴⑥错.AB∥CD,

BB′∩AB=B,但 BB′与 CD 不相交,∴⑦错.如图(2)所示,AB=CD,BC=AD,四边形 ABCD 不是平行四边
形,故⑧也错.

【答案】 ④ 2.若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 答案 B 解析 对于选项 A,若过点 P 有直线 n 与 l,m 都平行,则 l∥m,这与 l,m 异面矛盾. 对于选项 B,过点 P 与 l、m 都垂直的直线,即过 P 且与 l、m 的公垂线段平行的那一条直线. 对于选项 C,过点 P 与 l、m 都相交的直线有一条或零条. 对于选项 D,过点 P 与 l、m 都异面的直线可能有无数条. )

1

3.已知异面直线 a,b 分别在平面α ,β 内,且α ∩β =c,那么直线 c 一定 A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 答案 C 解析 若 c 与 a,b 都不相交,则 c 与 a,b 都平行,根据公理 4,则 a∥b,与 a,b 异面矛盾. 考点 2:共点、共线、共面问题 例 1.下列各图是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是

【解析】 ①在 A 中易证 PS∥QR, ∴P、Q、R、S 四点共面. ②在 C 中易证 PQ∥SR, ∴P、Q、R、S 四点共面. ③在 D 中,∵QR? 平面 ABC,

PS∩面 ABC =P 且 P?QR,
∴直线 PS 与 QR 为异面直线. ∴P、Q、R、S 四点不共面. ④在 B 中 P、Q、R、S 四点共面,证明如下: 取 BC 中点 N,可证 PS、NR 交于直线 B1C1 上一点,∴P、N、R、S 四点共 可证 PS∥QN,∴P、Q、N、S 四点共面,设为β . ∵α 、β 都经过 P、N、S 三点,∴α 与β 重合,∴P、Q、R、S 四点共面. 【答案】 D 2.空间四点中,三点共线是这四点共面的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 3.下面三条直线一定共面的是 A.a、b、c 两两平行 B.a、b、c 两两相交 C.a∥b,c 与 a、b 均相交 D.a、b、c 两两垂直 答案 C 4.已知三个平面两两相交且有三条交线,试证三条交线互相平行或者相交于一点. 【解析】 设α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c, ( ) ( ) 面,设为α .

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

由 a? β ,b? β ,则 a∩b=O,如图(1), 或 a∥b,如图(2),若 a∩b=O,

O∈a,a? α ,则 O∈α ,O∈b,b? γ ,则 O∈γ ,
又γ ∩α =c,因此 O∈c; 若 a∥b,a?γ ,b? γ ,则 a∥γ ,又 a? α ,α ∩γ =c,则 a∥c. 因此三条交线相交于一点或互相平行. 5.如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 上的点, 且

CF CG 2 = = . CB CD 3
(1)求证:三条直线 EF,GH,AC 交于一点. (2)若在本题中, =

AE CF AH CG =2, = =3,其他条件不变.求证:EH、FG、BD 三线共点. EB FB HD GD

【解析】 (1)∵E,H 分别是 AB,AD 的中点, 1 ∴由中位线定理可知,EH 綊 BD. 2 又∵ =

CF CG 2 = , CB CD 3

2 ∴在△CBD 中,FG∥BD,且 FG= BD. 3 ∴由公理 4 知,EH∥FG,且 EH<FG. ∴四边形 EFGH 是梯形,EH、FG 为上、下两底. ∴两腰 EF、GH 所在直线必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF? 平面 ABC, ∴P∈平面 ABC.同理可得 P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线上. 又∵面 ABC∩面 ADC=AC, ∴P∈直线 AC. 故 EF、GH、AC 三直线交于一点. (2)∵ = =2, ∴EF∥AC. 又

AE CF EB FB

AH CG = =3,∴HG∥AC,∴EF∥HG,且 EF>HG. HD GD

∴四边形 EFGH 为梯形. 设 EH 与 FG 交于点 P, 则 P∈平面 ABD,P∈平面 BCD.

3

∴P 在两平面的交线 BD 上. ∴EH、FG、BD 三线共点.

考点 3:异面直线的夹角 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点.求 BD1 与 CE 所成角的余弦值.

【解析】 连接 AD1,A1D 交点为 M,连接 ME,MC,则∠MEC(或其补角)即为异面直线 BD1 与 CE 所成的 角,设 AB=1,CE= 5 1 3 3 2 2 2 ,ME= BD1= ,CM =CD +DM = . 2 2 2 2

在△MEC 中,cos∠MEC =

CE2+ME2-CM2 15 15 = ,因此异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值为 . 2CE·ME 15 15

2.如图,若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的正切值是 ______.

答案

5

3.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 A. 10 10 1 B. 5 3 10 3 C. D. 10 5

答案 C 解析 连接 BA1,则 CD1∥BA1,于是∠A1BE 就是异面直线 BE 与 CD1 所成的角(或补角),设 AB=1,则

BE= 2,BA1= 5,A1E=1,在△A1BE 中,cos∠A1BE=

5+2-1

2 5· 2



3 10 ,选 C. 10

4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________. 【解析】 取 A1B1 的中点 F,连接 EF,FA,则有

EF∥B1C1∥BC,∠AEF 即是直线 AE 与 BC 所成的角或其补角.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2a,则
有 EF = 2a , AF = ? 2a?
2

+a = 5 a , AE = ?

2

2a?

2

+? 2a?

2

+a = 3a. 在 △ AEF 中 , cos ∠ AEF =

2

AE2+EF2-AF2 9a2+4a2-5a2 2 2 = = .因此,异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值是 . 2AE·EF 2×3a×2a 3 3

4

【答案】

2 3

考点 4:直线与平面平行的判定与性质 1.下列命题中正确的是________. ①若直线 a 不在α 内,则 a∥α ; ②若直线 l 上有无数个点不在平面α 内,则 l∥α ; ③若直线 l 与平面α 平行,则 l 与α 内的任意一条直线都平行; ④如果两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; ⑤若 l 与平面α 平行,则 l 与α 内任何一条直线都没有公共点; ⑥平行于同一平面的两直线可以相交. 答案 ⑤⑥ 解析 a∩α =A 时,a 不在α 内,∴①错;直线 l 与α 相交时,l 上有无数个点不在α 内,故②错;l ∥α 时,α 内的直线与 l 平行或异面,故③错;a∥b,b∥α 时,a∥α 或 a? α ,故④错;l∥α ,则 l 与 α 无公共点,∴l 与α 内任何一条直线都无公共点,⑤正确;如图,长方体中,A1C1 与 B1D1 都与平面 ABCD 平行,∴⑥正确.

2.给出下列四个命题: ①若一条直线与一个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行,则这条直线与这个平面平行; ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是________个. 答案 1 解析 命题①错,需说明这条直线在平面外. 命题②错,需说明这条直线在平面外. 命题③正确,由线面平行的判定定理可知. 命题④错,需说明另一条直线在平面外. 3.已知不重合的直线 a,b 和平面α , ①若 a∥α ,b? α ,则 a∥b; ②若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b; ③若 a∥b,b? α ,则 a∥α ; ④若 a∥b,a? α ,则 b∥α 或 b? α , 上面命题中正确的是________(填序号). 答案 ④ 解析 ①若 a∥α ,b? α ,则 a,b 平行或异面;②若 a∥α ,b∥α ,则 a,b 平行、相交、异面都

5

有可能;③若 a∥b,b? α ,a∥α 或 a? α . 4.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ ∥平面 BCE. 【证明】 方法一 如图所示. 作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N, 连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB,∴AE=BD. 又 AP=DQ,∴PE=QB. 又 PM∥AB∥QN,∴ = = , = ∴

PM PE QB QN BQ . AB AE BD DC BD

PM QN = . AB DC

∴PM 綊 QN,即四边形 PMNQ 为平行四边形. ∴PQ∥MN.又 MN? 平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE. 方法二 如图,连接 AQ,并延长交 BC 延长线于 K,连接 EK. ∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ,∴ =

AP DQ . PE BQ DQ AQ BQ QK AP AQ PE QK

又 AD∥BK,∴ = ,∴ = ,∴PQ∥EK. 又 PQ?平面 BCE,EK? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方法三 如图,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM∥BE,交 AB 于点 M,连接 QM. ∴PM∥平面 BCE. 又∵平面 ABEF∩平面 BCE=BE, ∴PM∥BE,∴ =

AP AM . PE MB

又 AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ. ∴

AP DQ AM DQ = ,∴ = . PE BQ MB QB

∴MQ∥AD.又 AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面 BCE.又 PM∩MQ=M, ∴平面 PMQ∥平面 BCE.又 PQ? 平面 PMQ, ∴PQ∥平面 BCE. 5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中 M,N 分别是 AF,BC 中点).

6

<1>求证:MN∥平面 CDEF; <2>求多面体 A—CDEF 的体积. 解析 (1)证明 由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且 AB=BC=BF=2,

DE=CF=2 2,∴∠CBF=90°.
取 BF 中点 G,连接 MG,NG,由 M,N 分别是 AF,BC 中点,可知:NG∥CF,MG∥EF.又 MG∩NG=G,CF ∩EF=F, ∴平面 MNG∥平面 CDEF,∴MN∥平面 CDEF.

(2)作 AH⊥DE 于 H,由于三棱柱 ADE—BCF 为直三棱柱,∴AH⊥平面 CDEF,且 AH= 2. 1 1 8 ∴VA-CDEF= S 四边形 CDEF·AH= ×2×2 2× 2= . 3 3 3 6.若 P 为异面直线 a,b 外一点,则过 P 且与 a,b 均平行的平面 A.不存在 C.可以有两个 答案 B B.有且只有一个 D.有无数多个

7.如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, N 在 BD 上, M 在 B1C 上, CM=DN, 点 点 且 求证: ∥平面 AA1B1B. MN

【证明】 方法一 如右图,作 ME∥BC,交 BB1 于 E;作 NF∥AD,交 AB 于 F,连接 EF,则 EF? 平面

AA1B1B.
∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN.



ME B1M NF BN = , = , BC B1C AD BD

7



ME BN NF = = ,∴ME=NF. BC BD AD

又 ME∥BC∥AD∥NF, ∴MEFN 为平行四边形. ∴NM∥EF.又∵MN?面 AA1B1B, ∴MN∥平面 AA1B1B. 方法二 如图,连接 CN 并延长交 BA 的延长线于点 P,连接 B1P,则 B1P? 平面 AA1B1B. ∵△NDC∽△NBP, ∴

DN CN = .又 CM=DN, NB NP CM DN CN = = , MB1 NB NP

B1C=BD,

∴MN∥B1P.∵B1P? 平面 AA1B1B, ∴MN∥平面 AA1B1B.

方法三 如右图,作 MP∥BB1,交 BC 于点 P,连接 NP. ∵MP∥BB1,∴

CM CP = . MB1 PB

∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN.∵ ∴

CM DN = , MB1 NB

CP DN = ,∴NP∥DC∥AB. PB NB

∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∴MN∥平面 AA1B1B.

8.如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别为

PC、PD、BC 的中点.

(1)求证:PA∥平面 EFG; (2)求三棱锥 P—EFG 的体积. 解析 (1)证明 如图,取 AD 的中点 H,连接 GH,FH.

8

∵E,F 分别为 PC,PD 的中点, ∴EF∥CD. ∵G,H 分别是 BC,AD 的中点, ∴GH∥CD. ∴EF∥GH,∴E,F,H,G 四点共面. ∵F,H 分别为 DP,DA 的中点,∴PA∥FH. ∵PA?平面 EFG,FH? 平面 EFG, ∴PA∥平面 EFG.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,CG? 平面 ABCD,∴PD⊥CG. 又∵CG⊥CD,CD∩PD=D,∴GC⊥平面 PCD. 1 1 1 1 ∵PF= PD=1,EF= CD=1,∴S△PEF= EF·PF= . 2 2 2 2 1 1 1 1 又 GC= BC=1,∴VP—EFG=VG—PEF= × ×1= . 2 3 2 6 9.如图所示,a,b 是异面直线,A、C 与 B、D 分别是 a,b 上的两点,直线 a∥平面α ,直线 b∥平面 α ,AB∩α =M,CD∩α =N,求证:若 AM=BM,则 CN=DN.

【证明】 连接 AD 交平面α 于 E 点,并连接 ME,NE. ∵b∥α ,ME? 平面 ABD,平面α ∩面 ABD=ME, ∴ME∥BD.又在△ABD 中 AM=MB, ∴AE=ED.即 E 是 AD 的中点. 又 a∥α ,EN? 平面 ACD,平面α ∩面 ADC=EN, ∴EN∥AC,而 E 是 AD 的中点. ∴N 必是 CD 的中点,∴CN=DN. 10.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 为 AC 上一点,若 AB1∥平面 C1EB,求:AE∶EC.

【解析】 连接 B1C 交 BC1 于点 F, 则 F 为 B1C 中点. ∵AB1∥平面 C1EB,

AB1? 平面 AB1C,且平面 C1EB∩平面 AB1C=EF.

9

∴AB1∥EF,∴E 为 AC 中点. ∴AE∶EC=1∶1. 【答案】 1∶1 考点 5:面面平行的判定及性质 1.设 m,n 是平面α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面β 内的两条相交直线,则α ∥β 的一个充分而不 必要条件是( ) B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2

A.m∥β 且 l1∥α 答案 B

解析 因 m? α ,l1? β ,若α ∥β ,则有 m∥β 且 l1∥α ,故α ∥β 的一个必要条件是 m∥β 且 l1 ∥α ,排除 A.因 m,n? α ,l1,l2? β 且 l1 与 l2 相交,若 m∥l1 且 n∥l2,因 l1 与 l2 相交,故 m 与 n 也相 交,∴α ∥β ;若α ∥β ,则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线,故α ∥β 的一个充分而不必要条件是 m∥

l1 且 n∥l2,应选 B.
2.棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P,Q,R 分别是面 A1B1C1D1,BCC1B1,ABB1A1 的中心,给出下 列结论: ①PR 与 BQ 是异面直线; ②RQ⊥平面 BCC1B1; ③平面 PQR∥平面 D1AC; ④过 P,Q,R 的平面截该正方体所得截面是边长为 2的等边三角形. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)

答案 ③④ 解析 由于 PR 是△A1BC1 的中位线,所以 PR∥BQ,故①不正确; 由 于 RQ ∥

A1C1,而 A1C1 不垂直于面 BCC1B1,所以②不正确;由于 PR∥BC1∥D1A, D1C,所以③正确;由于△A1BC1 是边长为 2的正三角形,所以④正
④. 3.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,G1、G2、G3 分别是△PAB、△PCB、△PAC 的重心. <1>求证:平面 G1G2G3∥平面 ABC; <2>求 S△G1G2G3∶S△ABC. 【解析】 (1)如图,连接 PG1、PG2、PG3 并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、F. 连接 DE、EF、FD. 则有 PG1∶PD=2∶3,

PQ ∥ A1B ∥
确.故填③

PG2∶PE=2∶3.
∴G1G2∥DE.又 G1G2 不在平面 ABC 内, ∴G1G2∥平面 ABC.同理 G2G3∥平面 ABC. 又因为 G1G2∩G2G3=G2,∴平面 G1G2G3∥平面 ABC.

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(2)由(1)知

PG1 PG2 2 2 = = ,∴G1G2= DE. PD PE 3 3

1 1 又 DE= AC,∴G1G2= AC. 2 3 1 1 同理 G2G3= AB,G1G3= BC. 3 3 ∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为 1∶3. ∴S△G1G2G3∶S△ABC=1∶9. 4.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α ,m? β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题为________. 答案 ③ 解析 ①中当α 与β 不平行时,也能存在符合题意的 l、m. ②中 l 与 m 也可能异面.

③中

? ? l? β ?? l∥m, β ∩γ =m? ?
l∥γ

同理 l∥n,则 m∥n,正确. 5.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点.

求证:平面 AMN∥平面 EFDB. 【证明】 连接 MF,∵M、F 是 A1B1、C1D1 的中点,四边形 A1B1C1D1 为正方形, ∴MF A1D1.又 A1D1 ∴MF AD. ∴四边形 AMFD 是平行四边形. ∴AM∥DF. ∵DF? 平面 EFDB,AM?平面 EFDB, ∴AM∥平面 EFDB,同理 AN∥平面 EFDB. 又 AM、AN? 平面 ANM,AM∩AN=A, ∴平面 AMN∥平面 EFDB. 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 C1C,B1C1,C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥平面 A1BD. 证明 方法一 如图(1)所示,连接 B1D1. ∵P,N 分别是 D1C1,B1C1 的中点,

AD,

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∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又 PN?平面 A1BD, ∴PN∥平面 A1BD. 同理:MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN=N, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 方法二 如图(2)所示,连接 AC1,AC, ∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体, ∴AC⊥BD. 又 CC1⊥平面 ABCD, ∴AC 为 AC1 在平面 ABCD 上的射影, ∴AC1⊥BD. 同理可证 AC1⊥A1B, ∴AC1⊥平面 A1BD. 同理可证 AC1⊥平面 PMN. ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 7.如图所示,平面α ∥平面β ,点 A∈α ,C∈α ,点 B∈β ,D∈β ,点 E、F 分别在线段 AB,CD 上, 且 AE∶EB=CF∶FD. 求证:EF∥β .

【证明】 ①当 AB,CD 在同一平面内时, 由α ∥β ,α ∩平面 ABDC=AC, β ∩平面 ABDC=BD,∴AC∥BD. ∵AE∶EB=CF∶FD, ∴EF∥BD.又 EF?β ,BD? β ,∴EF∥β . ②当 AB 与 CD 异面时, 设平面 ACD∩β =DH,且 DH=AC, ∵α ∥β ,α ∩平面 ACDH=AC,∴AC∥DH. ∴四边形 ACDH 是平行四边形. 在 AH 上取一点 G,使 AG∶GH=CF∶FD, 又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH. 又 EG∩GF=G,∴平面 EFG∥平面β . ∵EF? 平面 EFG,∴EF∥β .综上,EF∥β . 8.已知:如图,斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点.

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(1)当

A1D1 的值等于何值时,BC1∥平面 AB1D1; D1C1 AD DC

(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值.

【解析】

(1)如图,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时

A1D1 =1,连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 OD1. D1C1

由棱柱的性质,知四边形 A1ABB1 为平行四边形,所以点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O、D1 分别为 A1B、A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1? 平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, ∴BC1∥平面 AB1D1. ∴

A1D1 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1

(2)由已知,平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 A1BC1∩平面 BDC1=BC1, 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O, 因此 BC1∥D1O,同理 AD1∥DC1. ∴

A1D1 A1O A1D1 DC = , = . D1C1 OB D1C1 AD A1O DC AD =1,∴ =1,即 =1. OB AD DC

又∵

考点 6:线线、线面垂直 1.设α 、β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中真命题是 A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a∥α ,b∥β ,a∥b,则α ∥β C.若 a⊥α ,b⊥β ,a⊥b,则α ⊥β D.若 a、b 在平面α 内的射影互相垂直,则 a⊥b 答案 C 解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行,所以 A 错误;与两条平行直线分别平行的两个平面未 必平行,所以 B 错误;如图(1),设 OA∥a,OB∥b,直线 OA、OB 确定的平面分别交α 、β 于 AC、BC,则

OA⊥AC,OB⊥BC,所以四边形 OACB 为矩形,∠ACB 为二面角α -l-β 的平面角,所以α ⊥β ,C 正确;
如图(2),直线 a、b 在平面α 内的射影分别为 m、n,显然 m⊥n,但 a、b 不垂直,所以 D 错误,故选 C.

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2.“直线 l 垂直于平面α 内的无数条直线”是“l⊥α ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B 3.若 m,n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为 ①
? m∥n ? ?? n⊥α ? m⊥α ?



? n⊥α ? ? m⊥α ?

?? m∥n



m⊥α ? ?

?? m⊥n ? n∥α ?



m∥α ? ?
? m⊥n ?

?? n⊥α

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 ①②③正确,④错误. 4.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.求证: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 【证明】 (1)∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又 CD⊥AC,PA∩AC=A, 故 CD⊥平面 PAC,AE? 平面 PAC. 故 CD⊥AE. (2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故 PA=AC. ∵E 是 PC 的中点,故 AE⊥PC. 由(1)知 CD⊥AE, 从而 AE⊥平面 PCD,故 AE⊥PD. 易知 BA⊥PD,故 PD⊥平面 ABE. 5.设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 l∥α ,l∥β ,则α ∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则α ⊥β C.若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l⊥β D.若α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 答案 B 解析 A 项中由 l∥α ,l∥β 不能确定α 与β 的位置关系,C 项中由α ⊥β ,l⊥α 可推出 l∥β 或 l )

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? β ,D 项由α ⊥β ,l∥α 不能确定 l 与β 的位置关系. 6.设 b,c 表示两条直线,α ,β 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 b? α ,c∥α ,则 b∥c B.若 b? α ,b∥c,则 c∥α C.若 c∥α ,c⊥β ,则α ⊥β D.若 c∥α ,α ⊥β ,则 c⊥β 答案 C 解析 如果一条直线平行于一个平面,它不是与平面内的所有直线平行, 行,故 A 错; 若一条直线与平面内的直线平行,该直线不一定与该平面平行,该直线可能是该平面内的直线,故 B 错; 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行,那么这两个平面垂直,这是一个真命题,故 C 对; 对 D 来讲若 c∥α ,α ⊥β ,则 c 与β 的位置关系不定,故选 C. 7. 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E 为 BB1 的中点,∠A1DE =90°,求证:CD⊥平面 A1ABB1. 证明 连接 A1E,EC, ∵AC=BC=2,∠ACB=90°,∴AB=2 2. 设 AD=x,则 BD=2 2-x. ∴A1D =4+x ,DE =1+(2 2-x) ,A1E =(2 2) +1. ∵∠A1DE=90°,∴A1D +DE =A1E . ∴x= 2. ∴D 为 AB 的中点.∴CD⊥AB. 又 AA1⊥CD,且 AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面 A1ABB1. 8.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点. <1>证明:BD⊥EC1; <2>如果 AB=2,AE= 2,OE⊥EC1,求 AA1 的长. 【解析】 (1)如图,连接 AC,A1C1,AC 与 BD 相交于点 O. 由底面是正方形知,BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 AA1⊥BD. 又由 AA1∩AC=A,所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1? 平面 AA1C1C 知,BD⊥EC1. (2)设 AA1 的长为 h,连接 OC1. 在 Rt△OAE 中,AE= 2,AO= 2, 故 OE =( 2) +( 2) =4. 在 Rt△EA1C1 中,A1E=h- 2,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

只有部分平

A1C1=2 2.

15

故 EC1=(h- 2) +(2 2) . 在 Rt△OCC1 中,OC= 2,CC1=h,

2

2

2

OC2=h2+( 2)2. 1
因为 OE⊥EC1,所以 OE +EC1=OC1. 即 4+(h- 2) +(2 2) =h +( 2) , 解得 h=3 2.所以 AA1 的长为 3 2. 考点 7:面面垂直 1.△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,求证: ①DE=DA; ②平面 BDM⊥平面 ECA; ③平面 DEA⊥平面 ECA. 【证明】 ①取 EC 的中点 F,连接 DF. ∵BD∥CE,∴DB⊥BA.又 EC⊥BC, 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF= EC=BD,FD=BC=AB, 2 ∴Rt△EFD≌Rt△DBA,∴DE=DA. 1 ②取 CA 的中点 N,连接 MN、BN,则 MN 綊 EC. 2 ∴MN∥BD,∴N 点在平面 BDM 内. ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN,∴BN⊥平面 ECA. ∵BN? 平面 BDM,∴平面 BDM⊥平面 ECA. ③∵DM∥BN,BN⊥平面 ECA, ∴DM⊥平面 ECA,又 DM? 平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA. 2.已知平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC.AE⊥平面 PBC,E 为垂足. ①求证:PA⊥平面 ABC; ②当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形. 【证明】 ①在平面 ABC 内取一点 D,作 DF⊥AC 于 F. 平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC,∴DF⊥平面 PAC. 又 PA? 平面 PAC, ∴DF⊥PA.作 DG⊥AB 于 G, 同理可证:DG⊥PA.
2 2 2 2 2 2 2

DG、DF 都在平面 ABC 内,
∴PA⊥平面 ABC. ②连接 BE 并延长交 PC 于 H,

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∵E 是△PBC 的垂心,∴PC⊥BH. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线,PC? 平面 PBC, ∴PC⊥AE.又 BH∩AE=E,∴PC⊥平面 ABE. 又 AB? 平面 ABE,∴PC⊥AB. ∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PC∩PA=P,∴AB⊥平面 PAC. 又 AC? 平面 PAC,∴AB⊥AC. 即△ABC 是直角三角形. 3.如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)AM=MA1 是截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由. 【证明】 (1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴由面面垂直的性质定理可知 AD⊥侧面 BB1C1C. 又∵CC1? 侧面 BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)方法一 取 BC1 的中点 E,连接 DE、ME.在△BCC1 中,D、E 分别是 BC、BC1 的中点. 1 ∴DE 綊 CC1. 2 1 又 AA1 綊 CC1,∴DE 綊 AA1. 2 ∵M 是 AA1 的中点(由 AM=MA1 知),∴DE 綊 AM. ∴AMED 是平行四边形,∴AD 綊 ME. 由(1)知 AD⊥面 BB1C1C,∴ME⊥侧面 BB1C1C. 又∵ME? 面 BMC1,∴面 BMC1⊥侧面 BB1C1C. 方法二 延长 B1A1 与 BM 交于 N(在侧面 AA1B1B 中),连接 C1N. ∵AM=MA1,∴NA1=A1B1. 又∵AB=AC,由棱柱定义知△ABC≌△A1B1C1. ∴AB=A1B1,AC=A1C1. ∴A1C1=A1N=A1B1. 在△B1C1N 中,由平面几何定理知: ∠NC1B1=90°,即 C1N⊥B1C1. 又∵侧面 BB1C1C⊥底面 A1B1C1,交线为 B1C1, ∴NC1⊥侧面 BB1C1C. 又∵NC1? 面 BNC1, ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C, 即截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. (3)结论是肯定的,充分性已由(2)证明.

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下面仅证明必要性(即由截面 BMC1⊥侧面 BB1C1C 推出 AM=MA1,实质是证明 M 是 AA1 的中点), 过 M 作 ME1⊥BC1 于 E1. ∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C,交线为 BC1. ∴ME1⊥面 BB1C1C.又由(1)知 AD⊥侧面 BB1C1C, ∵垂直于同一个平面的两条直线平行, ∴AD∥ME1,∴M、E1、D、A 四点共面. 又∵AM∥侧面 BB1C1C, 面 AME1D∩面 BB1C1C=DE1, ∴由线面平行的性质定理可知 AM∥DE1. 又 AD∥ME1, ∴四边形 AME1D 是平行四边形. ∴AD=ME1,DE1 綊 AM. 又∵AM∥CC1,∴DE1∥CC1. 又∵D 是 BC 的中点,∴E1 是 BC1 的中点. 1 1 ∴DE1= CC1= AA1. 2 2 1 ∴AM= AA1,∴MA=MA1. 2 ∴AM=MA1 是截面 MBC1⊥侧面 BB1CC1 的充要条件. 考点 8:平行与垂直的综合问题 1.如图所示,在直角梯形 ABEF 中,将 DCEF 沿 CD 折起使∠FDA=60°,得到一个空间几何体. (1)求证:BE∥平面 ADF; (2)求证:AF⊥平面 ABCD; (3)求三棱锥 E—BCD 的体积.

【解析】 (1)由已知条件,可知 BC∥AD,CE∥DF,折叠之后平行关系不变. 又因为 BC?平面 ADF,AD? 平面 ADF, 所以 BC∥平面 ADF.同理 CE∥平面 ADF. 又因为 BC∩CE=C,BC,CE? 平面 BCE, 所以平面 BCE∥平面 ADF. 所以 BE∥平面 ADF. (2)由于∠FDA=60°,FD=2,AD=1, 1 2 2 2 所以 AF =FD +AD -2×FD×AD×cosFDA=4+1-2×2×1× =3. 2

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即 AF= 3. 所以 AF +AD =FD .所以 AF⊥AD. 又因为 DC⊥FD,DC⊥AD,AD∩FD=D, 所以 DC⊥平面 ADF.又因为 AF? 平面 ADF, 所以 DC⊥AF. 因为 AD∩DC=D,AD,DC? 平面 ABCD, 所以 AF⊥平面 ABCD. (3)因为 DC⊥EC,DC⊥BC,EC,BC? 平面 EBC,EC∩BC=C,所以 DC⊥平面 EBC.又因为 DF∥EC,AD∥
2 2 2

BC,∠FDA=60°,
所以∠ECB=60°. 又因为 EC=1,BC=1, 1 3 3 所以 S△ECB= ×1×1× = . 2 2 4 1 1 3 3 所以 VE-BCD=VD-EBC= ×DC×S△ECB= ×1× = . 3 3 4 12 2.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点.将△

ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2.
<1>求证:DE∥平面 A1CB; <2>求证:A1F⊥BE; <3>线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

【解析】 (1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD,所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE. 所以 A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下: 如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,连接 PQ,QE,PD,则 PQ∥BC.

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因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP. 所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,△PAD 为等腰三角形,∠APD=90°,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC、BD 的中点. <1>证明:EF∥平面 PAD; <2>证明:平面 PDC⊥平面 PAD; <3>求四棱锥 P—ABCD 的体积.

解析 (1)证明:如图,连接 AC. ∵四边形 ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴F 也是 AC 的中点. 又 E 是 PC 的中点,EF∥AP, ∵EF?平面 PAD,PA? 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. (2)证明:∵面 PAD⊥平面 ABCD,CD⊥AD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴CD⊥平面 PAD. ∵CD? 平面 PDC,∴平面 PDC⊥平面 PAD.

(3)取 AD 的中点为 O.连接 PO. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,△PAD 为等腰直角三角形, ∴PO⊥平面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. ∵AD=2,∴PO=1.又 AB=1, 1 2 ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 V= PO·AB·AD= . 3 3

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