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焦点弦问题[1]












公安三中:高二数学组

关于直线与圆锥曲线相交求弦长, 通用方法是将直线 代入曲线方程,化为关于 x 的一元二次方程,设出交点坐标,利 用韦达定理及弦长公式 求出弦长,这种整

体代换, 设而不求的思想方法对于求

直线与曲线相交弦长是十分 有效的, 然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比 较而言有点繁琐, 利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的 焦点弦长公式就更为简捷。.



椭圆
, 半焦距为 交

椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为 ,焦点 椭圆于 A、B 两点,求弦长

,设过 的直线 的倾斜角为 。解:连结 ,设

,由椭圆定义得 定理得 理可求得 ,则弦长 ,整理可得

,由余弦 ,同

同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 长半轴,b 为短半轴,c 为半焦距) 结论:椭圆过焦点弦长公式:

(a 为

.



双曲线
,其中两焦

双曲线的焦点弦长 设双曲线 点坐标为

,过 的直线 的倾斜角为 ,交双曲

线于 A、B 两点,求弦长|AB|。



解:(1)当

时,(如图 2)直线 与双曲线 ,设 ,由余弦定理可得 ,

的两个交点 A、B 在同一交点上,连 由双曲线定义可得

整理可得 ,则可求得弦长

,同理

(2)当



时,如图 3,直线 l 与双 ,设 ,则

曲线交点 A、B 在两支上,连 ,

,由余弦定理可得 ,

整理可得

,则

因此焦点在 x 轴的焦点弦长为

同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式

其中 a 为实半轴,b 为虚半轴,c 为半焦距, 为 AB 的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长



抛物线
若抛物线 与过焦点 的直线 相交于 A、B

两点,若 的倾斜角为 ,求弦长|AB|?(图 4) 解:过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线 , ,则点 A 的横坐标为 ,由抛物线定义可得 即 则 同理 的焦点弦长为 的焦点弦长为 ,所以抛物线的焦点弦长为 为垂足,设 ,点 B 横坐标为

由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常 简单明确,应予以掌握。


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