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高二数学(理科)第16周周末卷


2015-2016 学年第一学期

高二数学(理科)第 16 周周末试卷
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.把答案填在答题卡的相应位置.
2 1.已知集合 A ? {x x ? x ? 2 ? 0} , B ? {x x ?1 ? 0},则 A ? B 等于(

/>
) D. {x 1 ? x ? 2}

A. {x ?1 ? x ? 2}

B. {x x ? ?1 或 1 ? x ? 2}

C. {x 1 ? x ? 2} ) B. ?p : ?x ? R, x 2 ? 0 D. ?p : ?x ? R, x 2 ? 0

2.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 0 ,则命题 p 的否定是( A. ?p : ?x ? R, x2 ? 0 C. ?p : ?x ? R, x2 ? 0

3.已知向量 m , n ,命题“若 m ? n ,则 m ? n . ”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 4 )

4.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 a ? 8, B ? 600 , C ? 750 ,则 b ? ( A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D.

32 3


5.已知椭圆 A. 2

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , P 为椭圆上一点,若 PF1 ? 4 ,则 PF2 ? ( 9 25
B. 6 C. 10 ) D. D. 12

6.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 5an ? 5 ,则 a2 等于( A. ?

5 4

B.

5 4

C.

5 16

25 16


7.抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是( A. (2, 4) B. (2, ?4) C. (1, 2 2)

D. (1, ?2 2)

?x ? y ? 2 ? 8.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是( ?0 ? y ? 3 ?
A. 4 B. 6 C. 7

) D. 13 ) D.既不充分也不必要条件

9.若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 A.充分不必要条件

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的( k ?3 k ?3
C.充要条件

B.必要不充分条件

高二年级数学(理科)试题

第 1 页(共 4 页)

10.焦点在 x 轴,中心在原点的双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则双曲线的离心率为( A.



5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

11.已知椭圆的中心在原点,离心率 e ? 方程为( )

1 ,且它的一个焦点与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合, 则此椭圆 2

A.

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 8 6

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 4

12.已知 F 1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的 a 2 b2
) D. 3

左支交于 A 、 B 两点,若 D ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( A. 2 B. 3 C. 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二.填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡相应位置. 13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a5 ? a7 ? a9 ? 30 ,则 S13 ?
2 2 2 14.在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? 2ab ,则角 C ?

.

.

15. 抛物线 y ? ax 的焦点恰好为双曲线 y ? x ? 2 的一个焦点,则 a ?
2 2 2 2 2 16.已知 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有 2 个不等的负根; q : 方程 4 x ? 4(m ? 2)x ? 1 ? 0无实根。若 p ? q 是

假命题, p ? q 是真命题,则 m 的取值范围为 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.第 17 题 10 分,第 18 题至第 22 题 12 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. 17.已知椭圆的方程为 3x ? y ? 18 .
2 2

(1)求椭圆的焦点坐标及离心率; (2)求以椭圆的焦点为顶点、椭圆的长轴顶点为焦点的双曲线方程.

高二年级数学(理科)试题

第 2 页(共 4 页)

18.已知 ?ABC 中的角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c , 周长为 2 ? 1 , 且s i n As ? i n (1)求边 c 的长; (2)若 ?ABC 的面积为

B ? 2s i n

C .

1 sin C ,求角 C . 6

19.某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其它费用组成,已 知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度 x (海里/小时)的关系为 0.5 x ,其它费用为每小时 800 元, 且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时. (1)请将从甲地到乙地的运输成本 y (元)表示为航行速度 x (海里/小时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?
2

2 20.如图,直线 y ? x ? b 与抛物线 C : x ? 4 y 相切于点 A

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

高二年级数学(理科)试题

第 3 页(共 4 页)

21.设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 ,3a2 , a3 ? 4 构 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

1 ? an , n ? 1, 2,3,? ,求数列 {bn } 的前 n 项的和 Tn . n(n ? 1)

x2 y 2 3 22.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其离心率 e ? , A 、 B 分别为椭圆的长轴和短轴的端点 M a b 2
为 AB 中点, O 为坐标原点,且 OM ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (?1, 0) 的直线 L 与椭圆交于 P 、 Q 两点,求 ?POQ 面积最大时,直线 L 的方程.

5 . 2

高二年级数学(理科)试题

第 4 页(共 4 页)

福鼎二中 2012-2013 学年第一学期

高二数学(文科)第二次月考答案
1
C

2
D

3
C

4
A

5
B

6
D

7
B

8
B

9
C

10
C

11
A

12
C

13. [解析]: 1.答案 C

130

14.

450

15.

16

16.

①③⑤

由两向量 m ? n 可知 m , n 长度相等,方向相同, m ? n 只能得到 m , n 长度相等,

所以“若 m ? n ,则 m ? n ”的原命题和它的逆否命题为真命题,它的逆命题和否命题为假命题。 2.答案 D
2 因为 A ? {x x ? x ? 2 ? 0} ? {x ?1 ? x ? 2} , B ? {x x ?1 ? 0} ? {x x ? 1} ,

所以 A ? B ? {x 1 ? x ? 2}

3.答案 C

a sin B 8sin 600 ? ? ? ? 由 B ? 60 , C ? 75 得 A ? 45 ,故 b ? sin A sin 450
0

8?

3 2 ?4 6 2 2

4.答案 A 5.答案 B 6.答案 D

2 含量词命题否定需量词符号变化,再结论否定,所以 p 的否定为“ ?p : ?x ? R, x ? 0 ”

由椭圆定义可知 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,所以 PF 2 ? 2a ? PF 1 ? 10 ? 4 ? 6 由 Sn ? 5an ? 5 可得 a1 ? S1 ? 5a1 ? 5 ,得 a1 ?

5 , 4 5 ?5 a1 ? 5 4 25 又 a1 ? a2 ? S2 ? 5a2 ? 5 ,得 4a2 ? a1 ? 5 ,即 a2 ? ? ? 4 4 16 7.答案 B 因为 p : 2 ? 2 ? 5 为假命题, q : 3 ? 2 为真命题, 所以 ? p 为真命题, ? q 为假命题, p ? q 为假命题, p ? q 为真命题
8.答案 B 由“椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形”可知 a ? 2c ,所以离心率 e ?

c 1 ? a 2

9.答案 C

?x ? y ? 2 ? 由约束条件 ? x ? y ? 2 作图可知当 z ? 2 x ? y 过点 A 时, z 有最大值, ?0 ? y ? 3 ?

解方程组 ?

?y ? 3 ,得 A (5,3) ,所以 zmax ? 2 ? 5 ? 3 ? 7 ?x ? y ? 2

高二年级数学(理科)试题

第 5 页(共 4 页)

10.答案 C

? x? ? ? 设 M ( x, y ) ,P( x0 , y0 ) , 因为 M 是 OP 的中点, 所以 ? ?y ? ? ?

x0 ? x0 ? 2 x x2 y2 2 得? , 又 0 ? 0 ?1 y0 ? y 0 ? 2 y 4 2 2

所以

(2 x) 2 (2 y) 2 ? ? 1 ,即 M 的轨迹方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 4 2
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”可得 (k ? 3)(k ? 3) ? 0 ,即 k ? 3 或 k ? ?3 由“方程 k ?3 k ?3

11.答案 A

所以是充分不必要条件。 12.答案 C
x y 由 x ? 0, y ? 0,lg 2x ? lg8 y ? lg 2 得 2 ? 8 ? 2 即 2 ? 2
x 3y

? 2 ,故 x ? 3 y ? 1

所以

1 1 1 1 1 1 3y x 3y x ? ? 1? ( ? ) ? ( x ? 3 y)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ?2 ? ?4 x 3y x 3y x 3y x 3y x 3y
3y x 1 1 ? 时取等号, ? 有最小值 4 x 3y x 3y
由等差数列 {an } 有 a5 ? a7 ? a9 ? 30 ,得 3a7 ? 30 即 a7 ? 10 ,所以 S13 ? 13a7 ? 130 由 a ? b ? c ? 2ab 得 a ? b ? c ?
2 2 2 2 2 2
0

当且仅当

13.答案 130

14.答案 45

0

2ab ,所以 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 2ab 2 ? ? 2ab 2ab 2

所以 C ? 45 15.答案 16

因为直线 l 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 ,与椭圆交于 A 、 B 两点, F1 是它的左焦点, 16 8

所以 ?AF1B 的周长等于 4 a ,即 ?AF1B 的周长等于 16 16.答案①③⑤ 因为 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,所以 令 a ? 1, b ? 1 ,则 a ? b ?
3 3

ab ? (

a?b 2 ) ? 1 ,①正确; 2

2 不成立,②错误;

a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2 ? 2 ,③正确;
1 1 a?b 2 ? ? ? ? 2 ,⑤正确. a b ab ab

令 a ? 1, b ? 1 ,则 a ? b ? 3 不成立,④错误;

17.解: (1)由 3x ? y ? 18 得
2 2

x2 y 2 ? ?1 6 18
???????????????? 2

? 椭圆焦点在 y 轴上, a ? 3 2, b ? 6

高二年级数学(理科)试题

第 6 页(共 4 页)

? c ? a2 ? b2 ? 18 ? 6 ? 2 3


???????????????? 3

? 离心率 e ?

c 2 3 6 ? ? a 3 2 3
????????????????6

焦点坐标为 (0, 2 3),(0,? 2 3) 分

(2)由(1)知椭圆在 y 轴上的顶点坐标为 (0,3 2),(0, ?3 2) ,焦点坐标为 (0, 2 3),(0, ?2 3)

? 双曲线的焦点坐标为 (0,3 2),(0, ?3 2) ,顶点坐标为 (0, 2 3), (0,? 2 3)


???? 8

y 2 x2 可设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,有 a ? 2 3, c ? 3 2 a b


??????????????10

? b2 ? c 2 ? a 2 ? 18 ? 12 ? 6


?????????????????????11

? 双曲线方程为


y 2 x2 ? ?1 12 6

?????????????????????12

18.解: (1)由已知和正弦定理有 ? 分

? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ? ?a ? b ? 2c

?????????????????? 3

? c ?1
分 (2)? ?ABC 的面积是

???????????????????????????6

1 sin C , 6
????????????????? 8

1 1 1 ? ab sin C ? sin C 即 ab ? 2 6 3
分 又由(1)知 a ? b ? 1

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b) 2 ? 2ab ? c 2 ? ? ? 根据余弦定理 cosC ? 2ab 2ab
分 19.解: (1)依题意,

1 2 ? 2 ? ?1 1 3 ? 1 2 2? 3

??? 12

高二年级数学(理科)试题

第 7 页(共 4 页)

300 小时 x 300 1600 2 300 ? 800 ? ? 150( x ? ) (0 ? x ? 50) ? 4 则从甲地到乙地的运输成本 y ? 0.5 x ? x x x
每小时的燃料费用为 0.5 x (0 ? x ? 50) ,从甲地到乙地所用的时间为
2



? 所求的函数为 y ? 150( x ?
分 (2)由(1) y ? 150 ? x ? 当且仅当 x ? 分

1600 ) x

(0 ? x ? 50)

???????? 6

? ?

1600 ? 1600 ? 12000 , ? ? 150 ? 2 x ? x ? x

???????? 10 分

1600 ,即 x ? 40 时取等号. x

?????????????? 11

答:当货轮航行速度为 40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少.?????????? 12 分

20.解: (1)根据椭圆定义, 2a ? (1 ? 1) ? ( ) ? (1 ? 1) ? ( ) ? 4
2 2 2 2

3 2

3 2

?a ? 2 又? c ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3 ? 焦点在 x 轴上

???????????????????????????? 2 分

??????????????????????????? 3 分

x2 y2 ?1 ? 椭圆方程 C 为 ? 4 3
(2)由已知得直线 L 的方程为 y ? x ? 1

????????????????????? 5 分 ???????????? 6 分

? M 、 N 是直线与椭圆的交点,故设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 )
? y ? x ?1 8 ? 2 得 7 x ? 8x ? 8 ? 0 ,有 x1 ? x 2 ? ? ?由 ? x 2 y 2 7 ?1 ? ? 3 ?4

??????? 8 分

? y1 ? y 2 ? ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? x1 ? x 2 ? 2 ?
?


6 7

??????? 9 分 ??????????????? 11

x1 ? x 2 y ? y2 3 4 ? ?? , 1 2 7 2 7

4 3 ? 线段 MN 的中点坐标为 (? , ) 7 7
21.解: (1)依题意,设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ( q ? 1 )

??????????????? 12 分 ????????? 1 分

高二年级数学(理科)试题

第 8 页(共 4 页)

?a1 ? a2 ? a3 ? 7 ? S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列.即 ? ?2 ? 3a2 ? a1 ? 3 ? a3 ? 4

??? 2 分

? 联立两式可得 a2 ? 2
1 2 ? 由 a1 ? a2 ? a3 ? 7 得 ? 2q ? 2 ? 7 ,解得 q ? 2 或 q ? (不合题意,舍去) ?? 4 分 2 q

? a1 ?


a2 2 ? ?1 q 2

???????????????????? 5

? an ? 2n?1
分 ( 2 )由( 1 )知 bn ? 分

???????????????????? 6

1 ? 2n ?1 n(n ? 1)

???????????????????? 7

? Tn ?

1 1 1 ? 20 ? ? 21 ? ? ? ? 2n?1 1? 2 2?3 n(n ? 1)
????????? 9

1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n ?1 ) 2 2 3 n n ?1


1 ? 2n ? 1 n ?1 1 ? 2n ? n ?1 ? 1?

? 数列 {bn } 的前 n 项的和 Tn ? 2 n ?

1 n ?1

????????????????? 12 分

? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 22.解: (1)? 设椭圆半焦距为 c ,依题意有 ?a 2 ? b 2 ? 5 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ? ?c ? 3 ? 2 ?a

? 椭圆 C 的方程为


x2 ? y2 ? 1 4

???????????????????? 4

(2)依题意,设点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 )

高二年级数学(理科)试题

第 9 页(共 4 页)

当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 的方程为 x ? ?1 ,此时 S?POQ ? 当直线 L 的斜率存在时,设 L 方程为 y ? k ( x ? 1)

3 2

?????6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由方程组 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ?1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

? x1 ? x2 ? ?


8k 2 4(k 2 ? 1) , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

????????????????????9

? PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
分 又原点到直线 L 的距离为 d ? 分

4 3k 2 ? 1 4k 2 ? 1

???????????????10

k 1? k 2

??????????????????11

? S ?POQ

2 k k 2 (3k 2 ? 1) 1 1 2 4 3k ? 1 ? PQ ? d ? 1? k ? ? ?2 2 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 1? k 2

2


3k 4 ? k 2 3 8k 2 ? 3 3 3 ? 2 ? ? 2? ? 4 2 4 2 16k ? 8k ? 1 16 16(16k ? 8k ? 1) 4 2

????????? 13

? 当直线 L 的方程为 x ? ?1 ,此时 ? POQ 的面积最大

????????????14 分

高二年级数学(理科)试题

第 10 页(共 4 页)


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