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高中数学---椭圆知识点小结


椭圆知识点
1、椭圆的第一定义:平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭
圆的焦距.
注意:若 ( PF 1 迹无图形.

? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为

线段 F1 F2 ;若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨

2、椭圆的标准方程
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; a2 b2 y2 x2 2 2 2 2).当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c ? a ? b ; a b 2 2 x y 3、椭圆: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a b x2 y2 (1)对称性:对于椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴 a b
1).当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: 为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对 称中心称为椭圆的中心。 (2)范围:椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满足 x ? a , y ? b 。 (3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) , A2 (a,0) , a2 b2 B1 (0,?b) , B2 (0, b) 。 ③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 ? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 2c c ? 。②因为 (4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? 2a a
(a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? a 2 ? c 2 越小, 因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且 2 2 仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
注意: 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2 ( PF1 ? PF2 ? 2a )

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e;

( PM1 ? PM 2

2a 2 ? ); c

-1-

4 、椭圆的令一个定义:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

?e

5:椭圆

x2 y2 y2 x2 与 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 a2 b2 a2 b2
标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长 离心率

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b
(? a,0) , (0,?b)
c (0 ? e ? 1) a

F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a
(0,? a) , (?b,0)

关于 x 轴、 y 轴和原点对称

长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

e?

准线方程 焦半径

x??

a2 c

y??

a2 c

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上,并指明 a2,b2 和焦点坐标.

2


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