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经典与实用的直线与双曲线的位置关系及弦长问题的教案


直线与双曲线的位置关系及弦长问题的教案 一复习 1 椭圆与直线的位置关系及判断方法(括号部分学生回答) (1) 几何(从定义即交点)(2)代数(写出联立后消 Y 后的方程) 2 弦长求法 (1) 直接求交点坐标,用两点间距离公式 (2) 用韦达定理,然后用公式为( )或 ( ) 二新课讲解 1.从几何形的角度(请同学们画直线),讨论后画出基本的图形, 并作结

Y

O

X

Y

O

X

小结:㈠ 相交;⑴有两个公共点①在同一支②分别在两支 ⑵有一个公共点:直线与渐近线平行 ㈡相切 只有一个公共点 ㈢相离 没有公共点(板书小结并为下面代数方法后小结预留空位)

2.与椭圆和直线一样,同样可以用代数方法联立方程组求交点个数来解决位置 关系问题。 x2 y2 设直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 a b 2 2 2 2 2 2 2 (b ? a k ) x ? 2a mkx? a m ? a 2b 2 ? 0 ① b (1) 若 b2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? ,直线与双曲线渐近线平行或重合。 a 2 方程①为一元一次方程: ?2a mkx ? a 2 m2 ? a 2b2 ? 0 b I 当 m=0 时,方程无解 。直线与双曲线无交点。此时直线为 y ? ? x ,直线和 a 渐近线重合(如图)。位置关系:相离 II 当 m ? 0 时,方程①有唯一解。直线与双曲线有唯一公共点。此时直线为 b y ? ? x ? m ,直线与渐近线平行,(如图)。位置关系:相交。(与小结对应) a b (2)若 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? , a 2 2 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a k )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ? 有两个交点,直线与双曲线相交。(与图形和小结对应) ? ? 0 ? 有一个交点,直线与双曲线相切。 ? ? 0 ? 没交点,直线与双曲线相离。 小结:直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的(
k?? b a

)条件

㈠ 相交;⑴有两个公共点①在同一支

? >0

x1 × x2 >0
k?? b a

②分别在两支

? >0

x1 × x2 <0
⑵有一个公共点: 直线与渐近线平行
k??
m?0
k?? b a

b a

㈡相切 只有一个公共点

? =0
k?? b a



㈢相离

没有公共点

? <0

b k ? ? (即渐进线) a m=0

注意:数形结合,前后呼应。(大括号中的在前面补充) 3.直线和双曲线弦长求法与______类比,即可。 三.例题分析 x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别 【例 1】过点 P( 7,5) 与双曲线 7 25
求出它们的方程,变式:若无公共点斜率范围?

【例 2】直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上?

【例 3】求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ?
2

y2 ? 1截得的弦长; 4

四.课后思考

x2 y 2 : 1.过点 P(1,1)与双曲线 ? ?1 9 16

只有一个交点

的直线共有______条 变题:将点 P(1,1)改为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0). 答 案又是怎样的? 2 双曲线 x2-y2=1 的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于 顶点),则直线 PF 的斜率的变化范围是_________ 3 过原点与双曲线 ______ 4.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4,试讨论实数 k 的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点; (3)只有一个公共点; (5)与左支交于两点. (2)有两个公共点; (4)交于异支两点;
x2 y 2 ? ? ?1 交于两点的直线的斜率的取值范围是 4 3


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