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普陀区2015文理科数学三模卷参考答案


普陀区文理科数学三模卷 参考答案:

?1? i 1、
0 9、 4

[0, ??) 2、
10、 48 (理) n 2 16、B
n ?1

?1 3、

4、 (?1,1) 12、

?2 5、

6、

2? 3 4

7、 17? (理) 1

8、 14、

11、 2031120

1 3

13、 (文) 3+22

(文)192 15、C

17、A

18、 D

19、 (1)函数 f ( x ) 的零点是 x ? 0 , (2 分) 反函数 f
?1

( x) ? log 2

1? x , x ? (?11) , , ,(6 分) 1? x

(2)因为 k ? 0 ,(7 分) 所以 log 2

1? x 1? x 1? x 2 ? 2 log 2 ? log 2 ( ) , 1? x k k

得到 k 2 ? (1 ? x)(1 ? x) ? 1 ? x2 , (9)分) 当x?

5 2 时,右边最小值为 , (11 分) 9 3

所以 0 ? k ?

5 .(12 分) 3

20.(1)因为

BD ? AC ? (3 分) ? ? BD ? 平面 A1 AC ? BD ? AC 1 ; BD ? AA1 ?

又因为

BE ? B1C ? ? ? BE ? 平面 A1B1C ? BE ? AC 1 ; BE ? A1B1 ?

所以 AC ? 平面 BDE . (6 分) 1 (2) (文)容易得到 CE ? 1 , (8 分) 所以 VC ? BDE ? VE ? BDC ?

1 1 2 ?1? ? 2 ? 2 ? .(14 分) 3 2 3

(理) CE ? 1 , DE ? BE ? 5, BD ? 2 2 ,设 C 到平面 BDE 的距离为 h ,则 因为 VC ? BDE ? VE ? BDC ?

1 1 1 1 6 , (13 分) ?1? ? 2 ? 2 ? h ? 2 2 ? 3 ? h ? 3 2 3 2 3

所以所求线面角的正弦值为

6 .(14 分) 6

21、 (1)因为 EG ?

10 10 10 , EF ? , FG ? , (3 分) cos ? sin ? sin ? cos ? 1 1 1 ? ? l ? 10( + ? ), ? ? [ , ] (6 分) sin ? cos ? sin ? cos ? 6 3
1

(2) l ? 10

1 ? sin ? ? cos ? , sin ? cos ?

令 t ? sin ? ? cos ? ? 所以 l ?

2 sin(? ? ) ? [ 4

?

3 ?1 (8 分) , 2] , 2

20 3 ?1 在[ (10 分) , 2] 上减, t ?1 2 ? ? 所以当 ? ? 或 时, lmax ? 20( 3 ?1) (13 分) 3 6 ? ? 答:当 ? ? 或 时, lmax ? 20( 3 ?1) m .(14 分) 3 6
22、 (1)因为 an?1

p ? 1,q ? 2 是“ M 类数列” , (2 分) ? an ? 2,

(4 分). bn?1 ? 2bn , p ? 2,q ? 0 是“ M 类数列” (2)因为 {an } 是“ M 类数列” ,所以 an?1 ? pan ? q , an?2 ? pan +1 ? q , 所以 an?1 +an?2 ? p(an ? an?1 ) ? 2q ,因此, {an ? an?1} 是“ M 类数列”.(7 分) 因为 {an } 是“ M 类数列” ,所以 an?1 ? pan ? q , an?2 ? pan +1 ? q , 所以 an?1an?2 ? p2 (an an?1 ) ? pq(an ? an?1 ) ? q2 , 当 q ? 0 时,是“ M 类数列” ; (9 分) 当 q ? 0 时,不是“ M 类数列” ; (10 分) (3)当 n 为偶数时, Sn ? 3(2 ? 22 ? ?? 2n?1 ) ? 2n +1 ? 2 , 当 n 为奇数时, Sn ? 1+3(22 ? 24 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n +1 ? 3 ,
n ?1 ? ( n ? 2k , k ? Z ) ?2 -2, 所以 S n ? ? n ?1 .(12 分) (n ? 2k ? 1, k ? Z) ? ?2 ? 3,

当 n 为偶数时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n +1 ? 2 ? (2n ? 3) ? 2n ? 1, 当 n 为奇数时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n +1 ? 3 ? (2n ? 2) ? 2n ?( (14 分) 1 n ? 3) ,

?2n ? 1, ( n ? 2k , k ? Z ) ? 所以 an ? ? n (n ? 2k ? 1, k ? Z) ? ?2 ? 1,
假设 {an } 是“ M 类数列” ,

2

当 n 为偶数时, an?1 ? 2n?1 ?1 ? pan ? q ? p(2n ? 1) ? q ? p ? 2, q ? ?3 , 当 n 为奇数时, an?1 ? 2n?1 ? 1 ? pan ? q ? p(2n ?1) ? q ? p ? 2, q ? 3 , 得出矛盾,所以 {an } 不是“ M 类数列”.(16 分)

23、 (1)因为 S1 ? ? S2 ,所以 n ? m ? ? (m ? n) ? ? ? 解得, ? ?

m ? n ? ?1 ? ? ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 m ? n ? ?1

2 ? 1 (小于 1 的根舍去).(4 分)

(2)因为 S1 ? 3S2 ,又因为 M , N 到直线 l 的距离相等, (5 分) 所以 | BD |? 3 | BA | ,(7 分) 由椭圆的对称性,得到 |DC |?| BA |,| CO |?| OB | ,(8 分) 所以 | BC |? 2 | BA |?| BO |?| BA | ,即 B 是 OA 中点, (9 分) 同理, C 是 OD 中点, B, C 是 AD 的四分点,得证.(10 分)

(3)设椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 , ? ? 1 ? a ? m ? C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : y ? kx(k ? 0) a n a 2 m2

? y ? kx a 2 m2 a 2 m2 ? 2 2 2 2 ? x ? x ? 即 (12 分) ?x y A m2 ? a 2 k 2 m2 ? a 2 k 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a m
同理可得, xB ?
2

a 2n2 n2 ? a 2k 2

又? ?BDM 和 ?ABN 的高相等

?

S1 BD xB ? xD xB ? xA ? ? ? S2 AB xA ? xB xA ? xB

若存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ?1? xA ? ? ? ? 1? xB ,

? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,解得 k 2 ? 2 2 4n ? 2 即 2 2 ? a ? ? ? 2? ? 1?? ? ? 1? (16 分) ? n ? a 2 k 2 n2 ? a 2 k 2
2 2
2 3

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;
当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直线 l . (18 分)

3


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