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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修3:第三章 概率 单元同步测试


第三章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小 题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的) 1.先后抛掷 2 枚一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正、反面 情况,则下列事件包含 3 个基本事件的是( A.至少一枚硬币正面向上 B.只有一枚硬币正面向上 C.两枚硬币都是正面向上 D.两

枚硬币一枚正面向上,另一枚正面向下 解析 先后抛掷 2 枚一分、二分的硬币,其结果有 4 种情形:“1 正 2 正”、“1 正 2 反”、“1 反 2 正”、“1 反 2 反”,可得“至少 一枚硬币正面向上”包含 3 个基本事件. 答案 A )

2.下列命题: ①对立事件一定是互斥事件;②若 A,B 为两个随机事件,则 P(A ∪B)=P(A)+P(B);③若事件 A,B,C 彼此互斥,则 P(A)+P(B)+P(C) =1;④若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A 与 B 是对立事件. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析 ①正确;②不正确,当 A 与 B 是互斥事件时,才有 P(A∪ B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件 A,B 满足 P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(AB); ③也不正确. P(A)+P(B)+P(C)不一定等于 1, 还可能小于 1;

④也不正确.例如:袋中有大小相同的红、黄、黑、绿 4 个球,从袋 中任摸一个球,设事件 A={摸到红球或黄球},事件 B={摸到黄球或 1 1 黑球},显然事件 A 与 B 不互斥,但 P(A)+P(B)=2+2=1. 答案 A

3.掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出 现正面向上的概率是( 1 A.999 999 C.1000 ) 1 B.1000 1 D.2

1 解析 投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为2,它不因抛掷的次 1 数而变化,因此抛掷一次正面向上的概率为2,抛掷第 999 次正面向上 1 的概率还是2. 答案 D

4.某导演先从 2 个金鸡奖和 3 个百花奖的 5 位演员名单中挑选 2 名演主角,后又从剩下的演员中挑选 1 名演配角.这位导演挑选出 2 个金鸡奖演员和 1 个百花奖演员的概率为( 1 A.3 2 C.5 1 B.10 3 D.10 )

解析 设 2 个金鸡奖演员编号为 1,2,3 个百花奖演员编号为 3,4,5. 从编号为 1,2,3,4,5 的演员中任选 3 名有 10 种挑选方法: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其 中挑选出 2 名金鸡奖和 1 名百花奖的有 3 种:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),

3 故所求的概率为 P=10. 答案 D

5.设某厂产品的次品率为 3%,估计该厂 8000 件产品中次品的件 数为( A.3 C.240 解析 次品数为 8000×3%=240. 答案 C ) B.160 D.7480

6.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗小玻璃球, 若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的 游戏盘是( )

3 解析 由几何概型概率公式知,图中中奖的概率依次是 P(A)=8, 2 2 1 1 P(B)=8,P(C)=6=3,P(D)=3,因此,要想增加中奖机会,应选择 A 盘. 答案 A

7.在线段 AB 上任取三个点 x1,x2,x3,则 x2 位于 x1 与 x3 之间的 概率为( 1 A.2 1 C.4 ) 1 B.3 D.1

解析 由于 x1, x2, x3 是任意的, 它们的排列次序有: x1x2x3, x2x1x3, x2x3x1,x3x2x1,x1x3x2,x3x1x2,共 6 种情况.其中 x2 在 x1 与 x3 之间有两 2 1 种情况,故所求概率为6=3. 答案 B

8.小明同学的 QQ 密码是由 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中的 6 个数字组成的六位数,由于长时间未登录 QQ,小明忘记了密码的最后 一个数字,如果小明登录 QQ 时密码的最后一个数字随意选取,则恰 好能登录的概率是( 1 A.105 1 C.102 ) 1 B.104 1 D.10

解析 只考虑最后一位数字即可,从 0 至 9 这 10 个数字中任取一 个,作为密码的最后一位数字有 10 种可能,其中只有一种可能登录成 1 功,故其概率为10. 答案 D

9.某人从甲地去乙地共走了 500 m,途中要过一条宽为 x m 的河 流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物 4 品不掉在河里,则能找到,已知该物品能找到的概率为 5,则河宽为 ( ) A.100 m C. 50 m B.80 m D.40 m

x 4 解析 设河宽 x m,则 1-500=5,∴x=100 (m). 答案 A

10.如图的矩形长为 5、宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的 面积为( )

23 A. 5 C. 10

23 B.50 D.不能估计

138 解析 利用几何概型的概率计算公式,得阴影部分的面积约为300 23 ×(5×2)= 5 . 答案 A

11.在所有的两位数(10~99)中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( 5 A.6 2 C.3 ) 4 B.5 1 D.2

解析 在 10~99 中有 99-10+1=90 个整数,其中能被 2 整除的 有 45 个,能被 3 整除的有 30 个,能被 6 整除的有 15 个,因此,所求 的概率为 P= 答案 C 45+30-15 2 =3. 90

12.小丽和小明一起用 A,B 两枚均匀的小正方体(立方体的每个 面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)玩游戏,以小丽掷出的 A 立方体朝上的 数字为 x,小明掷出的 B 立方体朝上的数字为 y,来确定点 P(x,y),

那么他们各掷一次所确定的点 P(x,y)落在抛物线 y=-x2+4x 上的概 率为( 1 A.6 1 C.12 ) 1 B.9 1 D.18

解析 根据题意,两人各掷小正方体一次,每人都有 6 种可能性, 则点 P(x, y)的情况有 6×6=36 种可能, 而 y=-x2+4x=-(x-2)2+4, 即(x-2)2+y=4,易得在抛物线上的点有(2,4),(1,3),(3,3)共 3 种.因 3 1 此满足条件的概率为36=12. 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.把答案填 在题中横线上) 13.一种投掷骰子的游戏规则是:交 2 元钱可掷一次骰子,若骰 子朝上的点数是 1,则中奖 2 元;若点数是 2 或 3,则中奖 1 元,若点 数是 4,5 或 6,则无奖,某人投掷一次,那么中奖的概率是______. 解析 由题意知,投掷一次骰子若点数为 1,2,3 则获奖,若出现点 1 数 4,5,6 无奖,所以中奖的概率为2. 1 答案 2 14.设集合 A={0,1,2},B={0,1,2},分别从集合 A 和 B 中随机取 一个数 a 和 b,确定平面上一个点 P(a,b),设“点 P(a,b)落在直线 x +y=n 上”为事件 Cn(0≤n≤4,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的可能值为________.

解析 基本事件为点(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),总数为 9. 当 n=0 时,落在直线 x+y=0 上的点有 1 个(0,0); 当 n=1 时,落在直线 x+y=1 上的点有 2 个,(0,1)和(1,0); 当 n=2 时,落在直线 x+y=2 上的点有(1,1),(2,0),(0,2),共 3 个; 当 n=3 时,落在直线 x+y=3 上的点有(1,2),(2,1)共 2 个; 当 n=4 时,落在直线 x+y=4 上的点只有(2,2)1 个. 因此,当 Cn 的概率最大时,n=2. 答案 2 15.已知区域 E={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2},F={(x,y)|0≤x≤3, 0≤y≤2,x≥y},若向区域 E 内随机投掷一点,则该点落入区域 F 内 的概率为________.

解析 依题意可知,本问题属于几何概型,区域 E 和区域 F 的对 应图形如图所示.

1 其中区域 E 的面积为 3×2=6, 区域 F 的面积为2×(1+3)×2=4, 4 2 所以向区域 E 内随机投掷一点,该点落入区域 F 内的概率为 P=6=3. 2 答案 3 16.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,所选 3 人 4 中至少有 1 名女生的概率为 5 ,那么所选 3 人中都是男生的概率为 ________. 解析 设 A={3 人中至少有 1 名女生},B={3 人中都是男生}, 1 则 A,B 为对立事件,∴P(B)=1-P(A)=5. 1 答案 5 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分)某学校篮球队,羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员, 某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取 一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率.

解 由图知,三支球队共有队员 10+4+3+3=20 人,其中只参 加一支球队的队员有 5+4+3=12 人, 参加两支球队的队员有 1+2+3 =6 人. (1)设“该队员只属于一支球队”为事件 A, 12 3 则 P(A)=20=5. (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件 B, 12 6 18 9 2 9 则 P(B)=20+20=20=10.(或 P(B)=1-20=10) 18.(12 分)高一军训时,某同学射击一次,命中 10 环,9 环,8 环的概率分别为 0.13,0.28,0.31. (1)求射击一次,命中 10 环或 9 环的概率; (2)求射击一次,至少命中 8 环的概率; (3)求射击一次,命中环数小于 9 环的概率. 解 设事件“射击一次, 命中 i 环”为事件 Ai(0≤i≤10, 且 i∈N), 且 Ai 两两互斥.由题意知 P(A10)=0.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31. (1)记“射击一次, 命中 10 环或 9 环”的事件为 A, 那么 P(A)=P(A10) +P(A9)=0.13+0.28=0.41. (2)记“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,那么 P(B)=P(A10) +P(A9)+P(A8)=0.13+0.28+0.31=0.72. (3)记“射击一次,命中环数小于 9 环”的事件为 C,则 C 与 A 是 对立事件,∴P(C)=1-P(A)=1-0.41=0.59. 19.(12 分)水池的容积是 20 m3,向水池注水的水龙头 A 和水龙头 B 的流速都是 1 m3/h,它们在一昼夜内随机开放(0~24 小时),求水池 不溢出水的概率.(精确到 0.01) 解 设水龙头 A 开 x 小时, 水龙头 B 开 y 小时, 若水池不溢出水,

则 x+y≤20, 1 记“水池不溢出水”为事件 M,则 M 所占区域面积为2×20×20 =200,整个区域的面积为 24×24=576,由几何概型的概率公式,得 200 P(M)=576≈0.35, 即水池不溢出水的概率为 0.35.

20.(12 分)A、B 两个箱子分别装有标号为 0,1,2 的三种卡片,每 种卡片的张数如表所示.

(1)从 A、 B 箱中各取 1 张卡片, 用 x 表示取出的 2 张卡片的数字之 积,求 x=2 的概率; (2)从 A、 B 箱中各取 1 张卡片, 用 y 表示取出的 2 张卡片的数字之 和,求 x=0,y=2 的概率. 解 依题意知,从 A、B 箱中各取 1 张卡片,其基本事件有 6×5 =30 个. (1)记事件 C 为“从 A、 B 箱中各取 1 张卡片, 2 张卡片的数字之积

5 等于 2”, 则 C 包含 5 个基本事件, 由古典概型的概率公式得 P(C)=30 1 =6. (2)记事件 D 为“从 A、B 箱中各取 1 张卡片,其数字之和为 2 且 10 1 积为 0”,则包含 10 个基本事件,则 P(D)=30=3. 21.(12 分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵 树苗,为了解树苗生长情况,从这批树苗中随机地测量了其中 50 棵树 苗的高度(单位:厘米).把这些高度列成了如下的频数分布表: 组别 频数 [40,50) 2 [50,60) 3 [60,70) 14 [70,80) 15 [80,90) 12 [90,100] 4

(1)在这批树苗中任取一棵, 其高度在 85 厘米以上的概率大约是多 少? (2)这批树苗的平均高度大约是多少? (计算时可以用组中值代替 各组数据的平均值) (3)为了进一步获得研究资料,若从[40,50)组中移出一棵树苗,从 [90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究,则 [40,50)组中的树苗 A 和 [90,100]组中的树苗 C 同时被移出的概率是多少? 解 (1)由已知,高度在 85 厘米以上的树苗大约有 6+4=10 棵,

10 1 则所求的概率大约为50=5=0.2. (2)树苗的平均高度 x≈ 45×2+55×3+65×14+75×15+85×12+95×4 = 50 3690 50 =73.8 厘米. (3)依题意,记[40,50)组中的树苗分别为 A、B,[90,100]组中的树

苗分别为 C、D、E、F,则所有的基本事件为 ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、 BDF、BEF,共 12 个. 满足 A、C 同时被移出的基本事件为 ACD、ACE、ACF,共 3 个, 3 所以树苗 A 和树苗 C 同时被移出的概率 P=12=0.25. 22.(12 分)已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-bx+1(a≠0),设集 合 P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 a 和 b 得到的数对(a,b). (1)列举出所有的数对(a,b),并求函数 y=f(x)有零点的概率; (2)求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率. 解 (1)(a,b)共有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),15 种 情况. 函数 y=f(x)有零点,Δ=b2-4a≥0, 有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共 6 种情况 6 2 所以函数 y=f(x)有零点的概率为15=5. b (2)函数 y=f(x)的对称轴为 x=2a, b 在区间[1,+∞)上是增函数,则有2a≤1,即 b-2a≤0. 因此有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共 13 种情况满足条件, 13 所以函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为15.


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