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圆锥曲线大题20道(含答案)


1.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲 线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为 3
(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.
2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

x A ? xB ?

6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1

于是

3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? 2 , 即 ? 0, 解此不等式得 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1


1 ? k 2 ? 3. 3
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3

故 k 的取值范围为 (?1,?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

2..已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 a2 b2

l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,
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设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. (Ⅰ)证法一:因为 A 、 B 分别是直线 l : y ? ex ? a 与 x 轴、 y 轴的交点,所以 A 、 B 的坐标分别是
[来源:Zxxk.Com]

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 (? ,0), (0, a). 由? x 得? y2 b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . c b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

b2 ). a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ? c ? ? ? ?e e 即? 2 ? b ? ?a ? ?a

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别是 ( ? 设 M 的坐标是 ( x0 , y0 ),

a ,0), (0, a ). e

a a 由AM ? ? AB得( x0 ? , y0 ) ? ? ( , a), e e

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? y ? ? a. ? 0
因为点 M 在椭圆上,所以
2 2 x0 y0 ? ? 1, a2 b2

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? 2 ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b e2 1 ? e2

[来源:学科网 ZXXK]

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
解得 e ? 1 ? ?
2

即? ? 1 ? e 2 .

(Ⅱ) 解法一: 因为 PF1⊥l, 所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角, 要使△PF1F 2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|, 即

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d, 由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2

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1 ? e2 1 ? e2

? e.
1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3

2 所以 e ?

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F 2|, 设点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,

1 ? ? y0 ? 0 e2 ? 3 ? ? x ? c, ? ? e ? 0 e2 ? 1 ? x0 ? c 则? , 解得 ? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . ? y0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. 0 ? ? e2 ? 1 ? ? 2 2
(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 2 ? c] ? [ 2 ] ? 4c 2 , 由|PF1|=|F1F2|得 [ 2 e ?1 e ?1
两边同时除以 4a2,化简得
2 从而 e ?

(e 2 ? 1) 2 ? e2. 2 e ?1

1 . 3 2 3
王新敞
奎屯 新疆

2 于是 ?1 ? 1 ? e ?

2 时,△PF1F 2 为等腰三角形. 3 ? ? 3. 设 x, y ? R , i 、j 为 直 角 坐 标 平 面 内 x 轴 、 y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , 若
即当 ? ?
[来源:Z,xx,k.Com]

? ? ? ? ? ? ? ? a ? xi ? ( y ? 3) j , b ? xi ? ( y ? 3) j ,且 a ? b ? 4 .
(Ⅰ)求点 P( x, y) 的轨迹 C 的方程;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ)若 A、B 为轨迹 C 上 的两点,满足 AM ? MB ,其中 M(0, 3 ) ,求线段 AB 的长. [启思]

[来源:学+科+网]

4.已知椭圆的中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上, 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点, OA ? OB 与 a ? (3,?1) 共线. (Ⅰ)求椭 圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ? ? ? 为定值.
2 2

解:本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力. 满分 12 分.
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(1)解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) a2 b2

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,代入

x2 y2 ? ? 1 ,化简得 a2 b2

(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 .
a 2c a 2 c 2 ? a 2b 2 令 A( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? . 2 2 a ?b a2 ? b2

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3,?1),OA ? OB 与 a 共线,得

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y 2 ? x2 ? c ,
? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0,


? x1 ? x 2 ?

3 c. 2
6a , 3

2a 2 c 3c ? ,所以 a 2 ? 3b 2 . 2 2 2 a ?b

?c ? a2 ? b2 ?

故离心率 e ?

c 6 ? . a 3

2 2 (II)证明: (1)知 a ? 3b ,所以椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b

设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ),

? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? M ( x, y ) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 . ?? ? y ? ?x1 ? ?x 2 .
即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b . ①
2 2 2 2 2 2 2

由(1)知 x1 ? x 2 ?

3c 2 3 2 2 1 2 , a ? c ,b ? c . 2 2 2

[变式新题型 3] 抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,准线 l 与 x 轴相交于点 A(–1, 0), 过点 A 的直线与抛物线相交于 P、Q 两 点. (1)求抛物线的方程;
[来源:学科网]

(2)若 FP ? FQ =0, 求直线 PQ 的方程;

[来源:学科网]

(3)设 AP =λ AQ (λ >1) ,点 P 关于 x 轴的对称点为 M,证明: FM =-λ FQ . .

[来源:Zxxk.Com]

6.已知在平面直角坐标系 xoy 中,向量 j ? (0,1), ?OFP的面积为 2 3 ,且 OF ? FP ? t , OM ?

3 OP ? j . 3

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(I)设 4 ? t ? 4 3, 求向量OF与FP 的夹角? 的取值范围; (II) 设以原点 O 为中心, 对称轴在坐标轴上, 以 F 为右焦点的椭圆经过点 M, 且 | OF |? c, t ? ( 3 ? 1)c 2 ,当| OP | 取最小值时,求椭圆的方程.

7.已知 M (0, ? 2) , 点 A 在 x 轴上, 点 B 在 y 轴的正半轴, 点 P 在直线 AB 上, 且满足,AP ? ? PB , MA ? AP ? 0 . (Ⅰ)当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 P 的轨迹 C 方程; (Ⅱ)过 (?2,0) 的直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,又过 E 、 F 作轨迹 C 的切线 l1 、l2 ,当 l1 ? l2 ,求直线 l 的 方程.

8. 已知点 C 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 的圆心,点 A( 1,0 ) , P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上,且

MQ ? AP ? 0, AP ? 2 AM.
(Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? k 2 ? 1 与(Ⅰ)中所求点 Q 的轨迹交于不同两点 F,H,O 是坐标原点, 且

2 3 ? OF ? OH ? ,求△FOH 的面积 3 4

已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A ? ?2,0? 、 B ? 2,0? 、 C ?1, ? 三点. (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )若直线 l : y ? k ? x ?1? ( k ? 0 )与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与直线 BN 的交点在 直线 x ? 4 上. 10.如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A、B 两点,点 Q 是点 P 关于原点 的对称点。 (Ⅰ)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 λ,证明 QP ? (QA ? ?QB); (Ⅱ)设直线 AB 的方程是 x—2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程。
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? 3? ? 2?

10. 已 知 平 面 上 一 定 点 C (?1, 0) 和 一 定 直 线 l : x ? ?4. P 为 该 平 面 上 一 动 点 , 作 PQ ? l , 垂 足 为 Q ,

( PQ? 2 PC) ? ( PQ? 2 PC) ? 0 .
(1) 问点P在什么曲线上?并求出该曲线方程; (2) 点O是坐标原点, A、B 两点在点P的轨迹上,若 OA ? ?OB ? 求 ? 的取值范围. ( 1 ? ?) OC,

?

?

?

?

11. 如图,已知 E、F 为平面上的两个定点 | EF |? 6 ,| FG |? 10 ,且 2 EH ? EG ,HP ·GE ? 0 ,

(G 为动点,P 是 HP 和 GF 的交点) (1)建立适当的平面直角坐标系求出点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 的轨迹上存在两个不同的点 A 、 B ,且线段 AB 的中垂线与 EF 9 (或 EF 的延长线)相交于一点 C ,则 | OC | < ( O 为 EF 的中点) . 5
G

P H F

E 12.已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程;

(2) 是否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

13.已知 M (4,0), N (1,0) 若动点 P 满足 MN MP ? 6 | NP | (1)求动点 P 的轨迹方 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点,求 Q 到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值.

19.如图,直角梯形 ABCD 中,∠ DAB ? 90? ,AD∥BC,AB=2,AD=
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3 1 ,BC= 2 2

椭圆 F 以 A、B 为焦点且过点 D, (Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 E 满足 EC ?

D

1 AB ,是否存在斜率 2

C A B

k ? 0的直线 l 与 椭圆F交于M、 N 两点,且
| ME |?| NE | ,若存在,求 K 的取值范围;若不存在,说明理由。

解(1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 ? 20 ? 6 , ∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 62 ? 42 ?

20 ,

x2 y2 ? ?1 36 20 (2)由已知 A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
∴所求的椭圆方程为

AP ? ( x ? 6, y), FP ? ( x ? 4, y), 由已知得 ? x2 y 2 ? ?1 ? 36 20 ? ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ? 3 2 则 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解之得 x ? 或x ? ?6 , 2 3 5 ?3 5 ? 3 ,所以点 P 的坐标为 ? , 由于 y>0,所以只能取 x ? ,于是 y ? 3?9 分 2 2 ?2 2 ? m?6 m?6 (3) 直线 AP : x ? 3 y ? 6 ? 0 , 设点 M 是 (m,0) , 则点 M 到直线 AP 的距离是 , 于是 ? m?6 , 2 2
又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 6 ? m ? 6 ? m ? 2 ∴当 m ? 2 时,椭圆上的点到 M (2,0) 的距离

d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
又 ?6 ? x ? 6 ∴当 x ?

5x2 4 9 ? ( x ? ) 2 ? 15 9 9 2

9 时,d 取最小值 15 2
sin ? | OF | ? | FP | 4 3

2.解: (1)由 2 3 ? 1 | OF | ? | FP | ? sin ? , 得 | OF | ? | FP |? 4 3 ,由 cos? ? OF ? FP ? t sin ? ,
2

得 tan? ? 4 3 . …………………………………………………………………3 分
t

?4 ? t ? 4 3

?1 ? tan? ? 3

?? ?[0,? ] ∴夹角 ? 的取值范围是(

? ? , ) 4 3

………………………………………………………………6 分 (2) 设P( x0 , y0 ),则FP( x0 ? c, y0 ), OF ? (c,0).

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?OF ? FP ? ( x0 ? c, y0 ) ? (c,0) ? ( x0 ? c)c ? t ? ( 3 ? 1)c 2 S?OFP ? 1 4 3 | OF | ? | y0 |? 2 3 ? y0 ? ? 2 c

? x0 ? 3c

…………………………………………………………………………………………8 分
2 2 ? | OP |? x0 ? y0 ? ( 3c)2 ? (

4 3 2 4 3 ) ? 2 3c ? ? 2 6 ………………10 分 c c

∴当且仅当 3c ?
? OM ?

4 3 ,即c ? 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP ? (2 3,?2 3 ) c

3 (2 3,2 3 ) ? (0,1) ? (2,3) 3

或 OM ? 3 (2 3,?2 3 ) ? (0,1) ? (2,?1)
3

…………12 分

椭圆长轴
2a ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 8 ? a ? 4, b 2 ? 12

或 2a ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? 1 ? 17

?a ?

1 ? 17 2 1 ? 17 ,b ? 2 2

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .或 x 2 ? y 2 ? 1 …………14 分 16 12 9 ? 17 1 ? 17
2 2

→ → 解: (Ⅰ )∵ OP· OQ=0,则 x1x2+y1y2=0, 又 P、Q 在抛物线上, ∴ y12=2px1,y22=2px2, ∴ y12 y22 · +y1y2=0, y1y2=-4p2 , 2p 2p

……………………1 分

∴|y1y2|=4p2, 又|y1y2|=4,∴ 4p2=4,p=1. (Ⅱ )设 E(a,0) ,直线 PQ 方程为 x=my+a ,
?x=my+a 联立方程组 ? 2 , ?y =2px

……………………3 分 ……………………4 分

……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分 ……………………9 分

消去 x 得 y2-2pmy-2pa=0 , ∴ y1y2=-2pa , ① 设 F(b,0),R(x3,y3),同理可知: y1y3=-2pb , ② 由① 、② 可得 y3 b = y2 a , ③

→ → 若 TR=3TQ,设 T(c,0),则有 (x3-c,y3-0)=3(x2-c,y2-0), y3 ∴ y3=3y2 即 =3, ④ y2 将④ 代入③ ,得 b=3a.
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……………………10 分 ……………………11 分

→ → 又由(Ⅰ )知,OP· OQ=0

, ……………………13 分

∴ y1y2=-4p2,代入① , 2 得-2pa=-4 p ∴ a=2p, ∴b=6p,

→ → 故,在 x 轴上,存在异于 E 的一点 F(6p,0),使得 TR=3TQ. ………………14 分 注:若设直线 PQ 的方程为 y=kx+b,不影响解答结果.

(Ⅰ)解:设 P ( x, y )

则 ……………………………………………...2 分 ……………………………………………..4 分

AP ? ( x ? xA , y)
由 AP ? ? PB 得

PB ? (?x , yB ? y)
xA ? 2 x , yB ? 2 y

又 MA ? ( xA , 2) 由 MA ? AP ? 0

AP ? ( x ? xA , y)


即 MA ? (2x , 2) , AP ? (?x, y) ……………6 分

x2 ? y( y ? 0) ……………………………………………………..8 分

(Ⅱ)设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) 因为 y ' ? x ,故两切线的斜率分别为 x1 、 x2 ……………………………10 分 由方程组 ?

? x2 ? 2 y ? y ? k ( x ? 2)

得 x ? 2kx ? 4k ? 0
2

x1 ? x2 ? 2k

x1 ? x2 ? ?4k ………..12

当 l1 ? l2 时, ,

x1 ? x2 ? ?1,所以 k ?
1 y ? ( x ? 2) 8

1 8

所以,直线 l 的方程是

…………

解:(Ⅰ)∵ MF2 ? x 轴,∴ | MF2 |?

1 1 ,由椭圆的定义得: | MF1 | ? ? 2a ,--------2 分 2 2 1 1 2 1 2 2 2 ∵ | MF1 | ? (2c) ? ,∴ (2a ? ) ? 4c ? ,-----------------------------------4 分 4 2 4
又e ?
2

3 2 3 2 得c ? a 4 2
2 2

∴ 4a ? 2a ? 3a ,
2 2

a?0

?a ? 2

∴b ? a ?c ?

1 2 a ? 1 ,-------------------------------6 分 4

∴所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.------------------------------------------------7 分 4

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) 则 PA ? (?2 ? x, ? y) , AB ? (2, ?1) , 由 PA ? AB ? m -4 得- 4 ? 2 x ? y ? m ? 4 , ∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? m ------------------------------------9 分 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得: 解得: x0 ?

y0 ? 1 x 1 y ?1 ?? , 0 ? 2? 0 ? m, x0 2 2 2

?4 ? 4m 2m ? 3 , y0 ? ,------------------------------11 分 5 5 ?4 ? 4m 2 2m ? 3 2 3 ) ? 4( ) ? 4 ,整理得 2m2 ? m ? 3 ? 0 解得 m ? ?1 或 m ? ∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴ ( 5 5 2 3 ∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ? ,-------------------------------------------13 分 2 3 经检验 y ? 2 x ? 1 和 y ? 2 x ? 都符合题设, 2 3 ∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ? .--2
解(Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程 x 2 ? 4 y 得

x 2 ? 4kx ? 4m ? 0.



设 A、B 两点的坐标分别是(x1,y1) 、(x2,y2),则 x1、x2 是方程①的两根。 所以 x1 x2 ? ?4m. 由点 P(0,m)分有向线段 AB 所成的比为 ? , 得

x1 ? ?x 2 x ? 0, 即 ? ? ? 1 . 1? ? x2

又点 Q 是点 P 关于原点的以称点, 故点 Q 的坐标是(0,--m),从而 QP ? (0,2m).

QA ? ?QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ? ( x2 , y2 ? m)
= ( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? )m).

QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m]
x1 x1 x 2 2 x = 2m[ ? ? ? (1 ? 1 )m] 4 x2 4 x2
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2

= 2m( x1 ? x2 ) ?

x1 x2 ? 4m 4 x2
? 4m ? 4m 4 x2

= 2m( x1 ? x 2 ) ? =0, 所以 OP ? (QA ? ?QB). (Ⅱ) 由 ?

? x ? 2 y ? 12 ? 0, 得点 A、B 的坐标分别是(6,9) 、 (--4,4) 。 2 ? x ? 4 y,
1 2 1 x , y ? ? x, 4 2
x ?6

由 x2 ? 4y 得 y ?

所以抛物线 x 2 ? 4 y 在点 A 处切线的斜率为 y? 设圆 C 的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,

? 3。

1 ? b?9 ? a ?6 ? ? 3, 则? 2 2 2 2 ? (a ? 6) ? (b ? 9) ? (a ? 4) ? (b ? 4) . ? 3 23 2 125 , r ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? . 解之得 a ? ? , b ? 2 2 2 3 2 23 2 125 ) ? 所以圆 C 的方程是 ( x ? ) ? ( y ? , 2 2 2
解:(1)由 ( PQ ? 2PC) ? ( PQ ? 2PC) ? 0 ,得: PQ ? 4PC ? 0 ,………(2 分)
2 2 2 设 P( x, y) ,则 ( x ? 4) ? 4 ? ?( x ? 1) ? y ? ? ? 0 ,化简得: 4 ? 3 ? 1 ,………(4 分)

2

2

x2

y2

点 P 在椭圆上,其方程为

x2 y 2 ? ? 1 .………(6 分) 4 3
得:CA ? ? CB ? 0 , 所以, A 、 B 、 C 三点共线.且 ? ? 0 ,

(2)设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) , 由O A ?? O B ?( 1 ?? O )C 得: ( x1 ? 1, y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ) ? 0 ,即: ?

? x1 ? ?1 ? ? ? ? x2 …(8 分) ? y1 ? ?? y2

因为

x12 y12 (?1 ? ? ? ? x2 ) (?? y2 )2 ? ?1 ? ? 1 ,所以 4 3 4 3

①………(9 分)

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又因为

x2 2 y2 2 (? x2 ) 2 (? y2 ) 2 ? ? 1 ,所以 ? ? ?2 4 3 4 3

②………(10 分)

3 ? 5? 2? (? ? 1) x2 ? (? ? 1) 2 ? 1 ? ? 2 ,化简得: x2 ? 由①-②得: ,………(12 分) 2? 4

因为 ?2 ? x2 ? 2 ,所以 ?2 ? 解得:

3 ? 5? ? 2. 2?

1 ?1 ? ? ? ? 3 所以 ? 的取值范围为 ? ,3? . 3 ?3 ?

解: (1)如图 1,以 EF 所在的直线为 x 轴, EF 的中垂线为 y 轴, 建立平面直角坐标系。----------------------------------------1 分 由题设 2 EH ? EG , HP ? EG ? 0 ∴ | PG |?| PE | ,而 | PF | ? | PE |?| PG |? 2a -------------3 分 ∴点 P 是以 E 、 F 为焦点、长轴长为 10 的椭圆, 故点 P 的轨迹方程是:
x2 y2 ? ? 1 -----------------4 分 25 16

(2)如图 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , C( x0 ,0) , ∴ x1 ? x 2 ,且 | CA |?| CB | ,--------------------------------6 分 即 ( x1 ? x0 ) 2 ? y1 ? ( x2 ? x0 ) 2 ? y2 又 A 、 B 在轨迹上, ∴
x1 y x y ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 25 16 25 16
2

2

2

y
G

2

2

2

2

P A H C E O F

16 2 x1 , 25 16 2 2 y 2 ? 16 ? x 2 ---------------8 分 25 代入整理得: 9 2 2 2( x 2 ? x1 ) ? x0 ? ( x 2 ? x1 ) 25

即 y1 ? 16 ?

x

B 图2

∵ x1 ? x 2 ,∴ x0 ?

9( x1 ? x 2 ) .---------------------10 分 50

∵ ? 5 ? x1 ? 5 , ? 5 ? x2 ? 5 ,∴ ? 10 ? x1 ? x2 ? 10 .
12 / 14

∵ x1 ? x 2 ,∴ ? 10 ? x1 ? x2 ? 10 ∴?
9 9 9 ? x0 ? ,即 | OC | < .---------------1 5 5 5

(Ⅰ)以 AB 中点为原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,如图 则 A(-1,0) B(1,0) D(-1,

3 ) 2

(1 分)

设椭圆 F 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

(2 分)

2 ? ?3? ? ? ? 2? ? (?1) 2 得? 2 ? ? 2 ?1 b ? a ?a 2 ? b 2 ? 1 ?

(4 分)

得 4a 4 ? 17a 2 ? 4 ? 0 所求椭圆 F 方程

? a 2 ? 1 ?a 2 ? 4

b2 ? 3
(6 分)

x2 y2 ? ?1 4 3 1 1 (Ⅱ)由 EC ? AB 得E (0, ) 2 2
显然 l ? AB时不合条件 代入

设l方程y ? kx ? m (k ? 0)
(7 分)

x2 y2 ? ?1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 4 3 l 与椭圆 F 有两不同公共点的充要条件是

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 0
即 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 设 M ( x1 , y1 )、 N ( x2 , y 2 ),MN 中点P( x0 , y 0 )

(8 分)

| ME |?| NE |
? 2 x 0 ? x1 ? x 2 ?

等价于PE ? MN
? x0 ? ? 4km 3 ? 4k 2
(9 分) (10 分)

? 8km 3 ? 4k 2 6m y 0 ? kx 0 ? m ? 3 ? 4k 2

PE ? MN



y0 ?

1 2 ??1 x0 k

(11 分)

13 / 14

6m 1 ? 2 1 2 得 3 ? 4k ?? ? 4km k 2 3 ? 4k
代入 ? ? 0
2



m??

3 ? 4k 2 2

(12 分)

? 4k 2 ? 3 ? ? 得 4k ? 3 ? ? ? 2 ? ?0 ? ?

2

?0 ? 4k 2 ? 3 ? 4
又? k ? 0

得k 2 ?

1 4

(13 分) (14 分)

1 1 故k取值范围为 k ? (? ,0) ? (0, ) 2 2

解法 2, 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y 2 )

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 得? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ? 4
①—② 得

① ②

1 2 1 2 2 2 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )?0 4 3
y1 ? y 2 3 x ? x2 ?? ? 1 x1 ? x 2 4 y1 ? y 2 3 x 得k ? ? ? 0 4 y0
得 ky 0 ? ?

? x1 ? x 2





MN中点P( x 0 , y 0 )

3 x0 4



(9 分)

| ME |?| NE |

即 PE ? MN



y0 ?

1 2 ??1 x0 k

得 ky 0 ? ? x0 ?

k 2



(11 分)

由③、④得 x0 ? 2k ,

y0 ? ?

3 2

且 P(x0,y0)在椭圆 F 内部

9 4k 2 4 得 ? ?1 4 3
又? k ? 0

得 k2 ?

1 4

(13 分) (14 分)

1 1 ?k取值范围为 k ? (? , 0) ? (0, ) 2 2

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