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什么叫无理数


无理数

概念形成过程的教学的实例
要让学生经历无理数的发现过程. 无理数概念

的本质是“无限不循环”,让学生理解这一点 是 教学中的难点. 为突破这个难点,可采取以 2 为主线”展开知识的发生、发展过程. “认识

概念形成过程的教学的实例
第一层次:折纸活动——认识

2



的几何意义和客观存在性
2 是面积为2的正方形的边长,是

边长为1的正方形的对角线长,是2 的算术平方根.

第二层次:自主探索——认识根号2的大小范 围及用计算器算得的根号2的值是

概念形成过程的教学的实例

近似值. 生1:因为12=1,22=4,32=9,…,平方数越来 越大,所以根号2大于1而小于2; 生2:因为

1.5 ? 2.25 , 1.4 ? 1.96,
2 2

所以根号2大于 1.4 而小于 1.5 .

师:他们的思路是共同的,谁还能说得更精确?

概念形成过程的教学的实例
注:不点思路是什么,只点思路是共同的.目的 是要引导学生自己悟方法:用平方运算探索根号 2的值. 用学过的知识解决新的问题.

生3:我用计算器算得
1.45 2 ? 2.1025 , 1.44 2 ? 2.0736 , 1.43 2 ? 2.0449 , 1.42 2 ? 2.0164 , 1.412 ? 1.9881

可见,根号2大于1.41而小于1.42.

概念形成过程的教学的实例
生4:我用计算器算得

2 ? 1.414213562

师:用计算器直接算根号2,好!那1.414213562
是2的算术平方根吗? 生5:因为1.4142135622 = 1.999999999 , 这说明 1.414213562不是2的算术平方根. 生(怀疑):难道计算器算错了?

学生思维发生冲突,同时产生求知欲望.

概念形成过程的教学的实例
师:不是计算器算错了.我们用计算器很轻松地

得到根号2等于1.414213562,但由于
1.414213562的平方不等于2,只是接近2,

这一方面说明1.414213562不是2的算术平
方根,但另一方面还说明用计算器算得的

根号2的值是一个近似值,不是准确值.

第三层次:教师主导——认识根号2的无限

不循环性. 师:既然是近似值,你能算出562后面是几吗?
法1:设
2 ? 1.414213562 ? r ,

r ? 2 ? 1.414213562
用计算器计算得, r ? 3.73095 ?10 ?10 所以
2 ? 1.414213562373095??

概念形成过程的教学的实例
法2:利用平方运算探索.计算

1.4142135625的平方,1.4142135624平方……

概念形成过程的教学的实例
2

师:用计算机算根号2 的值,你可能会大吃一惊!

概念形成过程的教学的实例
通过以上三个不同层次,层层深入,使学生

逐渐认识根号2的本质——无限不循环. 这时
引入无理数的概念已“水到渠成”. 思维过程:观察与比较、判断与推理、用已有 的知识解决新的问题

概念形成过程的教学的实例
通过以上三个不同层次,层层深入,使学生

逐渐认识根号2的本质——无限不循环. 这时
引入无理数的概念已“水到渠成”. 思维过程:观察与比较、判断与推理、用已有 的知识解决新的问题

复习提问:

什么叫无理数? 什么叫有理数? 举例说明。

? 有理数总可以用有限小数或无限循环小数 表示。 ? 反之‘任何有限小数或无限循环小数也都 是有理数。 ? 无限不循环小数叫做无理数。

把下列各数分别填入相应的集合內:
3

1 5 20 2 , , 7 , ? ,? , 2 , ,? 5 ,? 3 8 , 4 2 3

4 ,0,0.3737737773 ......( 相邻两个 9 3之间的7的个数逐次加 ). 1





有理数集合

无理数集合

有理数和无 理数统称为实数. 即实数可以分为 有理数和无理数.

议一议: 无理数和有理数一样,也有 ? 正负之分如 3 是正的, ? 是 负的.还能举例吗?

(1)把下列各数分别填入相应的集合內:
3

1 5 20 ? ,? , 2 , ? 5 ,? 3 8 , 2, , 7, , 4 2 3

4 ,0,0.3737737773 ......( 相邻两个 9 3之间的 7的个数逐次加 1).


正数集合


负数集合

(2)实数还可以怎样分类?

实数也可以分为正实数,0,负实数
那么我们就可以将实数进行下 面两种方法分类:

实 数

有理数 无理数

正实数

实 数

0

负实数

在有理数中,有理数a的相反数是什 么?不为0的数a的倒数是什么?绝对值 的意义呢? 在实数范围内,相反数、倒数、绝 对值的意义完全一样。例如, 2 和 ? 2 1 3 是互为相反数, 5 和 5 互为倒数。
3

3?

3 , 0 ? 0, 3 ? ? ? ? ? 3

想一想:
(1)a是一个实数,它的相反数 为______,绝对值为______.
(2)如果a 0,那么它的倒数 为______.(0没有倒数)

?

我们都知道有理数可 以用数轴上的点来表示, 那么无理数能不能用数轴 上的点来表示呢?

结论:
每一个实数都可以用数轴上的点 表示;反过来,数轴上的点都表示 一个实数。即实数与数轴上的点一 一对应。
在数轴上,右边的点总比左边的点 表示的数大。

随堂练习:
1、判断下列说法是否正确: (1)无限小数都是无理数; (2)无理数都是无限小数; (3)带根号的数都是无理数。 2、求下列各数的相反数、倒数、和绝对值:

27 3.8,? 21,?? , 3 , 3 1000
3、在数轴上作出

5

对应的点。

课堂小结:
1、实数的概念。 2、实数可以怎样分类。 3、实数a的相反数为-a , 绝对值为 a , 1 若a ? 0 时,它的倒数为 a 4、数轴上的点与实数一一对应。

议一议:

(1)如图,oA=oB,数轴上A点对应的数是什么? 它介于哪两个整数之间? (2)如果将所有有理数都标在数轴上,那么数 轴被填满了吗? B
1 A -2 -1 o 1

2

2

答 (1)A对应的数等于 2 ,它介于1与2之间。 (2)如果将所有有理数都标在数轴上,数 轴没有被填满,在数轴上还可以表示 无理数。


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