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2014高考新课标全国卷II(理科数学详解)LaTeX版


2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(贵州理数)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考 证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。 如需改动, 用橡皮檫干净后,再选涂其他答案标号框。 写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题:(共 12 个小题, 每小题 5 分, 满分 60 分)
1. 设集合 M = {0, 1, 2}, N = {x | x2 ? 3x + 2 (A) {1} (瞄一眼答案) 2. 设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1 = 2 + i,则 z1 z2 = (A) ?5 (瞄一眼答案) √ √ 3. 设向量 a,b满足:|a + b|= 10 , | a ? b| = 6,则 a · b = (A) 1 (瞄一眼答案) √ 1 4. 钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB = 1, BC = 2,则 AC = 2 √ (A) 5 (B) 5 (C) 2 (瞄一眼答案) 5. 某 地 区 空 气 质 量 监 测 资 料 表 明, 一 天 的 空 气 质 量 为 优 良 的 概 率 是 0.75, 连 续 两 天 为 优 良 的 概 率 是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 (A) 0.8 (瞄一眼答案) 6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示1cm) ,图 中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半 径为 3cm, 高为 6cm的圆柱体毛坯切削得到, 则切削掉 部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (A) (C) 17 27 10 27 (B) (D) 5 9 1 3 (B) 0.75 (C) 0.6 (D) 0.45 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (B) 5 (C) ?4+i (D) ?4?i (B) {2} 0},则M ∩N = (C) {0, 1} (D) {1, 2}

(D) 1

(瞄一眼答案)

理科数学答案 第1页 共10页

7. 执行右面的程序框图, 如果输入的x, t均为2, 则输出的 S = (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

(瞄一眼答案) 8. 设曲线 y = ax ? ln(x + 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 y = 2x,则 a = (A) 0 (瞄一眼答案) ? x+y?7 0 ? ? ? 9. 设 x, y 满足约束条件 x ? 3y + 1 0 ,则 z = 2x ? y 的最大值为 ? ? ? 3x ? y ? 5 0 (A) 10 (瞄一眼答案) 10. 设 F 为 抛 物 线 C : y 2 = 3x 的 焦 点, 过 F 且 倾 斜 角 为 30? 的直 线 交 C 于A, B 两 点, O 为 坐 标 原 点, 则 OAB 的面积为 √ 3 3 (A) 4 (瞄一眼答案) √ 9 3 (B) 8 63 32 9 4 (B) 8 (C) 3 (D) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(C)

(D)

11. 直三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,∠BCA = 90? , M, N 分别为 A1 B1 , A1 C1 的中点,BC = CA = CC1 , 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 1 (A) 10 (瞄一眼答案) 12. 设函数 f (x) = √ 3 sin 2 (B) 5 √ 30 (C) 10 √ (D) 2 2

πx 2 2 ,若存在 f (x) 的极值点 x0 满足 x2 0 + [f (x0 )] < m ,则 m 的取值范围是 m (A) (?∞, ?6) ∪ (6, +∞) (B) (?∞, ?4) ∪ (4, +∞) (C) (?∞, ?2) ∪ (2, +∞) (瞄一眼答案) (D) (?∞, ?1) ∪ (1, +∞)

二、 填空题:(共 4 个小题, 每小题 5 分, 满分 20 分)
13. (x + a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a = 14. f (x) = sin(x + 2?) ? 2 sin ? cos(x + ?) 的最大值为 (用数字填写答案). (瞄一眼答案) . (瞄一眼答案) .

15. 已知偶函数 f (x) 在[0, +∞) 单调递减,f (2) = 0. 若 f (x ? 1) > 0,则 x 的取值范围是 (瞄一眼答案)

16. 设 点 M (x0 , 1), 若 在 圆 O : x2 + y 2 = 1 上 存 在 点 N , 使 得 ∠OM N = 45? , 则 x0 的 取 值 范 围 是 . (瞄一眼答案)

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三、 解答题: (共 6 个小题, 满分 70 分)
17. (本小题12 分) (瞄一眼答案)

已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an+1 = 3an + 1. 1 (Ⅰ)证明 {an + } 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; 2 (Ⅱ)证明 1 1 3 1 + + ··· + < . a1 a2 an 2 (瞄一眼答案)

18. (本小题12 分)

如 图, 四 棱 锥 P ? ABCD 中, 底 面 ABCD 为 矩 形, 直 线P A⊥平 面 ABCD, E 为 P D 的中点. (Ⅰ)证明:P B ∥平面 AEC (Ⅱ)设二面角 D ? AE ? C 为60? , √ AP = 1, AD = 3,求三棱锥 E ? ACD 的体积.

19. (本小题12 分) 年 份

(瞄一眼答案)

某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 年份代号t 人均纯收入y

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利 用(Ⅰ)中 的 回 归 方 程, 分 析 2007 年 至 2013 年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 的 变化 情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n

?)(yi ? y ( ti ? t ?)
n

? b=

i=1

?. , a ?=y ??? bt (ti ? ? )2 t

i=1

20. (本小题满分12分)

(瞄一眼答案) x2 y 2 设 F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左、 右焦点,M 是 C 上一点且 M F2 与 x 轴 a b 垂直,直线 M F1 与 C 的另一个交点为 N . 3 (Ⅰ)若直线 M N 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 M N 在 y 轴上的截距为 2,且 |M N | = 5 |F1 N |,求 a, b. (瞄一眼答案)

21. (本小题满分12分)

已知函数 f (x) = ex ? e?x ? 2x. (Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性. (Ⅱ)设 g (x) = f (2x) ? 4bf (x),当 x > 0 时,g (x) > 0,求 b 的最大值. √ (Ⅲ)已知 1.4142 < 2 < 1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到0.001). 理科数学答案 第3页 共10页

请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分10分)选修4?1:几何证明选讲 如 图, P 是 O外 一 点, P A 是 切 线, A 为 切 点, 割 线 P BC 与 O 相 交 于 B, C, P C = 2P A, D 为 P C 的 中 点, AD 的延长线交 O 于点 E .证明: (Ⅰ)BE = EC ; (Ⅱ)AD · DE = 2P B 2 .

23. (本小题满分10分)选修4?4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 π 方程为 ρ = 2cosθ, θ ∈ [0, ]. 2 (Ⅰ)求 C 的参数方程; √ (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y = 3x + 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标. 24. (本小题满分10分)选修4?5:不等式选讲 1 设函数 f (x) = |x + | + |x ? a| (a > 0). a (Ⅰ)证明:f (x) 2; (Ⅱ)若 f (3) < 5,求 a 的取值范围.

理科数学答案 第4页 共10页

答案
第1题. 【解】选D,实在太简单,解法就不说了.

第2题. 【解】选A,实在太简单,解法就不说了.

第3题. 【解】选A,两式平方相减即得.

第4题. 【解】选B,先用面积公式求得 B = 135? ,再用余弦定理求 b.

第5题. 【解】选A,设事件A:某一天空气质量为优良;事件B:随后一天空气质量为优良. 则 事件 AB :连续两天空气质量为优良;事件B|A:已知某天空气质量为优良的条件下,随后一天的的 空气质量为优良. P (AB ) 0.6 则P (B |A) = = = 0.8 P (A) 0.75 第6题. 【解】选C,该零件是两个圆柱的组合体,它们的半径分别为 3,2,高分别为 2,4. 则零件的体积为 V1 = π · 32 · 2 + π · 22 · 4 = 34π, 毛坯的体积为 V = π · 32 · 6 = 54π 所以切削掉部分的体积为 V2 = V ? V1 = 20π V2 10 所求比值为 = . V 27 第7题. 【解】选D,按赋值规则算两次即可,S = 7

第8题. 【解】选D,实在太简单,解法就不说了.

第9题. 【解】选B,如图,(x, y ) 的可行域是 其中 A(3, 4), B (5, 2), C (2, 1), A, B 是目标函数 z = 2x ? y 的最优解, 点 B 的坐标代入即得 z 的最大值为 8.

ABC ,

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3 第10题. 【解】选D,如图: F 的坐标为 ( , 0),设 A(x1 , y1 ), B (x2 , y2 ), |AF | = r1 , |BF | = r2 . 4 1 1 则 OAB 的面积 S = |OF |r1 sin 150? + |OF |r2 sin 30? 2 2 3 3 3 = (r1 + r2 ) = ( + x1 + x2 ). 16 16 2 √ 3 3 直线 AB 的方程为:y = (x ? ). 3 4 ? √ ? 3 3 ? ?y = (x ? ) 3 4 联立: ? ? 2 ? y = 3x 21 9 消去 y 得:x2 ? x + =0 2 16 21 则 x1 + x2 = ,那么 2 9 S= 4

第11题. 【解】选C,如图,设 BC 的中点为 P ,则P N //BM ∠AN P 即为 AN 与 BM 所成的角 θ, √ 设 AC = 2,则 AN = AP = 5, √ N P = BN = 6, 设 H 是 N P 的中点, 则 AH ⊥P N , √ 30 cos θ = 10 (也可以建系,求向量的夹角.)

第12题. 【解】选C,依题意,

πx0 π 1 = kπ + , k ∈Z, [f (x0 )]2 = 3,则 x0 = m(k + ),代入 m 2 2

1 2 2 2 2 x2 0 + [f (x0 )] < m 得:m [1 ? (k + ) ] > 3 2 1 3 1 显然 1 ? (k + )2 > 0 =? ? < k < (k ∈Z)=? k = ?1 或 k = 0 2 2 2 m2 > 4 =? m < ?2 或 m > 2.
3 第13题. 【解】由条件得:C7 ? 120a3 = 15 =? a = 10 a = 15 =

1 2

第14题. 【解】f (x) = sin[? + (x + ?)] ? 2 sin ? cos(x + ?) = ? sin ? cos(x + ?) + cos ? sin(x + ?) = sin[(x + ?) ? ?] = sin x 所以 f (x) 的最大值为 1. 第15题. 【解】画出简图知:?2 < x ? 1 < 2 =? ?1 < x < 3,则 x 的取值范围是 (?1, 3).

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第16题. 【解】显然 M 在直线 x = 1 上,过 M 作圆 O 的切线 P T, T 是切点,设点 A(1, 1), B (?1, 1), 当 M 不 在 线 段 AB 上 时,∠OM N 是 [?1, 1]. ∠OM T < 45? ,所 以 M 只 能 在 线 段 AB 上,即 x0 的 取 值 范 围

第17题. 【解】(Ⅰ)由 an+1 = 3an + 1 =? an+1 +

1 1 = 3 ( an + ) 2 2

1 1 3 则 {an + } 是等比数列,首项为 a1 + = ,公比为 3, 2 2 2 n 1 3 3 所以: an + = × 3(n?1) = 2 2 2 n 3 ?1 故 {an } 的通项公式为 an = . 2 (Ⅱ) 【分析】这类不等式的证明通常用放缩法、 数学归纳法,显然数学归纳法行不通(你试一试就 2 1 2 c = n 知道).观察 的特征可以断定,应该放缩为等比数列来求和,即 n . an 3 ?1 3 ?1 3n n c c 1 c 因为 = (1 ? n ) < k 3 2 3 2 k=1 2 1 根据要证明的不等式知,只要 c 3,我们就取 c = 3,从而只需证明 n . 3 ?1 3n?1 【证明】n 1 =? 3n = 2 · 3n?1 + 3n?1 2 · 3n?1 + 1 =? 3n ? 1 2 =? n 3 ?1 =? 1 an 2 · 3n?1 1 3n?1

1 3n?1 1+ 1 1 3 1 3 + · · · + n?1 = (1 ? n ) < . 3 3 2 3 2

1 1 1 + + ··· + a1 a2 an 所以:

1 1 1 3 + + ··· + < . a1 a2 an 2

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第18题. 【证】(Ⅰ)如图,设 BD∩AC = M ,则 M 是 BD 的中点,又因为 E 是 P D 的中点, 所以 P B //EM ,EM ? 平面 AEC, P B ? 平面 AEC , 所以 P B //平面 AEC . 【解】 (Ⅱ)作 DF ⊥AE 交直线 AE 于 F, 由P A⊥ 平面 ABCD, CD⊥AD 知 CD⊥平面 P AD,则 CD⊥AE 则 AE ⊥平面 CDF ,则 AF ⊥CF ∠CF D 为二面角 D-AE -C 的平面角, 所以 ∠CF D = 60? . AD √ = 3, AP 则 ∠EAD = ∠EDA = 30? . √ AD 3 则F D = = . 由 CD⊥平面 P AD 知: 2 2 3 CD⊥F D,则 CD = F D tan 60? = . 2 √ 1 1 3 . VE ?ACD = VC ?AED = S AED CD = S AP D CD = 3 6 8 (建系的方法略) 在直角 P AD 中, ? = 4, y 第19题. 【解】(Ⅰ)t ? = 4.3
7

?)2 = 2(32 + 22 + 12 ) = 28 ( ti ? t
i=1 7

?)(yi ? y ( ti ? t ?) = (?3) × (?1.4) + (?2) × (?1.0) + (?1) × (?0.7) + 1 × 0.5 + 2 × 0.9 + 3 × 1.6 = 14
i=1

14 ? ? = 2.3 b= = 0.5, a ?=y ??? bt 28 所求的回归方程为:y ? = 0.5t + 2.3 【解】(Ⅱ)由(Ⅰ)知,斜率 ? b > 0, y 与 t 正相关,2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯 收入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 2015 年对应的 t 的值为9. 此时 y ? = 0.5 × 9 + 2.3 = 6.8 所以预测2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

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第20题. 【解】(Ⅰ)不妨设第一象限的点 M (c, y1 ) (c = M N 的斜率为



a2 ? b2 ),代入椭圆方程得:y1 =

|M F2 | 3 3 =? = =? 2b2 = 3ac =? 2c2 + 3ac ? 2a2 = 0 4 |F1 F2 | 4

b2 a

c 1 =? 2e2 + 3e ? 2 = 0 (e = , e > 0) =? e = . a 2 1 所以 C 的离心率为 . 2 【解】(Ⅱ)设 M N 与 y 轴交于点 D, 则 D 的坐标为(0, 2). O 为 F1 F2 的中点,OD//M F2 , 则 D 是 M F1 的中点,所以 y1 = 4, 即b2 = 4a ……① ? ? → ? ? → 由 |M N | = 5|M F1 | =? F1 D = ?F1 N , 3c 则 N 的坐标为 (? , ?1),代入椭圆方程得: 2 1 9a2 + = 1,结合①得9c2 + a = 4a2 4a2 b2 =? 9(a2 ? b2 ) + a = 4a2 =? 5a2 = 9b2 ? a =? 5a2 = 35a =? a = 7,代入①得 b2 = 28. √ 所以 a = 7, b = 2 7. 第21题. 【解】(Ⅰ)f (x) = ex + e?x ? 2 所以 f (x) 在定义域 (?∞, +∞) 上是增函数. (Ⅱ)g (x) = e2x ? e?2x ? 4b(ex ? e?x ) + (8b ? 4)x,则: g (x) = 2(e2x + e?2x ) ? 4b(ex + e?x ) + (8b ? 4) = 2[(ex + e?x )2 ? 2b(ex + e?x ) + 2(2b ? 2)] = 2[(ex + e?x ) ? 2][(ex + e?x ) ? (2b ? 2)] 注意到ex + e?x (1)如果2b ? 2 2 恒成立(当且仅当 x = 0 取“=” ) ,从而只需讨论 2b ? 2 与 2 的大小. 2即b 2 ,则 g (x) 0 ,则 g (x) 在 R 上是增函数. 且 g (0) = 0. 0,当且仅当 x = 0 取“=”.

由 x > 0 =? g (x) > g (0) 即 g (x) > 0 成立. (2)如果2b ? 2 > 2 即 b > 2 ,则 g (x) < 0 ?? 2 < ex + e?x < 2b ? 2 ?? ex + e?x < 2b ? 2 (x > 0) √ ?? e2x ? (2b ? 2)ex + 1 < 0(x > 0) ?? < ex < b ? 1 + b2 ? 2b (x > 0) √ ?? 0 < x < ln(b ? 1 + b2 ? 2b ). √ 即 g (x) 在区间 [0, ln(b ? 1 + b2 ? 2b )] 上是减函数,那么 √ 存在 0 < x0 < ln(b ? 1 + b2 ? 2b),使 g (x0 ) < g (0) = 0,不满足条件: x > 0 时,g (x) > 0. 综上 b 的取值范围是 (?∞, 2]. 所以 b 的最大值为 2. (Ⅲ) 【分析】由(Ⅱ)知g (ln t) = e2 ln t ? e?2 ln t ? 4b(eln t ? e? ln t ) + (8b ? 4) ln t 1 1 = t2 ? 2 ? 4b(t ? ) + (8b ? 4) ln t t t 理科数学答案 第9页 共10页

√ 选择一个合适的 t 的值,使得上式中既含 2,又含 ln 2 √ 显然只有取 t = 2最合适. 即: √ √ 3 g (ln 2) = ? 2b 2 + (4b ? 2) ln 2. 2 √ 下面考虑构造 ln 2 与 2 之间的关系式(等式或不等式) ,只需考虑 g (ln 2) 的符号即可. √ 因为b 2 时,g (x) 在 R 上是增函数,此时 g (ln 2) > 0, √ √ b > 2 时, g (x) 在区间 [0, ln(b ? 1 + b2 ? 2b )] 上是减函数, (x = ln(b ? 1 + b2 ? 2b 是极小值点.) √ √ √ √ 3 2 令 ln 2 = ln(b ? 1 + b2 ? 2b),只要其解 b = + 1 > 2 ,则必有 g (ln 2) < 0 4 √ √ 3 【解】g (ln 2) = ? 2b 2 + (4b ? 2) ln 2. 2 √ 取 b = 2 ,由(Ⅱ)知 g (ln 2) > 0 √ 3 =? ? 4 2 + 6 ln 2 > 0 2 √ 8 2?3 8 × 1.4142 ? 3 =? ln 2 > > = 0.6928 12 12 √ √ √ 3 2 取b = + 1 ,则 ln 2 = ln(b ? 1 + b2 ? 2b), 4 √ 此时 b > 2,由(Ⅱ)知 g (ln 2) < 0 √ 3 =? ? 4 2 + 6 ln 2 > 0 2 √ √ 3 =? ? (3 + 2 2) + (3 2 + 2) ln 2 < 0 2 √ 18 + 2 28 + 1.4143 =? ln 2 < < = 0.6934 28 28 所以 0.6928 < ln 2 < 0.6934 所以 ln 2 的近似值为 0.693.

(选做题就不作解答了)

贵州省六盘水市实验一中

邹颖

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