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江苏省丁蜀高级中学高一数学竞赛选拔试题


江苏省丁蜀高级中学高一数学竞赛选拔试题
一.选择题: 1.已知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实根, 那么 x12+x22 的最大值为 ( A.19 B. 17 C. D.18 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )

2 已 知 f(x)=

, 则 和 f( )+…+f(

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A.10000 3.乘积 (1 ? A.

A1
D

A B 4、如图:已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三条棱长别为 AD=3,AA1=4,AB=5。一

5 12

1 1 1 1 )(1 ? 2 ) (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 等于( 2 2 3 9 10 1 11 7 B. C. D. 2 20 10

C

天,小强观察到在 A 处有一只蚂蚁,发现顶点 C1 处有食物,于是它沿着 长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是( ) A、 74 B 、5 2 C、 4 5 D、

3 10

5、如图:正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.45° C.60° D.30° 二.填空题: 1.已知:a、b、c 都不等于 0,且
2004

a b c abc ? ? ? 的最大值为 m,最小值为 n,则 | a | | b | | c | | abc |

(m+n) =_________. 2.甲、乙、丙、丁、戊五位同学,看五本不同的书 A、B、C、D、E,每人至少要读一本书, 但不能重复读同一本书,甲、乙、丙、丁分别读了 2、2、3、5 本书,A、B、C、D 分别被读 了 1、1、2、4 次。那么,戊读了_______本书,E 被读了______次。
1, x为有理数, ? 0, x为有理数, 3.已知函数 f ( x) ? ? 当 x ? R 时, f g ? x ? ? _______, g ( x) ? ? ? 0 , x 为无理数. 1 , x 为无理数. ? ?

?

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4、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费为 f (m) ? 1.06? (0.50? ?m? ? 1) , 其中 m>0,

?m? 表 示 不 超 过


m 的 最 大 整 数 , 则 从 甲 地 到 乙 地 通 话 时 间 为 5.5 分 钟 的 通 话 费 为

5.,函数 y ? log 1 sin(
2

1 ? x ? ) ,的单调递增区间是 2 3

.

6,当 0 ? x ? 于

?
2

时,函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2cos 2 x ? m 的最大值为 2008,则它的最小值等 . .

7.函数 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? x 2 ? bx ? 2, 若f (2) ? 3, 则f (?2) 的值等于

三.解答题: 1、甲、乙两人到物价商店购买商品,商品里每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种.已知两 人购买商品的件数相同, 且两人购买商品一共花费了 172 元, 求两人共购买了两种商品各几 件?

2、 长方形四边的长度都是小于 10 的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数, 这个四位数的千位数字与百位数字相同 ,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形 的面积.

3.已知函数 f(x)定义在非负整数集上,并且对于任意正整数 x,都有 f(x)=f(x???? f?? x???? ,如 果 f(3)=2007,求 f(2007)

4. 已知二次函数 f(x)=ax +bx(a、b 是常数且 a≠0)满足条件:f(2)=0 且方程 f (x)=x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)问是否存在实数 m、n(m<n)使 f(x)的 定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n] ,如存在,求出 m、n 的值;如不存在,说明理由.

2

丁蜀高级中学高一数学竞赛试题答案
一.选择题 1.已知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实根,那么 x12+x22 的最大值为 (A) 19 (B) 17 (C) (D) 18 答案:D

2. 已 知 f(x)=

, 则 和 f( )+…+f( (B) 5000

)+f(

)+ … +f(

)+f(

)+f(

)+ … +f(

)+ … D1

C1 B1

+f(

)+f(

)的值等于 (C) 1000 (D) 100 ). 答案:C 答案:B

A1
D

(A) 10000 3.乘积 (1 ? (A)

5 12

1 1 )(1 ? 2 ) 2 2 3 1 (B) 2

(1 ?

1 1 )(1 ? 2 ) 等于( 2 9 10 11 7 (C) (D) 20 10

C
A B

4、已知如图:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三条棱长别为 AD=3,AA1=4,AB=5。一 天,小强观察到在 A 处有一只蚂蚁,发现顶点 C1 处有食物,于是它沿着长方体的 表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是( ) A、 74 B 、5 2 C、 4 5 D、

3 10

5、如图:正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E,F 分别是 SC,AB 的 中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.45° C.60° D.30° 答案:B 二.填空题 1. 已知: a、 b、 c 都不等于 0, 且

a b c a b c ? ? ? 的最大值为 m, 最小值为 n, 则 (m+n) |a| |b| |c| |a b c |

2004

=_________.

答案:0

2.甲、乙、丙、丁、戊五位同学,看五本不同的书 A、B、C、D、E,每人至少要读一本书, 但不能重复读同一本书,甲、乙、丙、丁分别读了 2、2、3、5 本书,A、B、C、D 分别被读

了 1、1、2、4 次。那么,戊读了_______本书,E 被读了______次。

答案: 1,5
3. 已 知 函 数
? 1, x为有理数, ? 0, x为有理数, 当 f ( x) ? ? g ( x) ? ? ?0,x为无理数. ?1,x为无理数.

x?R





f ? g ? x ?? ? _______, g ?
答案: f [ g ( x] ? 1

x_ ?f ?? ?

_ _ _ _ _ _ .

g[ f ( x)] ? 0

4、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费为 f (m) ? 1.06? (0.50? ?m? ? 1) , 其中 m>0,

?m? 表 示 不 超 过

m 的 最 大 整 数 , 则 从 甲 地 到 乙 地 通 话 时 间 为 5.5 分 钟 的 通 话 费 为

元。 答案:3.71 5., 函数 y ? log1 sin( x ?
2

1 2

?
3

, 的单调递增区间是 )

. 答案 :

(4k? ?

?

, 4 k? ? ] 3 3

?

6,当 0 ? x ? 于

?

2

时,函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? m 的最大值为 2008,则它的最小值等

.答案:2005 .

7. 函数 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? x 2 ? bx ? 2, 若f (2) ? 3, 则f (?2) 的值等于

答案:9 三.解答题: 1、甲、乙两人到物价商店购买商品,商品里每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种.已知两 人购买商品的件数相同, 且两人购买商品一共花费了 172 元, 求两人共购买了两种商品各几 件? 解:设每人购买了 n 件商品,两人共购买了单价为 8 元的 x 件,单价为 9 元的有 y 件.则

? x ? y ? 2n, ? ?8 x ? 9 y ? 172.
因为 x ? 0, y ? 0 ,所以 9

解之,得 ?

? x ? 18n ? 172, ? y ? 172 ? 16n.

? x ? 8, 5 3 ? n ? 10 . 所以整数 n ? 10 .故 ? 9 4 ? y ? 12.

2、 长方形四边的长度都是小于 10 的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数, 这个四位数的千位数字与百位数字相同 ,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形 的面积.

解: 设长方形的边长为 xcm、ycm, 则四位数 N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)

∵N 是一个完全平方数,11 为质数,∴x+y 能被 11 整除, 又∵1≤x≤9,1≤y≤9 ∴2 ≤x+y≤18,得 x+y=11 2 ∴N=11(99x+x+y)=11 (9x+1) ∴9x+1 是一个完全平方数, 经试算知当 x=7 时满足条件,故 y=4,从而长方形的面积=7×4=28cm2.
3.已知函数 f(x)定义在非负整数集上,且对于任意正整数 x,都有 f(3)=2007,求 f(2007) 解:∵对于任意正整数 x,有 f(x)=f(x-1)+f(x+1) ∴f(x+1)=f(x)+f(x+2) f(x+2)=f(x+1)+f(x+3) 将上面三式相加,得 f(x+3) = - f(x) ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]= -f(x+3)=f(x) ∴f(x)是以 6 为周期的周期函数 ∴f(2007)=f(6×334+3)=f(3)=2007 2 4. (本小题 14 分) 已知二次函数 f(x)=ax +bx(a、b 是常数且 a≠0)满足条件:f(2) =0 且方程 f(x)=x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)问是否存在实数 m、n(m<n)使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m, 2n] ,如存在,求出 m、n 的值;如不存在,说明理由. 解 : : 分析:本题是一道确定函数解析式、定义域、值域为一体的综合题,应从 f(2)=0 和 f(x)=x 有等根着手,进行各个击破. 2 解: ( 1 ) ∵ 方 程 ax + ( b - 1 ) x = 0 ( a ≠ 0 ) 有 等 根 , ∴ f(x)=f(x???? f?? x???? 若

?=(b- 1) 2-4a ? 0=0 ? b= 1.
1 1 2 .∴ f ( x )=- x +x . 2 2 1 1 1 1 1 2 (2)∵ f ( x)=- ( x-1) + ? ,∴ 2 n ? ,即 n ? . 2 2 2 2 4 1 1 1 1) 2 + 的对称轴方程为 x=1,∴当 n ? 时,f(x)在[m, 又二次函数 y=- ( x- 2 2 4
又 f(2)=0,∴4a+2b=0.∴ a=-

n]上为增函数,

? ? f (m)=2m 设 m、n 存在,则 ? ? ? f (n)=2n

? 1 2 ?- 2 m -m=0 ? m=0或m=-2, ? 即? ? 1 2 - n -n=0 ? n=0或n=-2. ? ? 2

∵ m< n ?

? 1 ?m=-2, ,∴ ? 即存在实数 m=-2,n=0 使 f(x)的定义域为[-2,0] ,值 4 ? n = 0 . ?

域为[-4,0] .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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