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高一数学教案:函数映射




题:2.1.3

函数-映射

教学目的: (1)了解映射的概念及表示方法 (2)了解象与原象的概念,会判断一些简单的对应是否是映射,会求象 或原象. (3)会结合简单的图示,了解一一映射的概念 教学重点:映射的概念 教学难点:映射的概念 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的,映射概念本身 就属于集合的知识 因此,要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节, 映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念 映射中涉及 的“原象的集合 A” “象的集合 B”以及 “从集合 A 到集合 B 的对应法 则 f”可以更广泛的理解 集合 A、B 不仅仅是数集,还可以是点集、向量 的集合等,本章主要是指数的集合 随着内容的增多和深入,可以逐渐加 深对映射概念的理解,例如实数对与平面点集的对应,曲线与方程的对应 等都是映射的例子 映射是现代数学的一个基本概念 教学过程:
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一、复习引入: 在初中我们已学过一些对应的例子: (学生思考、讨论、回答) ①看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数 a,数轴上都有唯一的一点 A 与此相对应
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③坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 ④任意一个三角形,都有唯一的确定的面积与此相对应 ⑤高一(2)班的每一个学生与学号一一对应 函数的概念 本节我们将学习一种特殊的对应—映射.
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二、讲解新课:看下面的例子: 设 A,B 分别是两个集合,为简明起见,设 A,B 分别是两个有限集

A 9 4 1

开平方

B 3 -3 2 -2 1 -1

A

求正弦

B

30 0 45 0 60 0 90 0
(2) A 1 2 3 (4) 乘以2

1 2 2 32

2

1

(1) A 1 -1 2 -2 3 -3 (3) 求平方 B 1 4 9

B 1 2 3 4 5 6

说明: (2) (3) (4)这三个对应的共同特点是:对于左边集合 A 中 的任何一个元素,在右边集合 B 中都有唯一的元素和它对应 映射:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫 做集合 A 到集合 B 的映射 记作: f : A ? B 象、原象:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B ,如
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果元素 a 和元素 b 对应,则元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫 做元素 b 的原象 关键字词: (学生思考、讨论、回答,教师整理、强调) ①“A 到 B” :映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往 往不是同一个映射,A 到 B 是求平方,B 到 A 则是开平方,因此 映射是有序的; ②“任一” :就是说对集合 A 中任何一个元素,集合 B 中都有元素 和它对应,这是映射的存在性; ③“唯一” :对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都是唯一的 元素和它对应,这是映射的唯一性; ④“在集合 B 中” :也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中,这是映 射的封闭性. 指出:根据定义, (2) (3) (4)这三个对应都是集合 A 到集合 B 的映射;注意到其中(2) (4)是一对一, (3)是多对一 思考: (1)为什么不是集合 A 到集合 B 的映射? 回答:对于(1) ,在集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都
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有两个元素与之相对应,因此, (1)不是集合 A 到集 合 B 的映射 思考:如果从对应来说,什么样的对应才是一个映射? 一对一,多对一是映射 但一对多显然不是映射 辨析: ①任意性:映射中的两个集合 A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集 合等; ②有序性: 映射是有方向的, A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同 一个映射; ③存在性:映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象; ④唯一性:映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的; ⑤封闭性:映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素,不要求 B 中的每一个元素都有原象,即 A 中元素的象集是 B 的子集.
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映射三要素:集合 A、B 以及对应法则 f ,缺一不可; 三、例题讲解 例 1 判断下列对应是否映射?有没有对应法则? e f g d (是) (不是) (是) 是映射的有对应法则,对应法则是用图形表示出来的 例 2 下列各组映射是否同一映射?
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a b c

e f g

a b c d

e f g

a b c

a b c

e f g

a b c

e f g

d b c

e f g

例 3 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}, 对应法则 f : x ? 2 x ? 1 (2)设 A ? N , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x除以2得的余数
*

(3) A ? N , B ? {0,1,2} , f : x ? x被3除所得的余数

(4)设 X ? {1,2,3,4}, Y ? {1,

1 1 1 , , } f : x ? x取倒数 2 3 4

(5) A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N , f : x ? 小于x的最大质数 四、练习: 1. 设 A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6,7,8,9}, 集合 A 中的元素 x 按照对应法则 “乘 2 加 1”和集合 B 中的元素 2x+1 对应.这个对应是不是映射?(是) 2.设 A=N*,B={0,1},集合 A 中的元素 x 按照对应法则“x 除以 2 得 的余数” 和集合 B 中的元素对应. 这个对应是不是映射? (不是 (A 中没有象) ) 3.A=Z,B=N*,集合 A 中的元素 x 按照对应法则“求绝对值”和集合 B 中的元素对应.这个对应是不是映射? (是) 4.A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},集合 A 中的元素 x 按照对应法则“f : a? b=(a?1)2”和集合 B 中的元素对应.这个对应是不是映射? (是) 5.在从集合 A 到集合 B 的映射中,下列说法哪一个是正确的? (A)B 中的某一个元素 b 的原象可能不止一个 (B)A 中的某一个元素 a 的象可能不止一个 (C)A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 (D)B 中的两个不同元素的原象可能相同 6.下面哪一个说法正确? (A)对于任意两个集合 A 与 B,都可以建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 (B)对于两个无限集合 A 与 B,一定不能建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 (C)如果集合 A 中只有一个元素,B 为任一非空集合,那么从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射 (D)如果集合 B 只有一个元素,A 为任一非空集合,则从集合 A 到集合 B 只 能建立一个映射 7.集合 A=N,B={m|m= 算在 f 作用下,象

2n ? 1 2x ? 1 ,n∈N},f:x→y= ,x∈A,y∈B.请计 2n ? 1 2x ? 1

9 11 , 的原象分别是多少.( 5,6.) 11 13 2x ? 1 9 9 11 分析:求象 的原象只需解方程 = 求出 x 即可.同理可求 的原象. 11 13 2 x ? 1 11
五、小结 本节课学习了以下内容:对应、映射概念,特征、要素 六、课后作业:课本第 52 页习题 2.1:7,8 七、板书设计(略) 八、课后记:


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