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2014高中数学 对数的换底公式导学案 新人教A版必修1


(三)对数的换底公式
学习目标 (1)掌握对数的换底公式,并能解决有关的化简、求值、证明问题; (2)培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; (3)培养学生的数学应用意识. 学习重点:换底公式及推论. 学习难点:换底公式的证明和灵活应用. 一、课前准备 回忆并思考下列问题: 1.如果 a ? 0 且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么 (1) log a ( MN ) ? (3) log a M ?
n

; (2) log a

M ? N



(n ? R) .

2. log a M ? logb N , log a M ? logb N ,还可以用上面的运算法则计算吗?如何解决这个问题? 二、新课导学 (一)自主学习:自学教材 P64-68,完成《创新设计》P37“新知导学” 1.计算下列各组中两个式子的值, (1) lg100 , 答: 2.对于上面的问题,你有什么发现?对于一般情况,可能是什么结论? 答: 3.阅读课本 P66 中对数换底公式的相关内容,仔细体会公式的证明方法. 4.对数换底公式的两个常用的推论: ① log a b ? log b a ? 1 , log a b ? log b c ? log c a ? 1 . ②

log 3 7 log 5 100 log 2 27 ; (2) log3 27 , ; (3) log 7 7 , . log 3 7 log 2 3 log 5 10

log am bn ?

n log a b ( a , b ? 0 且均不为 1) . m
用 a , b 表示 log 42 56 .

(二)典型例题 【例 1】已知 log 2 3 ? a , log3 7 ? b , 【解析】

动动手:已知 log 3 12 ? a ,试用 a 表示 log3 24 . 【解析】

1

【例 2】计算: (1) log 4 9 ? log 27 25 ? log125 16 ; (2) (log 4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ? log 1 4 32 .
2

1. 利用换底公式“化异 为同”是解决有关对数问题 的基本思想方法,它在求值 或恒等变形中起了重要作 用,在解题过程中应注意: ①针对具体问题,选择恰当 的底数;②注意换底公式与 对数运算法则结合使用;③ 换底公式的正用与逆用;④ 变形公式可简化运算. 2. 当一个题目中同时

【解析】

动动手: (1) log8 9 ? log 3 32 ;

出现指数式和对数式时,一 般要把问题转化,统一到一 种表达式上,在求解过程中,

(2) log

2 ? log 27 9 . 2

根据题目的需要,将指数式 转化为对数式,或将对数式 转化为指数式,这正是数学

三、反馈练习 1. 若 lg x ? m , lg y ? n ,则 lg x ? lg ? A.

数学转化思想的具体表现.

1 m ? 2n ? 2 2 1 1 2. 的值所在区间是 ? 1 1 log 1 log 1 3 3 5 2 A. (??, ?2) B. (?2, ?1) C. (1, 2) 1 3. 若 log3 7 ? log 2 9 ? log 49 a ? log 4 ,则 a ? 2 2 1 A. B. C. 2 2 4
4.计算: (1) log 2 5 ? log5 4 ; (2) log 2

? y? ? 的值等于 ? 10 ? 1 1 B. C. m ? 2n ? 1 m ? 2n ? 1 2 2

2

( D. (

)

1 m ? 2n ? 2 2
)

D. (2,3) ( D. 4 )

1 1 1 ? log3 ? log5 ; 25 8 9
2

(3) lg 4 ? lg 5lg 20 ? (lg 5) .

b 5.已知 log3 2 ? a , 3 ? 5 ,用 a 、 b 表示 log 3

30 .

【解析】

2

3


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