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2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题三数列第一讲等差数列、等比数列课时作业文讲义


2017 届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列课时作业 文
1.在数列{an}中,已知 a1+a2+?+an=2 -1,则 a1+a2+?+an等于( A.(2 -1) C.4 -1
n n
2

n

2

2

2

)

B. D.

?2 -1? 3 4 -1 3
n

n

2

解析:设 Sn 为{an}的前 n 项和,Sn=a1+a2+?+an=2 -1,当 n≥2 时,Sn-1=2 =2 -1-(2
n n n n-1

n

n-1

-1,an
2

-1)=2

n-1

,an=4

2

n-1

,当 n=1 时,a1=1 也符合上式,所以 a1+a2+?+an=

2

2

1-4 4 -1 = . 1-4 3 答案:D 1 2.(2016·山西四校联考)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列, 2 则

a9+a10 =( a7+a8

) B.1- 2 D.3-2 2

A.1+ 2 C.3+2 2

1 1 2 2 解析:∵a1, a3,2a2 成等差数列,∴ a3×2=a1+2a2,即 a1q =a1+2a1q,∴q =1+2q,解得 2 2

a9+a10 a1q8?1+q? 2 2 q=1+ 2或 q=1- 2(舍),∴ = =q =(1+ 2) =3+2 2. a7+a8 a1q6?1+q?
答案:C 3.(2016·重庆模拟)设等比数列{an}的前 6 项和 S6=6,且 1- 为 a1,a3 的等差中项,则 2

a2

a7+a8+a9=(
A.-2 C.10

) B.8 D.14

解析:依题意得 a1+a3=2-a2,即 S3=a1+a2+a3=2,数列 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列, 即数列 2,4,S9-6 成等比数列,于是有 S9-S6=8,即 a7+a8+a9=8,选 B. 答案:B 4. 已知数列{an}的首项 a1=2, 数列{bn}为等比数列, 且 bn= A.2 C.2
9

an+1 , 若 b10b11=2, 则 a21=( an

)

B.2 D.2

10

11

12

1

解析:由 bn=

an+1 a2 a2 a3 a4 ,且 a1=2,得 b1= = ,a2=2b1;b2= ,a3=a2b2=2b1b2;b3= ,a4 an a1 2 a2 a3

= a3b3 = 2b1b2b3 ;?; an = 2b1b2b3?bn - 1 ,∴ a21 = 2b1b2b3?b20 ,又 {bn} 为等比数列,∴ a21 = 2(b1b20)(b2b19)?(b10b11)=2(b10b11) =2 . 答案:C 5.(2016·湖南东部六校联考)已知 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,
10 11

a2+a3 S4 成等比数列,则 等于( a1
A.4 C.8

) B.6 D.10
2

解析:设数列{an}的公差为 d,则 S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,故(2a1+d) =a1(4a1+ 6d),整理得 d=2a1,所以 答案:C 6.(2016·大连模拟)在数列{an}中,若 a1=2,且对任意正整数 m,k,总有 am+k=am+ak, 则{an}的前 n 项和 Sn=( A.n(3n-1) C.n(n+1) ) B.

a2+a3 2a1+3d 8a1 = = =8,选 C. a1 a1 a1

n?n+3?
2 D.

n?3n+1?
2

解析:依题意得 an+1=an+a1,即有 an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项、2 为公差 的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn= 答案:C 7.(2016·高考浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N ,则 a1 =________,S5=________. 解析:先构造等比数列,再进一步利用通项公式求解. ∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1, 1? 1 ? ∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+ =3?Sn+ ?, 2? 2 ?
? 1? ∴数列?Sn+ ?是公比为 3 的等比数列, 2? ?
*

n?2+2n?
2

=n(n+1),选 C.

1 2 ∴ =3. 1 S1+ 2

S2+

又 S2=4,∴S1=1,∴a1=1,

2

1? 1 ? 3 4 243 4 ∴S5+ =?S1+ ?×3 = ×3 = , 2? 2 ? 2 2 ∴S5=121. 答案:1 121

8.各项均为正数的等差数列{an}中,a4a9=36,则前 12 项和 S12 的最小值为________. 解析:S12=6(a1+a12)=6(a4+a9)≥6×2 a4a9=72,当且仅当 a4=a9=6 时等号成立. 答案:72 9.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日 织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺, 问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件, 若要使织布的总尺数不少于 30, 该女子所需的天数至少为________. 解析:设该女子第一天织布 x 尺,则

x?1-25?
1-2

5 5 =5,得 x= ,∴前 n 天所织布的尺数为 31 31

5 n n n (2 -1).由 (2 -1)≥30,得 2 ≥187,则 n 的最小值为 8. 31 答案:8 10.(2016·高考北京卷)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,

a14=b4.
(1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.

b3 9 解析:(1)设等比数列{bn}的公比为 q,则 q= = =3, b2 3
所以 b1= =1,b4=b3q=27,所以 bn=3 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,?). (2)由(1)知 an=2n-1,bn=3 因为 cn=an+bn=2n-1+3 从而数列{cn}的前 n 项和
n-1 n-1

b2 q

n-1

(n=1,2,3,?).



.

Sn=1+3+?+(2n-1)+1+3+?+3n-1


n?1+2n-1? 1-3n
2

3 -1 + =n + . 1-3 2
2 *

n

11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N ). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N ),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式.
3
*

解析:(1)证明:n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1, 3 又 a1=1≠0, 4 ∴{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 3

?4?n-1 * (2)∵an=? ? ,由 bn+1=an+bn(n∈N ), ?3? ?4?n-1 得 bn+1-bn=? ? . ?3? ?4?n-1 1-? ? ? 3? ?4?n-1 当 n≥2 时,可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=2+ =3? ? -1, 4 ?3? 1- 3
当 n=1 时,上式也成立,

?4?n-1 ∴数列{bn}的通项公式为 bn=3? ? -1. ?3?
12.(2016·武昌调研)在公差不为零的等差数列{an}中,已知 a1=1,且 a1,a2,a5 依次成等 比数列.数列{bn}满足 bn+1=2bn-1,且 b1=3. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)设数列?
?

2

?an·an+1?

? 1 ?的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 1- 的大小.

bn

解析:(1)设数列{an}的公差为 d. 因为 a1=1,且 a1,a2,a5 依次成等比数列, 所以 a2=a1·a5,即(1+d) =1·(1+4d), 所以 d -2d=0,解得 d=2(d=0 不合要求,舍去). 所以 an=1+2(n-1)=2n-1. 因为 bn+1=2bn-1,所以 bn+1-1=2(bn-1). 所以{bn-1}是首项为 b1-1=2,公比为 2 的等比数列. 所以 bn-1=2×2 所以 bn=2 +1. (2)因为 2
n n-1
2 2 2

=2 .

n

an·an+1 ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1



2



1



1



?1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ? = 1- 1 , 所以 Sn=? - ?+? - ?+?+? ? 2n+1 ?1 3? ?3 5? ?2n-1 2n+1?

4

n 1 1 1 1 2n-2 ? 1? 于是 Sn-?1- ?=1- -1+ n = n - = . n 2n+1 2 +1 2 +1 2n+1 ?2n+1??2 +1? ? bn?

1 n 所以当 n=1,2 时,2n=2 ,Sn=1- ;

bn

1 n 当 n≥3 时,2n<2 ,Sn<1- .

bn

5


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