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空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明.学生版


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板块四.垂直关系的判断与证 明 典例分析
【例1】 下列说法正确的有 . ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. ②若一条直线与平面内无数条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. ③若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线. ④若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个

平 面. ⑤若一条直线平行于一个平面,则它和这个平面内的任何直线都不垂直. ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直. 【例2】 在空间四面体的四个面中,为直角三角形的最多有

个.

【例3】 已知在三棱锥 A ? BCD 中 AC ? AD , BD ? BC ,求证: AB ⊥ CD .
A

C E D

B

【例4】 如图,已知三棱锥 P ? ABC , ?ACB ? 90 , D 为 AB 的中点,且 ?PDB 是正三角

形, PA ⊥ PC . 求证:⑴ PA ⊥面 PBC ;⑵平面 PAC ⊥平面 ABC .
P

C A D B

【例5】 如图, ABCD 是正方形, SA 垂直于平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面交 SB 、

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SC 、 SD 分别于点 E 、 F 、 G ,求证: AE ? SB , AG ? SD .
S F G D E A B

C

【例6】 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? ABCD

中 ,

PA ?

底 面

A B C ,D

AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.证明:面

ABE ⊥面 PCD .

【例7】 如图, 四面体 P ? ABC ,PA ⊥面 ABC ,AB ⊥ BC , 过 A 作 AE ⊥ PB 交 PB 于 E ,

过 A 作 AF ⊥ PC 交 PC 于 F .求证: PC ⊥ EF .

P F E C B

A

【例8】 如图 O 是正方体下底面 ABCD 中心, B?H ? D?O , H 为垂足.求证: B?H ? 平

面 AD?C .
【例9】 如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中. .求证: BD1 ⊥面 AB1C .

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D1 A1 B1

C1

D A B

C

【例10】 在长方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中,点 E , F 分别在 AA 1 , CC1 上且 BE ? A 1 B,
BF ? BC1 ,求证: BD1 ? 面 BEF

【例11】 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心.求证:
B1O ⊥面 PAC .

【例12】 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ⊥底面 ABCD , M , N 分别为
PC , AB 的中点.⑴求证: MN ∥平面 PAD ;⑵若 ?PDA ? 45 ,求证: MN ⊥

面 PCD .
P M C N B

Q D A

【例13】 已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形, 且 ?A1 AB ? ?A1 AD ? 60 . 求证:
CC1 ⊥ BD .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

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【例14】 (2008 深圳高三联考) 如图, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 AC (注:填上你认为正确的一种条件即可, ? B1D1 . 1

不必考虑所有可能的情形)
A1 B1 C1 A B D C D1

【例15】 如图, A 、 B 、 C 、 D 是空间四点,在 △ABC 中, AB ? 2 , AC ? BC ? 2 ,等

边 △ADB 所在的平面以 AB 为轴可转动.当 △ADB 转动过程中,是否总有
AB ? CD?请证明你的结论
A

O

C

B

D

【例16】 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 是 AA1 的中点,问当点 N 位于 AB 上何处时,
MN ? MC1 ?

【例17】 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? 1 , ?ACB ? 90? , AA1 ? 2 , D 是

A1 B1 的中点.
⑴求证 C1 D ? 平面 A1 B ; ⑵当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ? 平面 C1 DF ?并证明你的结论.

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A B E A1 D B1 F

C

C1

【例18】 (2000 全国,文 19) 如 图 已 知 平 行 六 面 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底 面 A B C D 是 菱 形 , 且

?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD . ⑴ 证明 C1C ? BD ; CD ⑵ 当 的值为多少时,能使 A1C ? 平面 C1 BD ?请给出证明. CD1
B1 C1 D1 A1

B C D 图 9-2-284

A

【例19】 已知四面体 ABCD , ①若棱 AB ? CD ,求证 AC 2 ? BD 2 ? AD 2 ? BC 2 ②若 AC 2 ? BD 2 ? AD 2 ? BC 2 ,求证棱 AB ? CD .
PC 的 F 分别为 AC , 【例20】 已知三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 底面 ABC , AB ? BC , D ,

中点, DE ? AP 于 E . ⑴求证: AP ? 平面 BDE ; ⑵求证:平面 BDE ? 平面 BDF ; ⑶若 AE : EP ? 1: 2 ,求截面 BEF 分三棱锥 P ? ABC 所成两部分的体积比.
【例21】 (2009 扬州中学高三期末) 在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 . ⑴求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ; ⑵若 F 为 PC 的中点,求证 PC ? 平面 AEF . 【例22】 (2003 京皖春)
F分 如图所示,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4 . E , BC 的中点, EF BD ? G . 别为棱 AB ,

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⑴求证:平面 B1 EF ? 平面 BDD1 B1 ; ⑵求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d ; ⑶求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V .
D1 A1 B1 C1

D G A E B F

C


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