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甘肃省民乐县第一中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


民乐一中 2015——2016 学年第二学期高一年级第一次月考 数学试卷
第Ⅰ卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.sin 210°=( A. 1 2 ) B. 3 2 1 C.- 2 ) D.- 3 2

2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10)

??? ? 3.已知点 A(1,3),B(4,-1) ,则与向量 AB 同方向的单位向量为(
4? ?3 A.? ,- ? 5? ?5 3? ?4 B.? ,- ? 5? ?5

)

? 3 4? C.?- , ? ? 5 5?
4.若 θ ∈? A. 3 5

? 4 3? D.?- , ? ? 5 5?
) 3 4

?π ,π ?,sin 2θ =3 7,则 sin θ =( ? 8 ?4 2?
B. 4 5 C. 7 4

D. )

θ θ ? θ? 5.设 θ 是第三象限角,且?cos ?=-cos ,则 是( 2? 2 2 ? A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

6.如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点(靠近 B),那么 EF =(

??? ?

)

? 1 ??? ? 1 ??? A. AB - AD 2 3
C.

B. D.

? 1 ??? ? 1 ??? AB + AD 4 2 ? 2 ??? ? 1 ??? AB - AD 2 3

? 1 ??? ? 1 ??? AB + DA 3 2
1 cos x- 的定义域为( 2

7.函数 y=

) π π? ? B.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 3? ? D.R )
1

? π π? A.?- , ? ? 3 3?
π π? ? C.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 3 3? ?

? π? 8.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?

A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π? ? 9.已知函数 f(x)=sin?2ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 3? ? ( ) π A.x= 12 π B.x= 6 5π C.x= 12 π D.x= 3

π 10.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为 2 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x )

11.函数 f(x)=Asin(2x+φ )(A>0,φ ∈R)的部分图象如图所示,那么 f(0)=( 1 A.- 2 C.-1 B.- 3 2

D.- 3 )

? π π? 12.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( ? 3 4?
A. 2 3 B. 3 2

C.2

D.3

第Ⅱ卷

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________.

?π ? 14.函数 y=cos? -2x?的单调减区间为________. ?4 ?
2

?4π ,0?中心对称,那么|φ |的最小值为________. ? ? 3 ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? 16.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC ? AD =_______________.
15.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点?

三、解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题共 10 分)如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,

? ? A 点的坐标为? , ?, △AOB 为正三角形. 5 5
3 4

?

?

(I)求 sin∠COA; (II)求 cos∠COB.

18. (本小题共 12 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45°. (I)求 b; (II)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

π α 1 2 19. (本小题共 12 分)已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (I)求 sin α 的值; (II)求 β 的值.

?x π ? ?x π ? 20. (本小题共 12 分)已知函数 f(x)=2 3sin? + ?cos? + ?-sin (x+π ). ?2 4 ? ?2 4 ?
(I)求 f(x)的最小正周期; π (II)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大 6 值和最小值.

3

3? ? 1 21. (本小题共 12 分)设在平面上有两个向 量 a=(cos α ,sin α )(0°≤α <360°),b=?- , ?. 2 2 ? ? (I)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (II)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时, 求 α 的大小.

22. (本小题共 12 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),又点 A(8,0),B(n, π? ? t),C(ksin θ ,t)?0≤θ ≤ ?.

?

2?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (I)若 AB ⊥a,且| AB |= 5| OA |,求向量 OB ; ???? ??? ? ???? (II)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求 OA ? OC .

4

高一年级第一次月考数学试题参考答案 一、 1 C 选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A 11 C 12 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 2 15. π 6 π 5π ? ? 14. ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ? 16. 3

三、解答题: (共 70 分) 4 17.解:(1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= …………………………………4 分 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°, 4 3 又 sin∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60°) =cos∠COAcos 60°-sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = ? - ? = ………………………………………………………….10 分 5 2 5 2 10 18.解:(1)∵a?b=2n-2,|a|= 5,|b|= n +4, ∴cos 45°=
2 2

2n-2 5? n +4
2



2 , 2

∴3n -16n-12=0(n>1). ∴

n



6



n





2 3

(



)





b



(



2,6).............................................................6 分 (2)由(1)知,a?b=10,|a| =5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λ b(λ >0). ∵(c-a)?a=0, ∴λ b?a-|a| =0.∴λ =
2 2

|a| 5 1 = = . b?a 10 2

2

1 ∴c= b=(-1,3).…………………………………………………………....12 分 2 α 1 19.解:(1)∵tan = , 2 2

5

α 1 2tan 2? 2 2 4 ∴tan α = = = , α 1 2 ? ?2 3 1-tan 1-? ? 2 ?2? sin α 4 ? ? = , 由?cos α 3 ? ?sin2α +cos2α =1, 4 4? ? 解得 sin α = ?sin α =- 舍去?………………………………………………6 分 5 5? ? (2)由(1)知 cos α = 1-sin α =
2

?4?2 3 1-? ? = , ?5? 5

π 又 0<α < <β <π ,∴β -α ∈(0,π ), 2 而 cos(β -α )= 2 , 10
2

∴sin(β -α )= 1-cos ?β -α ?= 于是 sin β =sin[α +(β -α )] =sin α cos(β -α )+cos α sin(β -α )

1-?

? 2? 2 7 2 , ?= ? 10 ? 10

4 2 3 7 2 2 3π ?π ? = ? + ? = .又 β ∈? ,π ?,∴β = …………………………12 分 5 10 5 10 2 4 ?2 ? 1 ? 3 ? ? π? ? π? 20.解:(1)因为 f(x)= 3sin?x+ ?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?=2sin?x+ ?, 2? 3? ? ? 2 ?2 ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π ……………………………………………….…….5 分 π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6

?? π ? π ? ? π? ? π? ∴g(x)=f?x- ?=2sin??x- ?+ ?=2sin?x+ ?. 6? 3? 6? 6? ? ? ??
π ? π 7π ? ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , ?, 6 ? 6 ?6 π π π ? π? ∴当 x+ = ,即 x= 时,sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? 6 2 3 ? π 7π 1 ? π? 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1.....................12 分 6 6 6 2 ? ?

?1 3? 2 2 2 2 21.解:(1)证明:因为(a+b)?(a-b)=|a| -|b| =(cos α +sin α )-? + ?=0, ?4 4?
所 以

a



b



a



b



直.......................................................................5 分
6

(2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a| +2 3a?b+|b| =|a| -2 3a?b+3|b| , 所以 2(|a| -|b| )+4 3a?b=0. 而|a|=|b|,所以 a?b=0, 3 ? 1? 则?- ??cos α + ?sin α =0,即 cos(α +60°)=0, 2 ? 2? 所以 α +60°=k?180°+90°, 即 α =k?180°+30°,k∈Z. 又 0°≤α <360°,则 α =30°或 α =210°………………………………12 分 ??? ? 22.解:(1)由题设知 AB =(n-8,t), ??? ? ∵ AB ⊥a,∴8-n+2t=0. ??? ? ??? ? 又∵ 5| OA |=| AB |, ∴5?64=(n-8) +t =5t ,得 t=±8. 当 t=8 时,n=24;t=-8 时,n=-8, ??? ? ??? ? ∴ OB =(24,8)或 OB =(-8,-8).………………………………….5 分 ???? (2)由题设知 AC =(ksin θ -8,t), ???? ∵ AC 与 a 共线,∴t=-2ksin θ +16,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

tsin θ =(-2ksin θ +16)sin θ
4?2 32 ? =-2k?sin θ - ? + .

?

k?

k

4 ∵k>4,∴0< <1,

k

4 32 ∴当 sin θ = 时,tsin θ 取得最大值 .

k

k



32

k

=4,得 k=8,此时 θ =

π ???? , OC =(4,8). 6

??? ? ???? ∴ OA ? OC =(8,0)?(4,8)=32…………………………………………………………………..12 分

7


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