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初高中知识链接第四章


初高中知识衔接第四章《二次函数》
【本讲教育信息】 一. 教学内容 1、二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 2、二次函数的三种表示方式 3、二次函数的简单应用 二. 教学目标 1、掌握根的二次函数的基础知识 2、学会做这一类题的方法 3、了解与高中知识的衔接 三、基础概念回顾 2 (一)二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 ⑴y=2x ,y=

>2 2

1 2 x ,y=-2x2 的图象是什么样子? 2
2 2

二次函数 y=ax (a≠0)的图象可以由 y=x 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到. 在 2 二次函数 y=ax (a≠0)中, 二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口 的大小. 2 2 ⑵函数 y=a(x+h) +k 与 y=ax 的图象之间存在怎样的关系? 2 二次函数 y=a(x+h) +k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定 了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下 平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 2 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)具有下列性质:

b 4ac ? b 2 , ) ,对称 2a 4a b b b 轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小(单调递减) ;当 x> ? 时, 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 y 随着 x 的增大而增大(单调递增);当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 4a b 4ac ? b 2 2 , ) ,对称 ②当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 ( ? 2a 4a b b b 轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大(单调递增);当 x> ? 时, 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 y 随着 x 的增大而减小(单调递减) ;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 4a 2 ③当 b 、 c 均为 0 时,函数 y ? ax ( a ? 0 )关于 y 轴对称(即 f ?x ? = f ?? x ? ) ,称 2 函数 y ? ax ( a ? 0 )是偶函数。
①当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 ( ?
2

那么什么是“奇函数”呢?

【练 习】 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2





(C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x 2 2 (2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1) 二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1, -2), 则 m= , n= . (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ;当 x = 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2.

4.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值 或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

(二)二次函数的三种表示方式 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y =ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立.

(2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反 过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y= ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可 以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)这样就有了第三种表示二次函数的方法: 3. 交点式: y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0), 其中 x1, x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 【练 习】 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可 设为 y=a (a≠0) . 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

(三)二次函数的简单应用 1.函数图像的平移变换( “上加下减,左加右减” ) 2 例 1. 求把二次函数 y=x -4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数 解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位;

(2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.

x=-1

y

2.对称变换 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对 称后所得到图象对应的函数解析式: O (1)直线 x=-1; A(1,-1) (2)直线 y=1. 2 解: (1)如图 2.2-7,把二次函数 y=2x -4x+1 的图 象关于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象的顶点位 图 2.2-7 置,不改变其形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图象的顶点为 A(1,-1), 所以,对称后所得到图象的顶点为 A1(-3,1),所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于 直线 x=-1 对称后所得到图象的函数解析式为 y=2(x+3)2-1,即 y y =2x2+12x+17. B(1,3) 2 (2)如图 2.2-8,把二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开口方向,不改变其 形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图 O 象的顶点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为 B(1,3),且 A(1,-1) 2 开口向下,所以,二次函数 y=2x -4x+1 的图象关于直线 y=1 对称 后所得到图象的函数解析式为 y=-2(x-1)2+3, 即 y=-2x2+4x+1. 图 2.2-8

x

y=1 x

3.分段函数 例 4 如图 9-2 所示,在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发沿 折线 ABCD 移动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,ΔPAC 的面积为 y. D (1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围.

C

P

A 图 2.2-10 分析:要对点 P 所在的位置进行分类讨论. 解: (1)①当点 P 在线段 AB 上移动(如图 2.2-10①) ,即 0<x≤2 时, y=

B

1 AP ? BC =x; 2 1 1 PC ? AB = (4 ? x) ? 2 =4-x; 2 2

②当点 P 在线段 BC 上移动(如图 2.2-10②) ,即 2<x<4 时, y=

③当点 P 在线段 CD 上移动(如图 2.2-10③) ,即 4<x≤6 时,

y= PC ? AD = ( x ? 4) ? 2 =x-4; ④当点 P 在线段 DA 上移动(如图 2.2-10④) ,即 6<x<8 时,

1 2

1 2

y?

1 1 AP ? DC ? ?8 ? x ? ? 2 ? 8 ? x 2 2

【自 习】
一、选择题 1. 已知一元二次方程 x2+bx-3=0 的一根为 -3 ,在二次函数 y=x2+bx-3 的图象上有三点

? ?1 ? ? 4 ? ? 5 ? ? , y1 ? 、? ? , y2 ? 、? , y3 ? ,y1、y2、y3 的大小关系是( ? 5 ? ? 4 ? ?6 ?
A、y1<y2<y3 B、y2<y1<y3 C、y3<y1<y2



D、y1<y3<y2

2.如图, 将二次函数 y=31x2-999x+892 的图形画在坐标平面上, 判断方程 31x2-999x+892 =0 的两根,下列叙述何者正确( )

A.两根相异,且均为正根 C.两根相同,且为正根
2

B.两根相异,且只有一个正根 D.两根相同,且为负根

3. 已知二次函数 y=x +bx﹣2 的图象与 x 轴的一个交点为(1,0) ,则它与 x 轴的另一个交 点坐标是( A、 (1,0) ) B、 (2,0) C、 (﹣2,0) D、 (﹣1,0) )

4.已知函数 y=(k-3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( A.k<4 B.k≤4
2

C.k<4 且 k≠3

D.k≤4 且 k≠3

5.如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交,其顶点坐标为(
2

1 ,1) ,下列结 2


论:① ac<0;② a+b=0;③ 4ac﹣b =4a;④ a+b+c<0.其中正确结论的个数是(

A.1

B.2
2

C.3

D.4

6.已知:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:① abc>0;② 2a+b<0; ③ a+b<m(am+b) (m≠1 的实数) ;④ (a+c) <b ;⑤ a>1.其中正确的项是(
2 2

)

A.① ⑤

B.① ② ⑤

C.② ⑤

D.① ③ ④

7.已知二次函数 y=ax 的图象开口向上,则直线 y=ax-1 经过的象限是( A.第一、二、三象限 C.第一、二、四象限 B.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

2



二次方程(x﹣1) (x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为 α,β,且 α<β,则 α,β 满足( A.1<α<β<2
2



B.1<α<2<β

C.α<1<β<2

D.α<1 且 β>2
2

9.分二次函数 y=﹣x +2x+k 的部分图象如图所示,则关于 x 的一元二次方程﹣x +2x+k=0 的 一个解 x1=3,另一个解 x2=( )

A、1

B、﹣1

C、﹣2

D、0

10.若 x1,x2(x1<x2)是方程(x-a)(x-b)=1(a<b)的两个根,则实数 x1,x2,a,b 的大小关系为( A、x1<x2<a<b 二、填空题 1.如图,已知抛物线 y=x +bx+c 经过点(0,﹣3) ,请你确定一个 b 的值,使该抛物线与 x
2

) B、x1<a<x2<b C、x1<a<b<x2 D、a<x1<b<x2

轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你确定的 b 的值是

.

2.如图,是二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:① a+b+c=0;② b >2a;③ ax +bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1;④ a﹣2b+c>0.其中正确的命题是 ① ③ . (只 要求填写正确命题的序号)
2

2

。 3.孔明同学在解一元二次方程 x ﹣3x+c=0 时,正确解得 x1=1,x2=2,则 c 的值为 2 . 4.试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: .
2

5.如图,抛物线 y=-x2+2x+m(m<0)与 x 轴相交于点 A(x1,0)、B(x2,0),点 A 在点

B 的左侧.当 x=x2-2 时,y <0(填“>”“=”或“<”号). 三、解答题 1.已知函数 y=mx ﹣6x+1(m 是常数) . (1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值.
2

2.已知抛物线 y=﹣x +4x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,顶点为 P. (1)求 A、B、P 三点的坐标; (2)在直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线的图象,并根据图象写出 x 取何值时,函 数值大于零; (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,请写出平称后图象的函数表达式. x y

2

3.已知抛物线 (1)求 c 的取值范围;

与 x 轴没有交点.

(2)试确定直线 y=cx+1 经过的象限,并说明理由.

4.已知:关于 x 的方程 ax ﹣(1﹣3a)x+2a﹣1=0. (1)当 x 取何值时,二次函数 y=ax ﹣(1﹣3a)x+2a﹣1 的对称轴是 x=﹣2; (2)求证:a 取任何实数时,方程 ax ﹣(1﹣3a)x+2a﹣1=0 总有实数根.
2 2

2


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