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高一数学必修4,第3章,三角恒等变换


高中数学必修 4 第三章三角恒等变换辅导资料 一、基础知识: 1,结构图

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
相除

? ?? ????

tan?? ? ?? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
相除

S ? ?? ? S ? ?? ? C ? ?? ? C ? ??
相加减

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? sin 2? ? 2 sin ? cos ?
移项 ? ? 2?

? ?? ????

? 1 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2
2

变形

1 ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 sin ? cos ? ?


sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

?A ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? sin ? tan

A?B A?B cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B ? 2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? 2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? ?2 sin sin 2 2 sin A ? sin B ? 2 sin

2,知识点罗列
(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ① cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ② cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

③ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ④ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑤ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

⑥ tan ?? ? ? ? ?

(2)和角公式的推广·令两个角相等得到二倍角公式: ① sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ② cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

③ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

(3)由倍角公式反推可得到半角公式,以下为常用半角公式:
半角公式 : α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

(4)半角公式及倍角公式可得到: 由此可得到 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos
2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 2 降幂公式 cos ? ? , sin ? ? . 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2

(5)辅助角公式,按照 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? 化简即可得到便于计算

?x ? ? ) ? B . 最值和范围的标准形式 y ? A sin(
注:特殊角的辅助角公式:

sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? ) ; sin x ? 3 cos x ? 2sin(x ? ? ) ; 3 sin x ? cos x ? 2sin(x ? ? ) . 4 3 6
(6)挖掘考题中的恒等变换线索: ① ? ? (? ? ? ) ? ? ; ②

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

③ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

??);

(7)1 的妙用,在三角化解中 1 可以代换成多种形式,有助于化解:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(8)总结;三角函数化简基本规则:化到最简,化到最熟悉,化到最有效。一般包含: 复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,见切化弦,异角化同角,特殊 值与特殊角的三角函数互化。

二、例题精讲: π 1 α- ?= ,则 sin2α=( 1.(2010· 河北唐山)已知 cos? 4 ? ? 4 7 A.- 8 31 C.- 32 [答案] A π π -2α?=cos2?α- ? [解析] sin2α=cos? ?2 ? ? 4? π? 7 ?1?2 =2cos2? ?α-4?-1=2×?4? -1=-8. π ? 1 ?π ? 2.已知 sin? ?6-α?=4,则 sin?6+2α?=______. [答案] 7 8 7 B. 8 31 D. 32 )

π ? ?π π ? [解析] sin? ?6+2α?=cos?2-6-2α? π 2?π ? ? 7 =cos? ?3-2α?=1-2sin ?6-α?=8. 3π? 3.(2010· 北京东城区模拟)已知向量 a=(cosα,1),b=(-2,sinα),α∈? ?π, 2 ?,且 a ⊥b. (1)求 sinα 的值; π? (2)求 tan? ?α+4?的值. [解析] (1)∵a=(cosα,1),b=(-2,sinα),且 a⊥b. ∴a· b=(cosα,1)· (-2,sinα)=-2cosα+sinα=0. 1 ∴cosα= sinα. 2 4 ∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α= . 5 3π? 2 5 ∵α∈? ?π, 2 ?,∴sinα=- 5 . (2)由(1)可得 cosα=- 5 ,则 tanα=2. 5

π? tanα+1 tan? ?α+4?=1-tanα=-3.

三、重点练习题: 选择题 1. cos ? ? ? A、 ?

3 12 ?? ? , ? ? ? , ? ? , sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 cos(? ? ? ) ? ( 5 13 ?2 ?
B、
?



33 65
?

63 65
? ?

C、

56 65

D、 ? )

16 65

2. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值为(

A 1

B
4

3 3
4

C - 3 )

D

3

3. 函数 y ? sin x ? cos x 的值域是( A

?0,1?

B

??1,1?

C

?1 3? , ? ?2 2? ?

D

?1 ? ,1 ? ?2 ? ?

4. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

4 ,则这个三角形底角的正弦值为( 5



A 5. 已知

10 10

B

?

10 10

C

3 10 10
( D、 ?

D

?


3 10 10

1 ? cos x ? sin x ? ?2 ,则 tan x 的值为 1 ? cos x ? sin x 4 4 3 A、 B、 ? C、 3 4 3

3 4

6.

1 3 cos ? ? sin ? 可化为( 2 2
A. sin?



?? ? ? ?? ?6 ? ?? ? ? ?? ?6 ?

B. sin?

?? ? ? ?? ?3 ? ?? ? ? ?? ?3 ?
?

C. sin?

D. sin?

7. 已知向量 OB ? 2 , 0 ,向量 OC ? 2 , 2 ,向量 CA ? 量 OA 与 OB 的夹角范围为( ) A. ?0, ? 4? ? C. ? , ? 2? ? 12

?

?

?

?

?

?

?

2 cos ?, 2 sin ? ,则向

?

?

?

?

??

B. ? , ? 4 12 ? ?

??

5? ?

? 5?

??

D. ? , ?12 12 ? ?

??

5? ?

8. 函数 y ? 8 sin x cos x cos 2 x 的周期为 T,最大值为 A,则( ) A. T ? ?,A ? 4 C. T ? ?,A ? 2

? ,A ? 4 2 ? D. T ? ,A ? 2 2
B. T ?

9. 若 sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? m ,且 ? 为第三象限角,则 cos ? 的值为( A. 1 ? m2 B. ? 1 ? m 2 C. m2 ? 1 D. ? m 2 ? 1 (



10. 已知 tan a =4, cot ? =

1 , 3

则 tan( ? + ? )=

)

A.

7 11

B. ?

7 11

C.

7 13

D. ?

7 13

11.若 ? , ? ? (0, ) , cos(? ? A. ?

? 2

? 1 ? 3 , sin( ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值等于( )? 2 2 2 2
C.



3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2

12.

2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值是( )
A. sin 2 B. ? cos2 C. ? 3 cos 2 D.

3 cos 2

填空题
2 13. .在 ?ABC 中,已知 tanA ,tanB 是方程 3x ? 7 x ? 2 ? 0 的两个实根,则 tan C ?

3sin 2 x ? 2 cos 2 x 的值为 cos 2 x ? 3sin 2 x ? 15. 设 x∈z,则 f(x)=cos x 的值域是 3
14. 已知 tan x ? 2 ,则 16.已知函数 f ( x) ? sin 则 ? 的值
2

? ? ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2 π ? ?

简答题

sin(? ? ) 15 4 ,求 17. 已知α 为第二象限角,且 sinα = 的值.(12分) 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

?

18. 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

19.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ ?

, ] 上的值域 12 2

? ?

20.已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域.

21.已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 22.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
3 12 ?π 1? ? π? (1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , M ? ,?. 5 13 ? 3 2? ? 2?
求 f (? ? ? ) 的值.


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