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抛物线的简单几何性质


抛物线的简单几何性质
1.抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定
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y

y
y

y l O

图 形
l

x
F
O F

r />x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(?

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

p p ,0) (0, ) 2 2 p p y?? x? 2 2 点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线
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2.抛物线的标准方程: 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂 直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系
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数绝对值的

1 2p p ? ,即 4 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为

? 2 px 、左端为 y 2 ;图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右
端为 ? 2 py ,左端为 x
2
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(2)开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X

轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时, 焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号 二: 抛物线的几何性质 1.范围
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因为 p>0,由方程 y ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,
2

y)满足不等式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性

以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我 们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中,当 y=0 时,x=0,因此抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心 率,用 e 表示.由抛物线的定义可知,e=1. 对于其它几种形式的方程,列表如下: 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
l

O

F

x

?0,0?

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

e ?1

y

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

e ?1

l

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

e ?1

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

e ?1

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离、 1.直线与抛物线的位置关系: (1)位置关系的判定: 联 立 直 线 l : y?

k?x
2

和 抛 物 线 y2 ? 2 p x ? 0 消 y 整 理 得 : m ( p )

k 2 x2? 2 ( k m ?

)p ? x

m0 ?

当a ? 0时 ? ? 0 ?直线与抛物线相交,有两个不同公共交点 ? ? 0 ? 直线与抛物线相切,只有一个公共交点 ? ? 0 ? 直线与抛物线相离,没有公共交点 当 a ? 0 时, 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线, 此时直线与抛 物线相交,只有一个公共交点,但不能成为相切 ( 2 ) 若 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 弦 长

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 或 AB ? 1 ?
别注意解题是结合韦达定理来处理问题

1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ,特 2 k

1. BM1 ⊥AM1 (以抛物线的焦 点弦为直径的圆,切于准 线)

2. B1F⊥A1F(以 A1B1 为直径的圆,切于焦点弦)

3. 令过 F 直线斜率为 k,F(p/2,0)A(X1,Y1) B(X2,Y2) 令∠BFX= ? 则直线 AB:y=k(x-p/2) y2=2px ① ②

联立①②:k2x2-(pk2+2p)+k2p2/4=0 由上式:⑴x1x2=p2/4 y1y2=-p2

⑵1/AF+1/BF=2/P

⑶AB=AF+BF=2P/(sin ? )2

⑷S△AOB=p2/(2sin ? )


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