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重庆一中2014-2015高一下数学


2014 年重庆一中高一数学下期期末试卷(有答案)
数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的;各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1. 已知等差数列 A . 6

{an } 中, a2 ? a8 ? 2 , a5 ? a11 ? 8 ,则其公差是(
B .3 C .2 D .1



2. 已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,l2 : x ? ay ? 2 ? 0 , 则 “ a ? ?2 ” 是 “ l1 ? l 2 ” 的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取 频率/组距 了 n 个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都 在[10,50)(单位:元) ,其中支出在



?30,50?

0.037

(单位:元)的同学有 67 人,其频率分布直方 0.023 图如右图所示,则 n 的值为( ) 0.01 A.100 B.120 C.130 D.390 元 4.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为 101,2,3,4 20 30 ,若从袋中随机抽 40 50 取两个球,则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为( )

1 A. 5

2 B. 5

C.

1 3

D.

1 6


开始 i = 12 , s = 1 否 是

5.如图. 程序输出的结果 s=132 , 则判断框中应填( A. i≥10 B. i≥11 C. i≤11 D. i≥12

s=s

i

输出s 结束

6.圆

? x ? a?

2

? y ?1
2

与直线

y ? x 相切于第三象限,则 a 的值是( i=i ) 1 .
D. 2

A. 2

B. ?2

C. ? 2

7.已知点 P( x, y) 在不等式组 围是( A. ) B.

?x ? 2 ? 0 ? ?y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

表示的平面区域上运动,则

z ? x ? y 的取值范

??2, ?1?

??1, 2?

C.

??2,1?

D.

?1, 2?

8. 设

{an } 是公比为 q 的等比数列,令 bn ? a n ?1 , n ? N * ,若数列 {bn } 的连续四项在集合
)

??53, ?23,19,37,82 ? 中,则 q 等于(
4 3 3 2 ? ? ? A. 3 B. 2 C. 2 或 3 ?
9.已知在平面直角坐标系

3 4 ? D. 4 或 3 ?

xoy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? ?2 y ? 3 ,直线 l 过点 (1, 0) 且与直


线 x ? y ? 1 ? 0 垂直.若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,则 ?OAB 的面积为( A.1 B. 2 C.2 D. 2 2

A ? {( x, y ) |
10. (原创) 设集合

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} 2 ,

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A B=? ,则实数 m 的取值范围是( )
A. 2 ? 2 ? m ? 1 B. 0 ? m ? 2 ? 2

C. m ? 2 ? 2或m ? 1

1 m ? 或m ? 2 ? 2 2 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡相应的 位置上. 11. 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , B ? 60? .则

b=

. .

2 2 12.在区间 [?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得 1?{x | 2 x ? ax ? a ? 0} 的概率为

13. 若 直 线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始 终 平 分 圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的 周 长 , 则
2 2

1 1 ? 2 a b 的最小值为
14. (原创)给出下列四个命题: ①某班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的 样本,已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为 23; ②一组有六个数的数据是 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 y ? a ? bx 中,

b ? 2, x ? 1, y ? 3, 则 a ? 1;

其中正确的命题有

(请填上所有正确命题的序号)

4 2(n ? 1)an a1 ? - , an ?1 ? (n ? N * ) {a } a 3 an ? 2n 15. (原创) 数列 n 满足 ,则 n 的最小值是
三、解答题 :(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框 内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程). 16.(本小题满分 13 分)在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列. (1)求 a n ; (2)令 bn ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

17. (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a , b, c ,且 c ? 2, C ? 60? .

a?b (1)求 sin A ? sin B 的值;
(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积

S?ABC



18. (本小题满分 13 分)某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时 间内每个技工加工的合格零件数,按十位数字为茎, 个位数字为叶得到的茎叶图如图所示.已知甲、乙 甲组 乙组 两组数据的平均数都为 10. 8 7 0 n 9 (1)求 m,n 的值;
m 2 0 1 0 1 2

S2 S2 (2)分别求出甲、乙两组数据的方差 甲 和 乙 ,
并由此分析两组技工的加工水平; (3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行 检测,若两人加工的合格零件数之和大于 17,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合 格” 的概率.

1 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n (注:方差

? ( xn ? x) 2

, x 为数据 x1,x2,…,xn 的平均数)

x?a 19. (本小题满分 12 分) (原创)已知函数 f (x) = x ? b (a、b 为常数).
(1)若 b ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? 0 ;

(2)若 a ? 1 ,当 x∈[ ? 1 ,2]时,

f ( x) ?

?1 ( x ? b)2 恒成立,求 b 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)(原创)已知圆 M: x ? y ? 2 y ? 24 ,直线 l :x+y=11,
2 2

l 上一点 A 的横坐标为 a , 过点 A 作圆 M 的两条切线

y B A M C x O

l1 , l2 , 切点分别为 B ,C.
l l (1)当 a=0 时,求直线 1 , 2 的方程;
(2)当直线

l1 , l2 互相垂直时,求 a 的值;

(3)是否存在点 A,使得 AB ? AC ? ?2 ?若存在, 求出点 A 的坐标,若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知数列 (1)若数列

{an } 满足:

an ? an ?1 ?

1 2 a (n ? N * ) 2 n ?1 n

{an } 是以常数 a1 为首项,公差也为 a1 的等差数列,求 a1 的值;

1 1 1 ? ? 2 a ? 0 ,求证: an ?1 an n 对任意 n ? N * 都成立; (2)若 0
a0 ? 1 n ?1 ? an ? n * 2 ,求证: n ? 2 对任意 n ? N 都成立;

(3)若

2014 年重庆一中高 2016 级高一下期期末考试 数 学 答 案 2014.7

1—10DAACB

CBCAD

11.

7

12. 0.3

3? 2 2 2 13.

14. ②③

15. ?8 ;

16.(13 分) 【解】 (1)设 {an } 的公比为 q ,由 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,得 4a1 ? a3 ? 4a2 .
2 n ?1 * 又 a1 ? 1 ,则 4 ? q ? 4q ,解得 q ? 2 . ∴ an ? 2 ( n ? N ). n ?1 (2) bn ? log2 2 ? n ? 1 ,∴ bn ?1 ? bn ? 1 , {bn } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列,

它的前 n 项和

Sn ?

n(n ? 1) 2 .

17. (13 分)

18. (13 分)解: (1)m=3,n=8 (2)
2 2 S甲 =5.2 , S乙 =2 ,所以两组技工水平基本相当,乙组更稳定些。

(3)基本事件总数有 25 个,事件 A 的对立事件 A 含 5 个基本事件,故 P(A)=

1-

5 4 = 25 5

f ( x ? 1) ?
19. (12 分)解:(1)

x ?1? a ?0 x

①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为: (0,1 ? a ) ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为: x ? ? ③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为: (1 ? a,0)

x ?1 ?1 ? ? ( x ? b)( x ? 1) ? ?1 2 (2)x ? b ( x ? b) (※) 且 x ? ?b , 不等式恒成立, 则 b ? [?2,1] ;
又当 x=-1 时, 不等式 (※) 显然成立; 当 ?1 ? x ? 2 时,

b??

1 1 ? x ? 1? ( ? x ? 1) x ?1 x ?1 ,

故 b>-1.综上所述,b>1 20. (12 分)解: (1) )圆 M: x ? ( y ? 1) ? 25 ,圆心 M(0 , 1) , 半径 r=5,A(0, 11) , 设
2 2

d?
切线的方程为 y=k x+11, 圆心距 为 y ? ? 3x ? 11

10 k2 ?1

?5

, ∴ k ? ? 3 ,所求直线 l1 , l2 的方程
y B A M C O x

(2)当 l1 ⊥l2 时,四边形 MCAB 为正方形, ∴ | AM |? 2 | MB |? 5 2 设 A(a , 11-a), M(0 , 1) 则

a 2 ? (10 ? a ) 2 ? 5 2

a ? 10a ? 25 ? 0
2

∴ a=5
2 2 2

(3)设 ? AB, AC ?? ? ,则 AB ? AC ?| AB | cos2? ?| AB | (1 ? 2sin

?) ,

sin ? ?


r 50 25 ? 50 AB ? AC ? ( AM 2 ? 25)(1 ? ) ? AM 2 ? ? 75 2 | AM | ,故 AM 2 AM 2 ,又圆心 M
∴ AM ? 50 ,
2

到直线 l 的距离是 5 2

AB ? AC ? 50 ?

25 ? 50 ? 75 ? 0 50 ,故点 A 不存在

a ? na1 ,又由 21. (12 分)解: (1)由题意, n
an ? an ?1 ?

an ? an ?1 ?

1 2 a (n ? N * ) 2 n ?1 n 得

1 2 an ?1 n2a1 ? [(n ? 1)a1 ]2 对一切 n ? N * 成立,所以 a1 ? 0 n2 ,即

(2)由

an ? an?1 ? 0 得

an ? an ?1 ?

1 1 1 1 ? ? 2 aa 2 n n ?1 aa a an n n ,两边同除以 n n?1 得 n ?1 ?( 1 1 1 1 ? ) ? 1? 2 ? 2 ? an ?1 an 2 3 ? 1 n2

1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? a an a0 a1 a1 a2 (3) 0
? 1? 1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3 ?

1 1 1 ? 2? a ? (n ? 1)n n ,将 0 2 代入,得 an ? n
1 2 n ?1 n2 a ? a ? a a ? an n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n2 n2 n2 ? n ? 1 ,所以



an?1 ? n ? 1 得

an ? an ?1 ?

an ? an ?1 ?

1 2 1 n2 a ? a ? a ? an n ?1 n ?1 n ?1 n2 n2 n 2 ? n ? 1 ,所以

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 2) an ?1 an n ? n ? 1 n ? n n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? a an a1 a2 a2 a3 从而 1
a0 ?

?(

1 1 1 1 ? )? ? an?1 an 2 n ?1

又由

1 5 1 n?2 1 3 n ?1 n ?1 ? ? ? a1 ? ? an ? n an ? a 6 n ? 1 n ? 1 2得 4 所以 n n ? 2 ,综上, n ? 2 ,从而


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