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2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件:第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


? 双 向 固 基 础 ? 点 面 讲 考 向 ? 多 元 提 能 力 ? 教 师 备 用 题

第19讲 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式

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考试大纲
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和 与差的正弦、两角和与差的正切公式,

体会化归思想的应 用. 3.掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进 行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明. 4.能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公 式,体会化归思想的应用. 5.掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切),能运用它们进 行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明.

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第19讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin α cos β ±cos α sin β . (1) sin(α± β)=__________________________

cos α cos β ?sin α sin β . (2) cos(α± β)=__________________________ tan α ±tan β (3) tan(α± β)=_____________________________. 1?tan α tan β

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

2.公式的逆用及重要变形 cos(α+β) (1)cos α cos β -sin α sin β =__________________ .

tan(α+β)(1-tan α tan β (2)tan α +tan β =________________________ .)

b +b sin(x+φ),其中tan φ =a (3)asin x+bcos x=a __________________________.
2 2

3.角的变换 (2α+β)-β , (α+β)+(α-β)=______________ 2α =______________

(α+β)+(α-β) (α+β)-β α=______________ =______________ 2 .
4.1的变形 2 α +cos2α . 1=sin _____________
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

5.倍角公式 2sin α cos α sin 2α =________________ . cos 2α=________________ cos 2α -sin 2α =__________________ =________________ . 1-2sin 2α 2cos 2α -1
2tan α 1-tan 2α tan 2α =____________ .

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第19讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

6.降幂公式与升幂公式

1+cos 2α 1-cos 2α 2 sin 2α =______________ ,cos 2α =______________ . 2

2cos α 1+cos 2α=____________.1 -cos 2α =____________.

2

2sin2α

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

—— 链接教材 ——
1. sin 75°的值为________.

[答案]

6+ 2 4

[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+ 6+ 2 2 3 2 1 cos 45°sin 30°= 2 ? 2 + 2 ?2= 4 .

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 ?π ? ? π? 3 向 ? ? ? ? 2 .已知 cos α =- , α ∈ ,则 sin , π α + ?2 ? ? ? 的值 固 5 3 ? ? ? ? 基是________. 础
4-3 3 [答案] 10
π 3 4 [解析] cos α =- ,α∈( ,π )∴sin α = ,sin(α 5 2 5 π π π 4 1 3 3 + 3 )=sin α cos 3 +cos α sin 3 =5?2+(-5)? 2 = 4-3 3 10 .
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 3.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于 固 基________. 础
1 [答案] 2
1 [解析] 原式=sin(43°-13°)=sin 30°= . 2

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 3 4.已知sin θ = ,θ为第二象限角,sin 2θ 的值为 固 5 基 础 ________.
24 25

[答案] -

3 4 [解析] sin θ =5,θ 为第二象限角,∴cos θ =-5, 3 4 24 ∴sin 2θ =2sin θ cos θ =2? ?(- )=- . 5 5 25

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.不注意公式的适用范围致误 π π (1)当 α= 2 , β= 4 时, cos(α-β)=cos α +cos β 成立; 若 α, β 为任意角, cos(α-β)=cos α +cos β 也成立. ( ) (2) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对任意角都适 用.( )

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

[答案] (1)? (2)?
π π π 3 [解析] (1)取 α= 2 , β= 3 , 则 cos(α-β)=cos 6 = 2 , 1 cos α +cos β = ,等式不成立. 2 (2)公式 S(α±β)与 C(α±β)对任意角 α, β 均适用, 在公式 T(α±β) 中,要求 tan α ,tan β ,tan(α± β)都有意义,即 α,β,α± β π 都不等于 +kπ (k∈Z). 2

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

2.公式变形中的误区 (1)判断下列各式化简的结果是否正确: ?π ? 1 3 ? ① cos x- sin x=cos? -x? ) ?;( 2 2 3 ? ?
? 1-tan α π? ? ② =tan?α - ? .( 4? 1+tan α ? ?

)

(2)用 tan α 表示 sin 2α ,cos 2α ,得 sin 2α = 2tan α 1+tan2α ,cos 2α = .( 1-tan2α 1-tan2α (3)对任意角 α,有
?π sin? ?4 ?

)
? ? +α?.( ?

? ?π ? ? -α?=cos? 4 ? ?

)

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

[答案] (1)①?

②?

(2)?

(3)√

π π 1 3 [解析] (1)①2cos x- 2 sin x=cos 3 cos x-sin 3 sin x= π cos( 3 +x). π tan 4 -tan α 1-tan α π ② = =tan ( -α) =-tan (α 4 1+tan α π 1+tan 4 tan α π - 4 ).

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 双 向 固 基 础

2sin α cos α 2tan α (2)sin 2 α = 2 = , cos 2 α = sin α +cos2α 1+tan2α cos2α -sin2α 1-tan2α = . sin2α +cos2α 1+tan2α π π π (3)由公式, 有 sin ( 4 -α) =sin 4 cos α -cos 4 sin α π π π 2 = (cos α -sin α ), cos ( +α) =cos cos α-sin sin 2 4 4 4 2 α = 2 (cos α -sin α ),故等式成立.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 探究点一

两角和(差)的正弦、余弦及正切公式

?

(1)[2013· 徐州、宿迁三检] 在△ABC中,已知cos A 点 =4,tan(A-B)=-1,则tan C的值是________. 2 面 5 讲 4 考 (2)[2013· 苏州期末] 已知θ为锐角,sin(θ+15°)= ,则 5 向 cos(2θ-15°)=________.

?

例1

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

4 [思考流程] (1)第一步:根据cos A=5,求出tan A.第二 1 步:根据 tan( A - B ) =- 点 2,求出tan B.第三步:再根据A+B+C 面 =π ,求出tan C. 讲 考 (2)第一步:先确定θ的范围.第二步:算出cos(2θ+30°)的 向 值.第三步:再用和差角公式求解.

11 [答案] (1) 2

17 2 (2) 50

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3 3 [解析] (1)由已知得sin A= ,tan A= ,所以tan B= 5 4

? 点 面 讲 考 向

tan A-tan(A-B) =2,所以tan C=tan[π -(A+B)]=-tan(A 1+tan Atan(A-B) tan A+tan B 11 +B)=- = . 1-tan Atan B 2 4 2 7 (2)由已知得cos(2θ+30°)=1-2? 5 =- 25 .因为θ为锐 4 3 角,且sin(θ+15°)= < ,所以θ+15°<60°,所以θ<45 5 2 24 °,从而可知2θ+30°<120°,因此sin(2θ+30°)= 25 .故 cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)cos45°+ 7 2 24 2 17 2 sin(2θ+30°)sin45°=-25? 2 +25? 2 = 50 .
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

[归纳总结] 本题用三角函数的求值问题考查三角变换 能力和运算能力.在求三角函数值时,必须灵活应用公式, 点 面注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形.

讲 考 向

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π 1 2 变式题 (1)已知tan(α+β)=5,tanβ - 4 =4,则tan(α

?

π 点 + 4 )=________. 面 π π 4 3 讲 (2)已知sinα + 3 +sin α =- 5 ,- 2 <α<0,则 考 向 cos α =________.

3 3-4 3 [答案] (1)22 (2) 10

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[解析]

(1)tanα +

π 4

=tan

? π ? ?(α+β)-β- 4 ?

? ? ? ?



? 点 面 讲 考 向

π tan(α+β)-tanβ - 4 3 =22. π 1+tan(α+β)tanβ - 4

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 点 面 讲 考 向

π π 4 3 (2)因为sinα + 3 +sin α =- 5 ,所以sin α cos 3 + π 4 3 3 3 cos α sin 3 +sin α =- 5 ,化简得2sin α + 2 cos α = π 4 3 3 1 4 4 - 5 ,即 2 sin α +2cos α =-5,即sinα + 6 =-5.又因 π π π π π 为- <α<0,所以- <α+ < ,所以cos(α + )= 2 3 6 6 6 π π π π 3 5.故cos α =cos(α + 6 - 6 )=cos(α + 6 )cos 6 + π π 3 3 4 1 3 3-4 sin(α + 6 )sin 6 =5? 2 -5?2= 10 .

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 点 面 5 讲 5 ,α,β∈(0,π ). 考 (1)求tan(α+β)的值; 向

?

例2

1 [2013· 广东十校一联] 已知tan α =-3,cos β =

(2)求函数f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[思考流程] (1) 条件:给出两个角的正切值和余弦 值.目标:(1)求两角和的正切值,(2)求 f(x)= 2sin(x-α)

? 点 +cos(x+β)的最大值.方法:(1)由 cos β 导出 tan β,利用 面 两角和的正切公式求得结果;(2)求出 α,β 的正余弦值,利 讲 用两角和与差的正余弦公式展开,将 α,β 的正余弦值代入 考 向 表达式,再求最值.
5 2 5 解: (1)由 cos β = 5 , β∈(0, π ), 得 sin β = 5 , tan β =2, 1 - +2 tan α +tan β 3 于是 tan(α+β)= = 2 =1. 1-tan α tan β 1+3
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

1 1 (2)因为 tan α =- ,α∈(0,π ),所以 sin α = , 3 10 3 点 cos α =- 10.

面 讲 考 向

因为 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β) = 2sin xcos α - 2cos xsin α + cos xcos β - sin xsin β , 5 5 2 5 所以 f(x)=- 5 sin x- 5 cos x+ 5 cos x- 5 sin x =- 5sin x,所以 f(x)的最大值为 5. 3 5

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

[ 归纳总结 ] (1) 对公式要会“正用”“逆用”“变形 用”. 点 (2)应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值,其关 面 讲键是熟练掌握公式的特点,准确使用公式. 考 (3)已知三角函数值求角,应根据条件确定角的范围,然 向 后求取值范围内的一个三角函数值,最后由三角函数值求角 的值. (4)常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式结合,综 合考查三角函数求值问题.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点二

二倍角的正弦、余弦及正切

? 点 面 讲 考 向

?

例3 (1)[2013· 四川卷] 设sin 2α =-sin α , ?π ? ? α∈? ,π ? ?,则tan 2α 的值是________. 2 ? ? π 10 (2)[2013· 盐城模拟] 已知cosθ + 4 = 10 ,θ∈0, π π ,则 sin2 θ - 的值为 ________ . 2 4

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)第一步:先根据sin 2α =-sin α ,求出 cos α 的值.第二步:再根据角的范围,求出tan α 或直接求 出角α.第三步:求tan 2α . π 10 (2)第一步:先根据cos(θ + 4 )= 10 ,求出sin(θ + π 4 )的值.第二步:进行已知角和未知角的代换.第三步:用 公式求解.

[答案] (1) 3

2 (2) 10

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[解析] (1)方法一:由sin 2α =-sin α ,得2sin α ?π ? ? cos α =-sin α ,又α∈ ? ,π ? ? ,故sin α ≠0,于是 2 ? ? ? 点 面 1 3 讲 cos α =-2,进而sin α = 2 ,于是tan α =- 3,

考 向

2tan α 2?(- 3) 所以tan 2α = = = 3. 2 1-tan α 1-3
?π ? 1 ? 方法二:同上得cos α =- 2 ,又α∈ ? ,π ? ,可得 ? ?2 ? 2π 4π α= 3 ,所以tan 2α =tan 3 = 3.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π π π 3 (2)由θ∈0, 2 知θ+ 4 ∈ 4 ,4π . π π 10 3 10 又 cos ( θ + )= ,所以 sin ( θ + )= .令θ ? 点 4 10 4 10 面 π 3 10 10 讲 + 4 =α,则sin α = 10 ,cos α = 10 ,所以sin 2α = 考 向 3 4 2 2sin α cos α =5,cos 2α =1-2sin α =-5,故sin(2θ - π π π 3 2 4 )=sin2[(α- 4 )- 4 ]=sin(2α -4π )= 2 (-sin 2α 2 3 4 2 -cos 2α )= 2 ?(-5+5)= 10 .

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[归纳总结] 三角函数化简求值,首先要建立角与角 ? 点 面 的关系,其次需要确定角所在的象限并确定三角函数值 讲 考 的正负.在需要多次使用三角公式的问题中应尽量少用 向 平方关系.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 点 面 讲 考 向

π -α 2 变式题 (1)[2013· 徐州摸底] 已知cos 2 =3,则 cos α =________. 1 1 (2)已知tan α = ,tan β = ,且α,β∈(0,π ),则 7 3 α+2β=________.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

π-α 2 π α 2 α 2 [解析] (1)由cos = 得cos - = ,即sin = .所以 2 3 2 2 3 2 3 点cos α =1-2sin2α =1-2?22=1. 2 3 9 面 讲 1 3 1 3 (2) 因为 tan α = < , tan β = < ,且α,β∈(0,π ),所 考 7 3 3 3 向 1 1 π π 7+3 1 以0<α< 6 ,0<β< 6 .因为tan(α+β)= 1 1 = 2 ,所以tan(α+2β) 1-7?3 1 1 π π π 2+3 = 1 1 =1.又0<α< 6 ,0<β< 6 ,所以0<α+2β< 2 ,所以α+2β 1-2?3 π =4.
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1 [答案] (1)9

π (2) 4

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

探究点三 三角恒等变换

? 点 面 讲 考 向

?

π π 1 4 例4 已知0<α< 2 <β <π ,cosβ -4=3,sin(α+β)=5. (1)求sin 2β 的值; π (2)求cosα + 的值. 4

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 点 面 讲 考 向

[思考流程] 三角函数求值中要注意角的变换,第(1) π 1 π 问中使用cosβ - 4 = 3 及 2 <β <π 通过变换产生2β,然 后再根据具体情况使用诱导公式作进一步的变换.第(2) π π 问要注意到α+ 4 =(α+β)-β- 4 ,并且要注意角的范 围.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

π π π 解:(1)方法一:∵cosβ - 4 =cos 4 cos β +sin 4 sin 点β = 22cos β + 22sin β =1 , 3 面 讲 2 ∴cos β +sin β = , 考 3 向 2 7 2 ∴(cos β +sin β ) =1+sin 2β =9,∴sin 2β =-9. π π 方法二:sin 2β =cos 2 -2β=cos2 4 -β= π 7 2 2cos β - 4 -1=-9.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

π π π 3π π 3π (2)∵0<α< <β <π ,∴ <α + < , <α +β< . 2 4 4 4 2 2 π 1 4 ∵cosβ - 4 =3>0,sin(α+β)=5>0, 点 面 π 讲 ∴sinβ - 4 >0,cos(α+β)<0, 考 π 2 2 3 向 ∴sinβ - 4 = 3 ,cos(α+β)=-5. ? π π π? ? ? ∴cosα + 4 =cos ?(α+β)-β- ? =cos(α+β)cos(β - 4 ) 4? ? π 3 1 4 2 2 8 2-3 +sin(α+β)sin(β- 4 )=-5?3+5? 3 = 15 .

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

? 点 [归纳总结] (1)在三角化简求值时,应该首先从已知角和未 面知角的关系入手,然后建立已知角和未知角的等量关系,再代 讲入公式进行化简. 考 (2)在求角时,一定要结合题中给定的函数值,确认是否对 向
角的范围有影响,如果角的范围能够进一步缩小,则要缩小, 否则结果求得的解中可能有不合题意的解.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

7.忽视隐含条件致误 1 例 (1)已知 sin x+sin y=3,则 sin y-cos2 x 的最大值是 ________. 1 1 (2)已知 tan(A-B)= ,tan B=- ,且 A,B∈(0,π ), 2 7 则 2A-B=________. 1 1 错解 (1)由 sin x+sin y= ,得 sin y= -sin x, 多 3 3 元 1 2 提 2 2 2 因此 sin y-cos x=3-sin x-cos x=sin x-sin x-3= 能 力? 1?2 11 ?sin x- ? - , 2? 12 ? 4 当 sin x=-1 时,sin y-cos2x 有最大值为 . 3
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? 易错究源

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

tan(A-B)+tan B (2)tan A = tan(A - B + B) = = 1-tan(A-B)· tan B 1 1 2-7 1 1 1 = 3 , 所 以 tan(2A - B) = tan(A + A - B) = 1+2?7 + ? 多 tan A+tan(A-B) 3 2 元 = =1. 1 1 1 - tan A ? tan ( A - B ) 提 1-3?2 能 力 π 所以 2A-B= . 4 1 1

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?

1 [错因] (1)当 sin x=-1 时,代入已知 sin x+sin y=3中, 4 会发现 sin y=3,这不可能.这里错误在于没有分析 sin x 的 取值范围. 1 (2)出错的原因是没有根据 tan B=-7,A,B∈(0,π )分 多 元析 B 的范围,也没有分析 A 和 2A 的范围.

提 能 力

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

4 [答案] (1)9

3π (2)- 4

? 多 元 提 能 力

1 1 [解析] (1)由 sin x+sin y=3, 得 sin y=3-sin x, 所以 sin y 1 2 1 2 11 2 2 2 -cos x=3-sin x-cos x=sin x-sin x-3=(sin x-2) -12. 1 1 又 sin x+sin y= , 所以 sin x= -sin y. 而-1≤sin y≤1, 3 3 2 1 2 可知-3≤3-sin y≤1,即-3≤sin x≤1, 2 4 2 所以当 sin x=-3时,sin y-cos x 取得最大值为9.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1 1 - tan(A-B)+tan B 2 7 (2)tan A = tan(A - B + B) = = 1 1 1-tan(A-B)· tan B 1+2?7 tan A+tan(A-B) 1 = , 所以 tan(2A-B)=tan(A+A-B)= = 3 1-tan A?tan(A-B) 1 1 3+2 1 1=1. 1-3?2 π π 1 由 tan A=3,知 tan A<1,所以 0<A< 4 ,得 0<2A< 2 . π 1 而由 tan B=- ,知 B∈( ,π ) ,得-π <2A-B<0, 7 2 3 所以 2A-B=-4π .
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? 多 元 提 能 力

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[备用理由] 例题是公式的综合应用,是对探究点一的 补充.

? 教 师 备 用 题

π π 例【配例1使用】 已知角α∈( 4 , 2 ),且(4cos α -3sin α )· (2cos α -3sin α )=0. π (1)求tan(α + )的值; 4 π (2)求cos( 3 -2α)的值.

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式

?教 师 备 用 题

解:∵(4cos α -3sin α )(2cos α -3sin α )=0, π π 4 4 3 又 α∈( 4 , 2 ) ,∴tan α =3,sin α =5,cos α =5. π 4 tan α +tan 4 π 3+1 (1)tan(α + )= = =-7. 4 4 π 1-tan α tan 4 1-3 7 (2)cos 2α =2cos2α -1=-25,sin 2α =2sin α cos α π π π 24 1 =25,cos( 3 -2α)=cos 3 cos 2α +sin 3 sin 2α =2?(- 7 3 24 24 3-7 . 25)+ 2 ?25= 50
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