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2016闸北高三二模


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峰行数学

上海市闸北区 2016 届高三二模数学试卷
2016.04 一. 填空题 1. 设函数 f ( x ) ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 ),且 f (1) ? 3 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) 的值是

2. 已知集合 A ? {x || x ? 2 |? a} , B ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范 围是 3. 如果复数 z 满足 | z |? 1 且 z ? a ? bi ,其中 a, b ? R ,则 a ? b 的最大值是 4.(理)在直角坐标系 xOy 中,已知三点 A(a,1) 、 B(2, b) 、 C (3, 4) ,若向量 OA 、 OB 在 向量 OC 方向上的投影相同,则 3a ? 4b 的值是 (文) 已知 x 、 y 满足 ? x ? y ? 0
2

??? ?

??? ?

????

?x ? y ? 5 ? 0 ? ? ?x ? 3

,若使得 z ? ax ? y 取最大值的点 ( x, y ) 有无数个,则 a

的值等于 5.(理)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率 是以 a 为首项,2 为公比的等比数列,相应的奖金分别是以 7000 元,5600 元,4200 元,则 参加此次大赛获得奖金的期望是 元

(文)在直角坐标系 xOy 中,已知三点 A(a,1) 、 B(2, b) 、 C (3, 4) ,若向量 OA 、 OB 在 向量 OC 方向上的投影相同,则 3a ? 4b 的值是 6. 已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

??? ?

??? ?

????

???? ???? ? PF1 ? PF2 ,若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的两个焦点, P 为椭圆上一点,且 a2 b2

7. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是 ?A 、 ?B 、 ?C 的对边且 ac ? c 2 ? b 2 ? a 2 ,若 ?ABC 最 大边长是 7 且 sin C ? 2 sin A ,则 ?ABC 最小边的边长为 8.(理)在极坐标系中,曲线 ? ? sin ? ? 2 与 ? sin ? ? 2 的公共点到极点的距离为 (文)设等差数列 {an } 的公差为 d ,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为1 ,则 d ? 9.(理)如图, A 、 B 是直线 l 上两点, AB ? 2 , 两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A 、 B 两点,

C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC 、圆弧 CB
与线段 AB 围成图形面积 S 取值范围是

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? ?x , | x | ?1 ?cos (文)已知函数 f ( x ) ? ? ,则关于 x 的方程 f 2 ( x ) ? 3 f ( x ) ? 2 ? 0 的实根 2 2 ? ? x ? 1, | x | ? 1
的个数是 个

10. (理) 设函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 , 对任意 x ? [ , ?? ) , f ( 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (文)设函数 f ( x ) ? x ? 取值范围是

2 3

x ) ? 4m 2 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) m

1 ,对任意 x ? [1, ??) , f (mx) ? mf ( x ) ? 0 恒成立,则实数 m 的 x

二. 选择题 11. (理) 已知 a 与 b 均为单位向量, 其夹角为 ? , 则命题 P :| a ? b |? 1 是命题 Q : ? ? [ 的( ) B. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 )

?

?

? ?

? 5? , ) 2 6

A. 充分非必要条件 C. 充分且必要条件

(文) 若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是 a, b, c , 则长方体对角线长是 ( A. C.

3(ab ? bc ? ac) 2
ab ? bc ? ac

B. D.

a 2 ? b2 ? c 2 2
a 2 ? b2 ? c2

12. (理)S 、 A 、B 、C 是球 O 表面上的点,SA ? 平面 ABC , AB ? BC ,SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于(
A. 4? B. 3?

) C. 2? D. ?

(文)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 P : | a ? b |? 1 是命题 Q : ? ? [ 的( ) B. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件

?

?

? ?

? 5? , ) 2 6

A. 充分非必要条件 C. 充分且必要条件

13. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n ,an ?1 ? 3Sn ,则下列关于 {an } 的论断 中正确的是( )

A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列 C. 可能是等差数列,但不会是等比数列 D. 可能是等比数列,但不会是等差数列

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三. 解答题

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14.(理)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AB ? 2 , AD ? 1 , AA1 ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动; (1)探求 AE 多长时,直线 D1 E 与平面 AA1 D1 D 成 45°角; (2)点 E 移动为棱 AB 中点时,求点 E 到平面 A1 DC1 的距离;

(文)如图几何体是由一个棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 与一个侧棱长为 2 的正四 棱锥 P ? A1 B1C1 D1 组合而成; (1)求该几何体的主视图的面积; (2)若点 E 是棱 BC 的中点,求异面直线 AE 与 PA1 所成角的大小; (结果用反三角函数表示)

15. 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足

x?2 1 (其中 0 ? x ? a , a 为正常数) ,已知生产该批产品还需投入成本 6( P ? ) 万元 4 P 20 (不含促销费用) ,产品的销售价格定为 (4 ? ) 元/件; P P?
(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?

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16. 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )的周期为 ? ,图像的一个对称中

? , 0) ,将函数 f ( x ) 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将 4 ? 所得到的图像向右平移 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像; 2 (1)求函数 f ( x ) 与 g ( x) 的解析式;
心为 ( ( 2) (理)求证:存在 x0 ? ( 成等差数列; (文)定义:当函数取得最值时,函数图像上对应的点称为函数的最值点,如果函数 y ?

? ? , ) ,使得 f ( x0 ) 、 g ( x0 ) 、 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 能按照某种顺序 6 4

?x 2 2 2 的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆 x ? y ? k (k ? 0) k 的内部或圆周上,求 k 的取值范围;
F ( x ) ? 3 sin

17. 若动点 M 到定点 A(0,1) 与定直线 l : y ? 3 的距离之和为 4; (1)求点 M 的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图; ( 2) (理)记(1)得到的轨迹为曲线 C ,问曲线 C 上关于点 B(0, t ) ( t ? R )对称的不同 点有几对?请说明理由; (文)记(1)得到的轨迹为曲线 C ,若曲线 C 上恰有三对不同的点关于点 B(0, t )(t ? R) 对 称,求 t 的取值范围;

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n(n ? 1) ; 2

18. 已知数列 {an } , S n 为其前 n 项的和,满足 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2) 设数列 {

1 * } 的前 n 项和为 Tn , 数列 {Tn } 的前 n 项和为 R , 求证: 当 n ? 2 ,n ? N 时, an Rn ?1 ? n(Tn ? 1) ;
m n 1 ) ? ( ) m ,其中 m ? 1, 2,..., n ,求满足 n?3 2

( 3) (理)已知当 n ? N * ,且 n ? 6 时有 (1 ?

3n ? 4n ? ... ? (n ? 2)n ? (an ? 3)an 的所有 n 的值;
(文)若函数 f ( x ) ?

1 的定义域为 R ,并且 lim f (an ) ? 0 ( n ? N * ) ,求证: qx n ?? ( p ? 1) ? 3 ? 1

p ? q ? 1;

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参考答案
一. 填空题 1. 12 2. a ? 3 3. 6. 3

2

4.(理)2(文) ?1 7. 1 8.(理)1 ? 3 (文) ?

5.(理) 5000 (文)2 9.(理) (0, 2 ?

1 2

? ] (文)5 2

10.(理) m ? ?

3 3 或m ? (文) m ? ?1 2 2

二. 选择题 11.(理)B(文)B 12.(理)A(文)B 13. C

三. 解答题 14.(理) (1) AE ? 15.(1) y ? 19 ? (2)1; (文) (1) 2 ? 4 ; (2) arccos 2;

3 5; 10

24 3 ? x ,0 ? x ? a ; (2)当 a ? 2 时, 促销费用投入 2 万元,厂家的 x?2 2

利润最大;当 0 ? a ? 2 时促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大; 16.(1) f ( x ) ? cos 2 x , g ( x ) ? sin x ; (2) (理)略; (文) k ? 2 ; 17.(1) x ? ?
2

?4 y , y ? 3 ; (2) (理)当 t ? 0 或 t ? 4 ,不存在;当 t ? (0, 2) , ??12( y ? 4), y ? 3

1 对;当 t ? 2 ,2 对;当 t ? (2,3) ,3 对;当 t ? [3, 4) ,4 对; (文) 2 ? t ? 3 ; 18.(1) an ? n ; (2)略; (3) (理) n ? 2 或 n ? 3 ; (文)略;

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