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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题(国际班)(新)


七中实验高二(下)国际班期中考试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 2 1.若命题 p:? x∈R,2x ﹣1>0,则该命题的否定是( ) 2 2 2 2 A.? x∈R,2x ﹣1<0 B.? x∈R,2x ﹣1≤0 C.? x∈R,2x ﹣1≤0 D.? x∈R,2x ﹣1>0 2 2.不等式 x ﹣2x﹣5>2x 的解集是( )

A.{x|x≥5 或 x≤﹣1} B.{x|x>5 或 x<﹣1} C.{x|﹣1<x<5} D.{x|﹣1≤x≤5} 3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 4.已知 M(﹣2,0) 、N(2,0) ,|PM|﹣|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 2 2 5.“mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 a,b∈R,下列命题正确的是( ) A.若 a>b,则|a|>|b|
2 2

B.若 a>b,则
2 2

C.若|a|>b,则 a >b D.若 a>|b|,则 a >b 7. 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示, 则这组数据的中位数和平均数分别是 (



A.91.5 和 91.5 8.已知椭圆 +

B.91.5 和 92 =1 与双曲线 ﹣

C.91 和 91.5

D.92 和 92 )

=1 有相同的焦点,则动点 P(n,m)的轨迹(

A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分 9.已知 x 与 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+ 必过点( A. (2,2) B. (1.5,4) 10.已知直线 y=kx+1 与椭圆 A.m≥1 B.m≥1 或 0<m<1 C. (1.5,0) + ) D. (1,2) )

=1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围为(

C.m≥1 且 m≠5 D.0<m<5 且 m≠1

11.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 和为 12,则椭圆 G 的方程为( A. + =1 B. + =1 ) C. + =1 D. +

,且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之

=1
1

12.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 标为﹣ ,则此双曲线的方程是( )

,0) ,直线 y=x﹣1 与其相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.如果椭圆 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 .

14.运行下面的程序,如果输入的 n 是 6,那么输出的 p 是

15.一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过,其中 AD= ,DC=2,BC=1,它可能随机在 草原上任何一处(点) ,若落在扇形沼泽区域 ADE 以外丹顶鹤能生还,则该丹顶鹤生还的概率是 .

16.方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是 (填上所有正确命题的序号) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心

率的 2 倍,求双曲线的方程.

2

18.命题 p:关于 x 的不等式 x +(a﹣1)x+a ≤0 的解集为?,命题 q:函数 y=(2a ﹣a) 为增函数.若 p ∨q 为真,p∧q 为假,求 a 的取值范围.

2

2

2

x

19.数数列{an}是首项为 1 的等差数列,且公差不为零.a1,a2,a6 成等比. (1)求数列{an}的公差及通项公式 an; (2)若数列{bn}满足 b1=a1,b2=a2, 且 b1+b2+?+bk=85,求正整数 k 的值.

20.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的 分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) , [70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得 分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到市政广场参加 环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 2 名同学来自不同组的概率.

3

21.已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,﹣b)和 B(a,0)的直线与原点的距

离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

4

七中实验高二(下)国际班期中考试 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 2 1.若命题 p:? x∈R,2x ﹣1>0,则该命题的否定是( ) 2 2 2 2 A.? x∈R,2x ﹣1<0 B.? x∈R,2x ﹣1≤0 C.? x∈R,2x ﹣1≤0 D.? x∈R,2x ﹣1>0 【分析】根据命题否定的定义进行求解,注意对关键词“任意”的否定; 2 【解答】解:命题 p:? x∈R,2x ﹣1>0, 2 则其否命题为:? x∈R,2x ﹣1≤0, 故选 C; 【点评】此题主要考查命题否定的定义,是一道基础题; 2.不等式 x ﹣2x﹣5>2x 的解集是( ) A.{x|x≥5 或 x≤﹣1} B.{x|x>5 或 x<﹣1} C.{x|﹣1<x<5} D.{x|﹣1≤x≤5} 【分析】将不等式转化为一元二次不等式,利用因式分解法,可求得结论. 2 2 【解答】解:不等式 x ﹣2x﹣5>2x?x ﹣4x﹣5>0?(x﹣5) (x+1)>0? x>5 或 x<﹣1, 故选 B. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,求解的关键在于求出对应方程的根,能用因式分解法的就用 因式分解法. 3.在等差数列{an}中,已知 a 4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176 【分析】根据等差数列的 定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16,再由 S11= 【解答】解:∵在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16, ∴a1+a11=a4+a8=16, ∴S11= =88, )
2

运算求得结果.

故选 B. 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式的应用,属于中档题. 4.已知 M(﹣2,0) 、N(2,0) ,|PM|﹣|PN| =4,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 【分析】 由于动点 P 满足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|, 那么不符合双曲线的定义 (定义要求||PM|﹣|PN||<|MN|) , 则利用几何性质易得 答案. 【解答】解:因为|MN|=4,且|PM|﹣|PN|=4, 所以动点 P 的轨迹是一条射线. 故选 C. 【点评】本题考查双曲线定义. 5.“mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2



5

【分析】根据充分必要条件的定义进行 判断:若 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q, 则 p 是 q 的充分必要条件. 【解答】解: (1)mn<0?m>0,n<0 或 m<0,n>0. 2 2 若 m>0,n<0,则方程 mx +ny =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线; 2 2 若 m<0,n>0,则方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线; 2 2 所以由 mn<0 不能推出方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,即不充分. 2 2 (2)若方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m<0,n>0,所以 mn<0,即必要. 2 2 综上,“mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的必要不充分条件. 故选 B. 2 2 【点评】本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断,关键在于掌握二元二次方程 mx +ny =1 表示 双曲线条件. 6.已知 a,b∈R,下列命 题正确的是( A.若 a>b,则|a|>|b|
2 2



B.若 a>b,则
2 2

C.若|a|>b,则 a >b D.若 a>|b|,则 a >b 【分析】对于错误的情况,只需举出反例,而对于 C,D 需应用同向正的不 等式两边平方后不等号方向不 变这一结论. 【解答】解:A.错误,比如 3>﹣4,便得不到|3|>|﹣4|; B.错误,比如 3>﹣4,便得不到
2


2

C.错误,比如|3|>﹣4,得不到 3 >(﹣4) ; 2 2 D.正确,a>|b|,则 a>0,根据不等式的性质即可得到 a >b . 故选 D. 【点评】考查若 a>b,对 a,b 求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定,而只有对于同向正的或非负的 不等式两边同时平方后不等号方向不变. 7. 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示, 则 这组数据的中位数和平均数分别是 ( )

A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C.91 和 91.5 D.92 和 92 【分析】根据茎叶图写出这组数据,把数据按照从大到小排列,最中间的一个或最中间两个数字的平均数 就是中位数,平均数只要代入平均数的公式得到结果. 【解答】解:由茎叶图可知:这组数据为 87,89,90,91,92,93,94,96, 所以其中位数为 =91.5,

平均数为 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5, 故选 A. 【点评】本题考查茎叶图的基础知识,考查同学们的识图能力,考查中位数与平均数的求法.在求中位数 时,首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列,找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为 所求.

6

8.已知椭圆

+

=1 与双曲线



=1 有相同的焦点,则动点 P(n,m)的轨迹(



A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分 【分析】由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标,进而根据有相同的焦点,建立等式求得 m 和 n 的关系即可. 【解答】解:∵椭圆 + =1 与双曲线 ﹣ =1 有相同的焦点,

∴9﹣n=4+m,即 m+n﹣5=0(0<n<9)这是直线的一部分, 故选:D. 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征的简单性质,属基础题.解答的关键是对圆锥曲线的定义与 标准方程的正确理解. 9.已知 x 与 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+ 必过点( )

A. (2,2) B. (1.5,4) C. (1.5,0) D. (1, 2) 【分析】先分别计算平均数,可得样本中心点,利用线性回归方程必过样本中心点,即可得到结论. 【解答】解:由题意, = (0+1+2+3)=1.5, = (1+3+5+7)=4

∴x 与 y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4) 故选:B. 【点评】本题考查线性回归方程,解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点.

10.已知直线 y=kx+1 与椭圆

+

=1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围为(



A.m≥1 B.m≥1 或 0<m<1 C.m≥1 且 m≠5 D.0<m<5 且 m≠1 【分析】通过联立直线与椭圆方程,利用根的判别式大于等于 0 计算即得结论. 【解答】解:由题可知:m≠5,

联立

,恒有公共点要求△≥0 对 k∈R 恒成立,

∴△=100k ﹣4(m+5k ) (5﹣5m)≥0, 整理可得
2

2

2

, ,

由于 k 的最小值为 0,所以

即 m≥1 且 m≠5, 故选:C. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题.
7

11.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 和为 12,则椭圆 G 的方程为( A. + =1 B. + =1 ) C. + =1 D. +

,且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之

=1

【分析】设椭圆 G 的方程为

+

=1(a>b>0) ,根据椭圆的定义得 2a=12,算出 a=6.再由离心率的公
2

式建立关于 a、b 的等式,化简为关于 b 的方程解出 b =9,即可得出椭圆 G 的方程. 【解答】解:设椭圆 G 的方程为 + =1(a>b>0) ,

∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12, ∴根据椭圆的定义得 2a=12,可得 a=6 . 又∵椭圆的离心率为 ,∴e= = ,



=

,解之得 b =9,

2

由此可得椭圆 G 的方程为

=1.

故选:C 【点评】本题给出椭圆 G 满足的条件,求椭圆 G 的标准方程.着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几 何性质等知识,属于基础题. 12.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 标为﹣ ,则此双曲线的方程是( ) ,0) ,直线 y=x﹣1 与其相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

【分析】先设出双曲线的方 程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次方程,再根据韦达定理及 2 2 2 MN 中点的横坐标可得 a、b 的一个方程,又双曲线中有 c =a +b ,则另得 a、b 的一个方程,最后解 a、b 的 方程组即得双曲线方程. 【解答】解:设双曲线方程为 ﹣ =1.

将 y=x﹣1 代入



=1,整理得(b ﹣a )x +2a x﹣a ﹣a b =0.

2

2

2

2

2

2 2

由韦达定理得 x1+x2=

,则

=

=﹣ .

8

又 c =a +b =7,解得 a =2,b =5, 所以双曲线的方程是 .

2

2

2

2

2

故选 D. 【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题,同时考查双曲线的标准方程与性质等.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.如果椭圆 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 x+2y﹣8=0 .
2 2 2 2

【分析】若设弦的端点为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,代入椭圆方程得 9x1 +36y1 =36×9①,9x2 +36y2 =36×9②; 作差①﹣②,并由中点坐标公式,可得直线斜率 k,从而求出弦所在的直线方程. 【解答】解:设弦的端点为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 代入椭圆方程,得 2 2 9x1 +36y1 =36×9①, 2 2 9x2 +36y2 =36×9②; ①﹣②得 9(x1+x2) (x1﹣x2)+36(y1+y2) (y1﹣y2)=0; 由中点坐标 =4, =2,

代入上式,得 36(x1﹣x2)+72(y1﹣y2)=0, ∴直线斜率为 k= =﹣ ,

所求弦的直线方程为:y﹣2=﹣ (x﹣4) , 即 x+2y﹣8=0. 故答案为:x+2y﹣8=0. 【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式,通过作差的方法,求得直线斜率 k 的应用模型,属于基 础题目. 14.运行下面的程序,如果输入的 n 是 6,那么输出的 p 是 720

9

【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 p 的值,模拟程序的运 行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 k=1 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,p=1,k=2; 当 k=2 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,p=2,k=3; 当 k=3 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,p=6,k=4; 当 k=4 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,p=24,k=5; 当 k=5 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,p=120,k=6; 当 k=6 时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,p=720,k=7; 当 k=7 时,不满足进行循环的条 件, 故输出的 p 值为:720, 故答案为:720 【点评】本题考查的知识点是程序语句,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 15.一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过,其中 AD= ,DC=2,BC=1,它可能随机在 .

草原上任何一 处 (点) , 若落在扇形沼泽区域 ADE 以外丹顶鹤能生还, 则该丹顶鹤生还的概率是 1﹣

【分析】由三角形和梯形的知识可得梯形的面积,进而可得扇形的面积,由几何概型的概率公式可得. 【解答】解: (如图)作 DF⊥AB 交 AB 于 F,则 DF=BC=1, 由勾股定理可得 AF= =1,∠DAE=45°,

∴直角梯形 ABCD 的面积 S= (AB+CD)?BC = (1+2+2)×1= , ×π × = ﹣ ,

在扇形沼泽区域 ADE 以外的面积 S′= ﹣

∴所求概率 P=

=1﹣



故答案为:1﹣



【点评】本题考查几何概型,涉及梯形和 扇形的面积公式,属基础题.

10

16.方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是 ②④ (填上所有正确命题的序号) . 【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出 t 的范围判断出①错,据双曲线方程的特点列出不等式求 出 t 的范围,判断出②对;据圆方程的特点列出方程求出 t 的值,判断出③错;据双曲线方程的特点列出不等 式求出 t 的范围,判断出④对. 【解答】解:①若 C 为椭圆应该满足 即 2<t<4 且 t≠3,故①错;

②若 C 为双曲线应该满足(4﹣ t) (t﹣2)<0 即 t>4 或 t<2 故②对; ③当 4﹣t=t﹣2 即 t=3 表示圆,故③错; ④若 C 表示双曲线,且焦点在 y 轴上应该满足 t﹣2>0,t﹣4>0 则 t>4,故④对 综上知②④正确 故答案为②④. 【点评】 椭圆方程的形式: 焦点在 x 轴时 , 焦点在 y 轴时 ;

双曲线的方程形式:焦点在 x 轴时

;焦点在 y 轴时

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心

率的 2 倍,求双曲线的方程. 【分析】由椭圆方程求出椭圆离心率,则双曲线离心率可求,再结合双曲线与已知椭圆有相同焦点,联立 求出双曲线的实半轴和虚半轴长,则双曲线方程可求; 【解答】解:由椭圆 ,得 a′ =16,b′ =9,c′ =a′ ﹣b′ =7,
2 2 2 2 2

∴a′=4,c′=

,故椭圆离心率为 e1=



∵双曲线与椭圆

有相同焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的 2 倍,

∴双曲线的两焦点为 F1(﹣ ∴a=2,b =c ﹣a =7﹣4=3.
2 2 2

,0) ,F2(

,0) ,离心率 e2=



11

故双曲线的方程为



【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质,考查了椭圆方程与双曲线方程的求法,训练了定义法在解题 中的应用,是中档题.

18.命题 p:关于 x 的不等式 x +(a﹣1)x+a ≤0 的解集为?,命题 q:函数 y=(2a ﹣a) 为增函数.若 p ∨q 为真,p∧q 为假,求 a 的取值范围. 【分析】求出命题 p,q 为真命题的等价条件,结合复合命题之间的关系进行求解即可. 【解答】解:p 为真时,△=(a﹣1) ﹣4a <0,即 a> 或 a <﹣1. q 为真时,2a ﹣a>1,即 a>1 或 a<﹣ . 若 p∨q 为真,p∧q 为假, 则 p、q 中有且只有一个是真命题,有两种情况: p 真 q 假时, <a≤1, p 假 q 真时,﹣1≤a<﹣ , ∴p、q 中有且只有一个真命题时,a 的取值范围为{a| <a≤1 或﹣1≤a<﹣ }. 【点评】本题主要考查复合命题之间的应用,求出命题的等价关系是解决本题的关键.
2 2 2

2

2

2

x

19.数数列{an}是首项为 1 的等差数列,且公差不为零.a1,a2,a6 成等比. (1)求数列{an}的公差及通项公式 an; (2)若数列{bn}满足 b1=a1,b2=a2,且 b1+b2+?+bk=85,求正整数 k 的值. 【分析】 (1)设出等差数列的公差,由 a1,a2,a6 成等比求得公差,则等差数列的通项公式可求; (2)求出 b1,利用 b1+b2+?+bk=85 得到含有 k 的表达式,由此求得 k 的值. 【解答】解: (1)设数列{an}的公差为 d, ∵a1,a2 ,a6 成等比数列,∴ ∴(1+d) =1×(1+5d) ,则 d =3d, ∵d≠0,∴d=3, ∴an=1+(n﹣1)×3=3n﹣2; (2)b1=a1=3×1﹣2=1,公比 q= ,
2 2









,即 4 =256,解得:k=4.
12

k

【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,考查了等比数列的前 n 项和,是基础 题. 20.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的 分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) , [70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得 分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到市政广场参加 环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 2 名同学来自不同组的概率. 【分析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图的性质求得样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a,b,c,d,e,分数在[90,100)有 2 人,分别 记为 F,G,用列举法求得所有的抽法有 21 种,而满足条件的抽法有 10 种,由此求得所求事件的概率. 【解答】解析: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 , ,

x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a,b,c,d,e, 分数在[90,100)有 2 人,分别记为 F,G. 从竞赛成 绩是 8(0 分)以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有如下种情形: (a,b) , (a,c) , (a, d) , (a,e) , (a,F) , (a,G) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,F) , (b,G) , (c,d) , (c,e) , (c,F) , (c,G) , (d,e) , (d,F) , (d,G) , (e,F) , (e,G) , (F,G) ,共有 21 个基本事件; 其中符合“抽取的 2 名同学来自不同组”的基本事件有(a,F) , (a,G) , (b,F) , (b,G) , (c,F) , (c,G) , (d,F) , (d,G) , (e,F) , (e,G) ,共 10 个, 所以抽取的 2 名同学来自不同组的概率 . (12 分)

【点评】本题主要考查等可能事件的概率,频率分布直方图的应用,属于中档题.

21.已知椭圆

的离心率

,过点 A(0,﹣b)和 B(a,0)的直线与原点的距

离为



(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

13

【分析】 (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:

,由此能求出椭圆的方程.

(2)假设存在这样的值.

,得(1+3k )x +12kx+9=0,再由根的判别式和根与系数的关

2

2

系进行求解. 【解答】解: (1)直线 A B 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,

依题意可得:



解得:a =3,b=1, ∴椭圆的方程为 (2)假设存在这样的值. , 得(1+3k )x +12kx+9=0, 2 2 ∴△=(12k) ﹣36(1+3k )>0?①, 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,
2 2

2





而 y1?y2=(kx1+2) (kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4, 要使以 CD 为直径的圆过点 E(﹣1,0) , 当且仅当 CE⊥DE 时, 则 y1y2+(x1+1) (x2+1)=0, 2 ∴(k +1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0?③ 将②代入③整理得 k= , 经验证 k= 使得①成立综上可知,存在 k= 使得以 CD 为直径的圆过点 E. 【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化.

2

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