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高中数学人教A版必修5课件:2.2.1 等差数列


2.2 等差数列

第1课时 等差数列

1.理解等差数列的概念,明确“同一个常数”的含义. 2.掌握等差数列的通项公式及其应用. 3.会判定或证明等差数列;了解等差数列与一次函数的关系.

1

2

1.对等差数列定义的理解 剖析:(1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一个常 数”. ①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项 与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列. ②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数, 但这个数列也不一定是等差数列.这是因为这些常数可能不相同, 必须是同一个常数,才是等差数列. ③等差数列中至少有三项. (2)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差,不可颠 倒,即d=an+1-an=an-an-1=…=a3-a2=a2-a1. (3)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后,发现它们是同一个常 数,就断言此数列为等差数列.

1

2

2.对等差数列通项公式的理解 剖析:(1)从函数的角度看等差数列的通项公式. 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),如果设 p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一 次函数,即(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,因此从图象上看,表示 等差数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上. 所以公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开 的一群孤立的点. 当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴 的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点.

1

2

(2)已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差 数列的通项公式,则可以写出数列中的任意一项. (3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数,即 a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第 四个数,这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

求等差数列的通项公式

【例1】 若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an. 分析:先求出a1,d,然后求an.

解:设等差数列{an}的公差为 d, 15 = 1 + 14 = 8, 由题意,知 60 = 1 + 59 = 20, 解得 1 = =
64 , 15 4 , 15

故 an=a1+(n-1)d=

64 4 + (n-1) × 15 15

=

4 15

+ 4.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思

一般地,可由 am=a,an=b,得

1 + (-1) = , 1 + (-1) = ,

求出 a1 和 d,从而确定通项公式.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 已知数列{an}为等差数列,根据条件写出它的通 项公式:a3=5,a7=13. 解:设首项为 a1,公差为 d,则 3 = 1 + 2 = 5, = 1, 解得 1 7 = 1 + 6 = 13, = 2. 故 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

等差数列的判定与证明
4
-1

【例 2】 已知数列{an}满足 a1=4,an=4 ? (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

(n>1),记 bn=

1 . -2

分析:(1)作差 bn+1-bn,并把 an+1=4 ? 代入,得差为常数即可;(2)


4

先根据(1)求出 bn,再求出 an.

题型一

题型二

题型三

题型四

(1)证明:bn+1-bn=
1 -2

1 +1 -2

?

1 -2

=

1 4- -2
4

?

1 -2

=

? 2( -2)

=

-2 2( -2)

= 2.
1 1 -2

1

又 b1 =

= ,

1 2

1 1 ∴数列{bn}是首项为 2 , 公差为 2 的等差数列. 1 1 1 (2)解:由(1)知 bn= 2 + (n-1) × 2 = 2 . 1 1 2 ∵bn= , ∴an= + 2 = + 2. -2

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 已知数列{an}的通项公式an=f(n),用定义判断或证明{an}是 等差数列的步骤: (1)利用通项公式an=f(n)写出an+1=f(n+1)(或an-1=f(n-1),n≥2); (2)作差an+1-an(或an-an-1),将差变形; (3)当差an+1-an(或an-an-1)是一个与n无关的常数时,数列{an}是等 差数列;当差an+1-an(或an-an-1)不是常数,是与n有关的代数式时,数列 {an}不是等差数列.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 已知数列{an}满足 a1=2,an+1 = (1)数列 是否为等差数列? 请说明理由; (2)求 an.
1

2 . +2

解:(1)数列

1

是等差数列.理由如下:
2 , +2

∵a1=2,an+1 =

即 是首项为 = 2 , 公差为d= 2 的等差数列. 1 (2)由(1)可知 = + (n-1)d= 2 , 故an= . 1
1 1 2

1

+ 2 1 1 1 1 1 ∴ = = + ,∴ ? = , +1 2 2 +1 2
1 1 1

1

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

实际应用问题

【例3】 梯子的最高一级宽为33 cm,最低一级宽为110 cm,中间 还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度. 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差 数列的公差.又梯子的级数是12,因此,该问题相当于已知等差数列 的首项、末项及项数求公差.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:设梯子的第n级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列 {an}是等差数列. 由题意,得a1=33,a12=110,n=12, 则a12=a1+11d, 所以110=33+11d,解得d=7. 所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103, 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 反思 解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学 模型是已知等差数列的首项和末项及项数,求各项.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从 第2年起,由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万 元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪 一年起,该公司经销这一产品将出现亏损? 解:由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=20(n≥2,n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差 d=-20, 所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220. 若an<0,则该公司经销这一产品将出现亏损, 由an=-20n+220<0,解得n>11, 即从第12年起,该公司经销这一产品将出现亏损.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点:对等差数列的定义理解不透致错 【例4】 若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n(n∈N*),求证:数列 {an}为等差数列. 错解:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2, 所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2, 则a2-a1=a3-a2,故数列{an}为等差数列. 错因分析:a3-a2=a2-a1=常数,不能满足等差数列的定义中“从第2 项起,每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求.

题型一

题型二

题型三

题型四

正解:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以an+1=10+(n+1)lg 2. 所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).它是一个与 n无关的常数. 所以数列{an}为等差数列. 反思 要说明一个数列为等差数列,必须说明从第2项起所有的项 与其前一项之差为同一常数,即an+1-an=d或an-an-1=d(n≥2)恒成立, 而不能只验证有限个相邻两项之差相等.


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