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浅谈二次函数在高中阶段的应用


浅谈二次函数在高中阶段的应用
庐山中学 潘峰

在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限 制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段, 要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需 再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学 习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二 次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合 A(定义域)到集合 B(值域)上的 映射?:A→B, 使得集合 B 中的元素 y=ax +bx+c(a≠0)与集合 A 的元素 X 对应, 记为?(x)= ax + bx+c(a ≠0)这里 ax +bx+c 表示对应法则,又表示定义域中的元素 X 在值域中的象,从而使学生对函数的概 念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题: 类型 I:已知?(x)= 2x +x+2,求?(x+1) 这里不能把?(x+1)理解为 x=x+1 时的函数值,只能理解为自变量为 x+1 的函数值。 类型Ⅱ:设?(x+1)=x -4x+1,求?(x) 这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素 x+1 的象是 x -4x+1,求定义域中元素 X 的象,其本质是求对应法则。 一般有两种方法: (1)把所给表达式表示成 x+1 的多项式。 ?(x+1)=x -4x+1=(x+1) -6(x+1)+6,再用 x 代 x+1 得?(x)=x -6x+6 (2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。 令 t=x+1,则 x=t-1 ∴(t)=(t-1) -4(t-1)+1=t -6t+6 从而?(x)= x -6x+6 二、二次函数的单调性,最值与图象 b b 2 在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数 y=ax +bx+c 在区间 (-∞, - ]及[- , 2a 2a +∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一 步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数 有关的一些函数单调性。
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。 (1)y=x +2|x-1|-1 (2)y=|x -1| (3)= x +2|x|-1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函 数去表示,然后画出其图象。 类型Ⅳ设?(x)=x -2x-1 在区间[t,t+1]上的最小值是 g(t)。 求:g(t)并画出 y=g(t)的图象 解:?(x)=x -2x-1=(x-1) -2,在 x=1 时取最小值-2 当 1∈[t,t+1]即 0≤t≤1,g(t)=-2 当 t>1 时,g(t)=?(t)=t -2t-1 当 t<0 时,g(t)=?(t+1)=t -2 t -2, (t<0) g(t)= -2,(0≤t≤1) t -2t-1, (t>1) 首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合 R 上或是只有最小值或是只有最 大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。 如:y=3x -5x+6(-3≤x≤-1) ,求该函数的值域。 三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维: 1 2 类型Ⅴ:设二次函数?(x)=ax +bx+c(a>0)方程?(x)-x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2< 。 a (Ⅰ)当 X∈(0,x1)时,证明 X<?(x)<x1。 (Ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明 x0< 解题思路: 本题要证明的是 x<?(x),?(x)<x1 和 x0< x 2 ,由题中所提供的信息可以联想到:①?(x)=x,说
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x 。 2

明抛物线与直线 y=x 在第一象限内有两个不同的交点;②方程?(x)-x=0 可变为 ax +(b-1)x+1=0, 它的两根为 x1,x2, 可得到 x1,x2 与 a.b.c 之间的关系式, 因此解题思路明显有三条①图象法②利用一 元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路②为例 解决这道题:
2

(Ⅰ)先证明 x<?(x),令?(x)=?(x)-x,因为 x1,x2 是方程?(x)-x=0 的根,?(x)=ax +bx+c,所以 能?(x)=a(x-x1)(x-x2) 因为 0<x1<x2,所以,当 x∈(0,x1)时, x-x1<0, x-x2<0 得(x-x1) (x-x2)>0,又 a>0,因此?(x) >0,即?(x)-x>0.至此,证得 x<?(x) 根据韦达定理,有 c x1x2= a

2

1 ∵ 0<x1<x2< ,c=ax1x2<x=?(x1), a 又 c=?(0),∴?(0)<?(x1), 根据二次函数的性质,曲线 y=?(x)是开口向上的抛物线,因此,函 数 y=?(x)在闭区间[0,x1]上的最大值在边界点 x=0 或 x=x1 处达到,而且不可能在区间的内部达到, 由于?(x1)>?(0),所以当 x∈(0,x1)时?(x)<?(x1)=x1, 即 x<?(x)<x1 (Ⅱ) ∵?(x)=ax +bx+c=a(x+
2

2 b 2 ) +(c- b ),(a>0) 4a 2a

函数?(x)的图象的对称轴为直线 x=-

b b ,且是唯一的一条对称轴, 因此, 依题意, x0=- , 得 2a 2a

b-1 1 2 因为 x1,x2 是二次方程 ax +(b-1)x+c=0 的根,根据违达定理得,x1+x2=- ,∵x2- <0, a a b 1 1 x x ∴x0=- = (x1+x2- )< ,即 x0= 。 2a 2 a 2 2 二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学 生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思 想方法解决数学问题的能力。 二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面 知识,使我们对它的研究更深入。

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