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数学奥林匹克高中训练题(17)


1  0

中 等 数 学 

羧 孥 游  窘鑫 铡掀  (       1) 7
第 一 试 




填 空题 ( 小题 7分 , 5 分 ) 每 共 6  

5 三 脚 架 的 蔓 只脚 各 长 5 两 两 的夹 角  . , 彼此 相等且 固定

. 它立 在地 面上 时 , 将 顶端 距  地面 的高度 为 4 后来 一 只脚损 坏 , 部截  . 底 长度 1再立 在地 面 _时 , 端距 地 面的 高度  . 卜 顶
变为一— — .   6 已知 S 为 数列 {  的f .   n i 订凡项 和 ,  
a=(   1 , S ,) b=( ,a +   ) n 一 . 一12   2 , 』 b 

1 已知 函数 , )   I — l . ‘ =     ( ( l  ∈R) 贝  .4

不等式 

)   的解集 为 >1

.  
— —

2从 等差 数 列 2 5 8 1 , 中取 k项 , . , , ,1 …  

使其倒数和为 1则 k的最小值是— — . .   3 平 面直 角 坐标 系 中 , 个 圆有 公共 点  . 两 ( ,) 都 与  轴 相 切 , 们 的半 径 之 积 为  96且 它
6. 8 如果它们 的 另一条外 公切线 也 过原 点 , 则 
它的斜 率 为 
r 2x    

若 6    =

n , 存 在 , , 于 任   且 {对 c J

意的 k k ( ∈N+ , 等 式 7≤ b 立 . n )不 J  成   则  
的值 为一 — . —   7 若 n、 c 是整 数 ( <c<9 ) 且 使  . b、 均 0 0, 得 ,9-8i 5  ̄ / ' s  0 :Ⅱ+bi .. ± 的值是  n s o则    n(

.  
1  

4 已知  ( 。Y ) B( ,   是 函数  . x , . 、  : Y )

fx : ()

{ ≠; 【      
_l ’   =  

8 将 4个相 同的红球 和 4个 卡 同 的蓝球  . } { 排成 一行 , 左 至 右依 次对 应 序  1 2 … , 从 ,,   8 若 同色球 之 l  加  分 , 4个 红 球 对应  . 1 = 1 j 则 序 号之 和小 于 4个蓝球 对应 序  之 和 的排列  中增加 了梯形 P A 在 图 ( , ) B D, 2 4 中增 加 了梯  形 P D 在 图( ,) : J , 形 P A   A C, 34 q  ̄ J 梯 , H了 B C. i 若增 加红点 Q, i ) 则在 图 (,) 12 中增加 了  梯形 Q B 在 图 ( , ) D C, 13 中增 加 了梯形 Q4 D, .   C 在 图 ( ,) 14 中增 加 了梯 形 Q C 在 图 ( , ) B D, 2 3  中增 加 了梯 形  B 在 图 ( ,) C, 2 4 中增加 了梯  形 Q A 在  ( .) C B, 34 中增 加 了梯 形 QtO. /   B 而据 ( ) 新增 红点 必在新 增梯形 的一 对  1, 全等 三角形 中两 次 出现 , 就 是增 加 了一 对  也 新 的全等 三角形 .   因此 , 出的五 个红点 中 , 给 存在 六个 以红  点 为顶点 的三角形 , 它们 可配 成全 等的三 对 .   故 本题 得 证 .   ( 陶平 生  江 西科 技 师 范学 院数 学 与计  算机科 学 系,30 3  30 1 )

的图像上 的任意 两点 ( 以重合 ) 点  在 直  可 , 线  = 1  


t, 2 且 

:  

. y +Y 则 。 2的值 为 

以下 用梯形 两底 的刻 度对表示 相应 的梯 
形图.  

据 () , 1知 每个 等腰梯 形 中都 存在 两对 全 
等三 角形 .   再 考虑 第五 个红点 .  

若 该 红 点 为 两 底 中 垂 线 上的 点  , 据  () , 2知 存在 另一对 全等 三角形 
△ MA   △ MD   B C.

若 该红 点 异 于点  , 图 形 的对 称 性 , 据   只需 考虑 红 点 为 P或 Q 的情 况 . 证 明 : 再 无  论增加 红点 P或 Q, 图形 中都 将 新增 一 个 等  腰梯形 .   i ) 若增 加红 点 P, 在 图 ( ,) 则 12 中增 加 了  梯 形 P A 在图 ( ,) B D, 13 中增 加 了梯形 P C   D B, 在 图 (, ) 14 中增 加 了梯 形 P 8 在 图 ( , ) C D, 2 3 

20 0 9年第 6期 

共有







种.  


二 、 答题 ( 4 ) 解 共 4分  
9 (4分 ) 图 l 已 知 抛 物 线  :2 y .1 如 , p  ( P>0  直 线 1 b ) 一  
l  


第 二 试 
(0分 ) 图 3  5 如 , A 为 △ A C 的 角 平 分  D B 线 ,I,分别 为△ A D、 ,、: B   △ A D 的 内心 , , , C 以 。2  

( b<0 , P( , ) )点 t b  在 直线 上 移 动 . P 过  

作 抛 物 线 的 两 条 切  线 , 点 分 别 为  、 切  

~  

为底作 等腰 △ ,,E,    使 
1  

, E1 。 2= -_ 1  
厶  

BAC


。 

求 
图3  

线 段 A 的 中 点  B ( ) 点  1求 的 

.  

尸 

证 : E上 B   D C.

M .  

轨迹 ;  

() IBI 2 求 A 的最 小值 .   1 . 1 分 ) 部 分 自然 数 构 造 如 图 2的  0(5 用
数表: 用 a   .  

二 、 0分 ) P 为 任 意 给 定 的 质 数 . ( 5 设 证  明: 一定 存 在 质 数 q 使 得 对 任 意 的整 数 n, ,   数 n —P都不 能被 q整 除 . p   三 、5 ) 自然数 k满 足 1 (O分 设 <k<10  0. 对 1 2 … ,0 , , 10的 任 一 个 排 列 a ,   … , .a ,  


( ≥J 表 示  i ) 第 i行 第  个  :   N+) 使  ,
=0   i 每  .
4   5   l  

2  
7  

2   4 3    
7   4  

a【, 最小 的 m >k 使 a l 取 I J ,  至少 小于 a , 2 la , 一 注      意  , 中 k一1 n 个数 . 已知 满 足 a  =1的数 列  ,  到 


的个数为  !求  的值 .  


—  
2  
,  

… … 一 … … 一 … …       
.  

1  4

四 、5 分 ) a ,   … , 2 2 个 两 两  ( 0 设 。n , ao 0 是

行 中 的 其 余  各数 分 别等 于 其 “ 膀 ” 肩 上的 两 个 数 之 和 . 设 
第 n( n∈N+ 行 中 各 数 之 和 为 b . 问 : )  试 数  列 {  b 足 否存 在 不 同 的 三项 b 、  b (     b 、, P、

不 同的 正整 数 , 且集合 {a +aI≤ i. 0   il 、≤2      中有 2 1 不 同的元 素 . 集合  0个 求
{ n 一a f 1 、 ̄2 / I  j I ≤ij o         <

、l ●_-,

∞,  
 
. 

中不 同元素个 数 的最 小 可能值 .  

参 考 答 案 
第 一 试 

q、∈N+) 好 成 等 差 数 列 ? 若 存 在 , 出  r 恰 求

Pqr 、 、 的关 系; 若不存在 , 请说明理 由.   1 .1 1 (5分 ) 厂 ) 定 义 在 定 义 域 D 设 ( 是  
上的 函数 . 对 任 何 实 数 O∈ ( , ) 及 D 若 L 0 1以   中 的任意 两数 . , 、 恒有   :
/ 似l 1 O   )   I+(一a    ) l +( 一 t 2 ≤q ( ) ) 1 ). 2 , (  
如 图 4 口知 在 区  ,J
J  y     I

则 称 , 为定 义在 D上 的 C函数 . ’ (  )   () 1 已知 厂 足 R上 的 C 函数 , 是 给  (  ) m

间 ( ,+ ∞ ) 存 在  1 上 6 f 。 = 1 -( ) 
。 ,
.  

1  

定 的正 整数 . a f( ) n=0 1 … , )  设  =   ( ,, r , n


1  

: /    
: 、   /
~  

且a 0=0,  :2 ,己 J =al 2 a m  s } , +a +… + a    .

令2 =.  一 丢   
解  芈 . 得  
又  ∈( , 1 +∞)  ,

1 i  
2  

对于满 足 条 件 的 任 意 函数 厂 )试 求 s ( ,  的 


最大值.   ( ) J X 是 定 义域 为 R 的 函数 , 最  2若 ( ) 且 小 正周 期 为  , 明 :  不 是 R 上 的 C 函  证 , ) (
数.  

4  

则 。   :

.  

l  2

中 等 数 学 

故 等的 集 ( , ) 不 式 解是   +. ∞ 
2.   8.

故  + =1  , .  

() 1 当  : 时 , :- 则     : 1 _


酋先 , 2 5 8 1 .0 4 ,  ,  4 , 取 , , , 12 , l 10 1 O 易    1 6

Y +Y =   } + ( ) 一1 =一2  l 2 / ) / 2 = —1 ;

知其 倒数 和为 l即 k , =8满 足要求 .   其次 . 从数 列 中取 出 . , , , 设   , …   使   :


( ) .   时 , ≠ 1 则  2 当  ≠  :  


+ 一一 + .- + — = I. +  + ….+ —  
.  

上 :1

2   x,

2    ,

Y +Y    2

+  

:  

令 

删 
.  

2 l1 x ) x ( — x ) x ( —2 2 +2 2 1 2 1   1 x )1 x) —2 I( —2 2 
2 I  2 一8  2 ( + )  J   ^  

Yl+ ,2+ … + Y   l 2      =   …

因为  -2 m d3 , 以 . 式 ①两 边 取  ( o  ) 所 对 以 3为模得 
k 2 ’ 2 ( o ) 即 k ( (  ) ?  -   m d3 , - mw 3 . -2 I  

= 
综 }   得  +Y =一2  2 .
14 4 

:  

 ̄   8  /l5 5

当  =2时 ,  1+ ≤ + 1<l       ;  
I   ,   Z  3 

当 k=5时 ,  

击  … ≤++++< Il +  了    1  ,   1)111 . ++   1 14      I  
故 k 8 因此 , 的最小值是 8 > I .   .  
3.   4 9   .  

如 图 5 原 三 脚 架  , 立起 时 是 个 正 王 棱 锥  P—A C, 棱 长 为 5  B 侧 , 高P O=4 则底 面正王  . 角形 的外接 圆 半径为 

B= ̄5 一4 /   
√3  


C 

3.  

【 于两 [ 连 心线 过 原 点 , 可 没两 圆 I  { 】 5 j l 则 j = = i 1
心为 (   )( , . 、b 柚) 于是 ,     一 ( 9 +( 一 ) Ⅱ一 ) 玩 6 =( ) 地   : ( 62  z  一 ( k+3 n+17 . )   =0  1

故A B=3 3  √. 正王 棱 椎 .一     的体积 为 

5  

同王 ,  ( k+3 b+17= . 里 b 一6 2 ) 1 0  又 n f 故 0 b是二 次方 程  ≠J , 、


,   x   (  ) 9/ . = 4× 3  =  ̄   3

62 ( k+3  +17=   ) 1 0

的两根 , a 则 b:17  . 1 

设 侧 面的顶 角  A B=0  P . 由余 弦定 理 得 
c os   :  :

因  6  √   . 为怔 8 删  =  
又另一 条外 公切线 的倾 斜角 是连心 线倾 
2, 1 , /2 斜角  两倍 , 故斜 率为 2 =1   2 k


磊 .  

截 去 A =1 所得 i棱 锥 P—D C的  D 后 B

体积 为 V :4 : 2     
.  

. 

底 面腰 长为 
4.一2.  

由点  在 直线 = 1   上


设 ( )   , .  

D D√ +_5 × √   B C 5 2× - = -2 ×4  ,  
底 i BC t的 高 为  力  4

又劢 : ,     即


A=t , ) M(   ,       商 = X一1 2  ) .  


^ (  2 √  ) /  √ \   ̄7    / 3  一2 √ 5 5 1  
底 面  删 = ×     =3/  , ̄1
. 

y :一 y  

20 年  6期  0( /

l  3

故点 P   底  的 高 度 为 
14 4 

:  

易知必有 a ≤3 否则 , 。 ,  
al+ n2+ n3+ a   4+ 5 + 6+ 7 > 1   4t > 8.

l5 5   8 

矛盾 .  

6 2O9或 200  . O  1.

同理 , , . n ≤4  这样 , 以写 出方 程 的 8组解 : 可   ( , , , ) ( , , ,) ( , , , ) 12 7 8 , 13 6 8 , 14 5 8 ,  
( , , , ) ( , , ,) ( , , ,)  14 6 7 ,2 3 5 8 ,2 3 6 7 ,
一l  

由口  

=  一S  +2上 +2 ‘        =0 r ,
=0   =  

= 一 S, I+ 2“  l+ 2     + , +   j  + 。= 2 一 2t 1=    t => +

( , , , ) ( , , ,)  24 5 7 ,3 4 5 6 .

f l等 为 差数列  
L2 J   
=  

故符合 条 件 的排列 有  一 8:3 个   1
. 

罟 :一 一( 一1 :一( +1 2 n ) n )  
b  =( 1 一n 2 . 2O  1 )”  

二 、. 1由题意得  9()

设f,    参)   、  


令 b ≥b .     则 
(  1 一n 2 ‘ 2O 一n 2 . 20 0 )  ≥( 1 1 )”  

詈 =     .
2 I   ,  

解 得 n  0 . ≤20 9  故 b  的最 大 值为 b 。 : .   =b    因此 ,l:20 9或 20 0  , 。  0  1.
7.   .  


故  :  
P  
y ,● \  

I t —  

, 即  一2 +2 6:o  执, p .
。   ‘  

同理 , 一 红 + p : .  ; 2 2 2 b 0 
=  

因此 , 、2为方程  一2x+2 b:0的   l  t p

注意 到 
9 — 8 i  0   sn 5 。


 

两个根 . l  2 t  2   . 则  + =2 ,  l =2  
,  

m 

一I M( Y .   设  , ) 于是 ,   、J  
f 


9 + 8 i  0 sn 1 。一 8 i  0 sn 1 。一 8 i  0   sn 5 。



9 8n1 一8s (  ̄ 2 ̄+ i 3 + 0) + s   ̄ [n3 一 0) s (  ̄ 2 ̄] i0 i 0 n0  
9 + 8 i  0 sn l 。一 8 o   0   c s2 。


l 一  是    l p ,  

半 =, z  



:9+8 i  0 一8 1—2 i2 0 ) sn 1 o ( sn 1 o   


=+=( :一  TY毒 l2詈  Y 2 “ : ]  +     .
I   AB    I=

1s11 +8i 1 +1 4i 1 ̄ ). 6i  I   2 s  n  =(s   +1   n0  

所以 , 。:1 b:4 。:1 . , , 0 故 
8. . 31 

: .    

由 以上 两式 消 去 t 得 点  的轨 迹 方 程  , 为 X :P Y+b . 2 ( ) 

8 数 的和 为 3 . 1 2 … , 个 6 将 , , 8这 8个 数 
r4 、 



 

平 均 分 成 两 组 , 有  =3 共 5种 分 法 . 当两 组 
数 之 和 不等 时 , 和 较 小 的 4个球 为 红 球 的  设



√ 8(荽 c— +) 4 p?   z6 2
n+ I  

由 b<0知 , t 当 =0时 ,  
I BI =2 /一2 b      A    ̄ p.

序号 和较 大 的 4个 数 为蓝球 的序号 对应 着 一  个符 合要 求 的排 列 . 以 , 所 只需 除 去两 组数 之  和 等于 l 8的情形 .   设 n( :1 2 3 4 表 示 所 选 出 的 4个    i ,, , ) 数 , La ∈ {, , , ;不 妨设  }   l2 … 8 ,
0I< ( Z2< ( 3 < a4. /  

1. O 由题意 得 

b = 0 …   ∑    
i= l  

n— I  


(   ) ∑ [ + …)   1 1 + + 0  ( ]   +a +)  
i:I  

下面讨论方程∑ 0= 8   1的解的 组数.  



22 + ∑  = + b. 22    

】  4

中 等 数 学 

故 = 2 等=  .b ' 2+即 2 .  
所以,6 { +2 是 以 b +2=3为首 项 、 f l  

若 (n > ’z, ,) / , 记  I , =凡一T, () =n 2  
a:1   一
』  

也 可得 出矛盾 .  

2为 公 tC等 比数 列 . t' ', .J J  
贝  +2 ×2 一= 6 :3X   一2  4 6 =3           一 2 .

若 数列 {  中存 在不 同的 三项 b 、  6 b} p 6 、,  
( qr P、 、 EN+ 恰好成等差数列 , ) 不妨 设( p>q   >r , )显然 , 6 } {  是递增 数列 .0 b =6 +b . A      , r2   故 2 3  q 一 ) (  2 一 2  X (   一 3X2  一2 +( ×2一   ) 3   一2 . )   于 是 , ×2~ =2 +1 2     .   由 P、 r  , P>q , q、EN 且 >r知 


因此 ,( 在 [ , ) 是常数 函数 . f ) 0 r上 ,   义 因为 f ) 舌 为  的 函数 , 以 , ( 是J 期 J 所   ) R上 是常数 函数 , 与 f 戈 的最 小 正  在 这 () 周期 为 7矛盾 . 1   故 / ) ’ 不是 R上 的 C函数 . (  

第 二 试 
①  如 图 6设  , △ A C 的 内心 为  B




l  

Bl C Dj 、 、 I、 I 

q— r 1 P — r≥ 2. ≥ 。  

/ 2并 在 , E 上  ), / .

由于式① 的左边 为偶数 , 右边 为奇 数 , 不  成立 . 数 列 { , 中 不存 在 不 同 的 三项 6 、 故 6}   。 

取点 F, 使得 
, DF  l
=  

C 

b、 P、 、EN+ 恰好成 等差 数列 .   6( q r )  
1 . 1 对任意 的 n 0 ≤m)取  1() ( ≤n ,
?= m ,  = 0, 戈   _  O 1 . nE[ ,]  


II . t 2 ①  I
E  
6  

联结 , F. ,  
由  D t fl  


1  一 8   D, B  .

因为 

) R上 的 C函数 。 = ( ) 是 % f n,  


且 n =0 n 2 所 以 . 0 , : m,  

l 8 ( +  一 9  
厶  

尉D) 9p   = 0一
‘ t 

G  

n = r n = . +( 一a  ) , J ) / 似. 1 )     ( ( ≤  一 +( —a   X )   × m=2   ) I ) 2= 2 凡. 褥 

1  


9 一 /lE2   E l , 0 去 _ l= o l I|   2
1ll   E    2  : fD. ② 

故 S :8 +0 +… +0  s I 2 m ≤2 1 2+… + m) (+ =m +,     n.

同理 , ,,,      2 =
1    J l  D 
‘  

D.  

由式① 、 ②知△ , , ∽ △ ,D   。,   . F.
邑 
’  

可证 f ) x是 c函数 , 使得 0   ( =2 且  =
2( n n=0 1 … , 都成 立 . 时 , , , m) 此  
S   , + ,   s 孔 n.

又  D l = E .2则  ,,   11 ,
△ l D ∽ △ l IF. l l 2   

综 上 所述 ,, s 的最 大值为 m +m.    
() 2 假设 厂 是 R上 的 C函数 . (  )  


故  ,D = , .I   。 .     由△ ,, ∽ △ ,D 得  I, 2 l F,  
Il 、 2I:   1FD .    

③ 

若存在 m< 且 m、 E[ ,1,   n 0 7 使得  ) f m)   n . ( ≠ ()   若 f ,) / n , ( < ’ )记 I n, =,   , n ( =,  2  +  
a=l   一 . 则 

又  , ,,   E2 则  ,2 = lD,
E D = j 2   |  L FD .  

0 <a<1且 n=似 I 1 ) . , +( 一a  2  

因此 , , 、   四点共 圆 . D、2 E、   所 以 , E I = E I.   F2   D 2   由式③ 、 及  , ④ 。  
,, + E I =10 , l ,   D 2 8。 即  J
,D +( C , + E C) 8 。 l /   D 2   D =10 .  

④ 

故 f n = . 。 1  ) ) ( ) /  +( 一  : (  
≤q 1 +( 一a   2    ) 1 ) )
=  

+ E I =10 ,   F  8o知 

( +( 一a f , m) 1 ) ( n+T = (n . ) f ,)  

这与 - m) 厂 n 矛盾 . 厂 ( < ()  

故 9 。   E C=10 , E C=9  ̄ 0+ D 8 ̄   D 0.  

20 09年 第 6期 

l  5

此 , E上 B   D C.

所以, q满足 条件 () ( ) i和 i . i 
又  = p  +p  + . +p + l V P 一  

二 、 找 的 质 数 (仅 和 P有 关 , n无  要 f 与 关 , 以 , 任意 的正整 数  , qI 一P , 所 对 若  (   )  则 qln  (  一P ) 也就 是 说 , g (  一P )   . 若  ,  , 则 ( , 『  一P .  ( ) 这样 , 问题 就转 化 为选 取适 当  的  , 替  一P来 讨论 / 代 1  一P .    最 简单 的选 择是 取  =P 先 对此 进 行试  . 探 性讨 论 . 有 
n 一P    =(  一1 一(P一1 =M 一( 一1 . n ) p ) P )  

;P+1 1m dP )  ≠ ( o   ,

所以,  

D —

l  

必有 一个 质 因数 q 使 得 q   , ≠l
‘  

( o   , m dP ) 即这样 的 q满 足条 件 (i. i) i   三 、 n , 2 … , 重 新 排 列成 6 <6  将 ln , 0 l 2
<… <6 . m 的最 小性 , b =t则   由 设   .
n 卅<t >f i   +1 + , , ,   (= , 2… ,   孔一1 . )  

如 果找 到 P  一1的质 因 数 q 能 使 得 对  , 任 意 的整 数 n M 都 不 能 被 q整 除 , 么 , , 那 就  解 决 了本题 .   对  一1 的质 因数 q 可分为 两类 :    
( )Z 一1不能 被 q整 除 . 这 些 n就  1/   对 有 g ( 印一P ) 因 而 , (   )  n  , q n 一P .   ( )z 被 q整 除 . 时 , 望对 所 选 取 的  2 ,‘   此 希 1的 质 因 数 q加 上 进 一 步 可 实 现 的条  F 台 有 ( ( 一P . ,皂 『 ,   )  假 定这 样 的 q存在 , 质数 ql 一1 . 取  (   )   若 仔 在 某 个  , 得 gj , q . 此 及  使     则   由 q( 一      一1推 出 g ( 一1 . 中 , f )    l )其 g=(    P,


当t 固定 时 , b <t且 6不能 为 l 故  由 , , . , 6有 t   一2种 取 法 . 6 , 4 … ,  >t 故 有  而 36 , 6 ,
c   取法 .  !种  

将 6 , , ,  列 有 ! . 是 , 定  。 『 … 6排 J 种 于 确
0 .,( z: ,… ,n 

有 ( 一 )  ̄! 种 . t 2 C  !   g

由前 面分 析 口 >t i   +1 J+2 … ,   (= , l ,   } m—1 , 大 于 t的 10一t 数 中 除 去 6 , )在 0 个    6 , ,  还有 10一t 后一 ) 0 一t    … 6, 0 一( 2 =12 一

个数 , 故有 A 『 种取法 .   - I    
又n  =1 固定 的 , 是 其余 数 n +,      。0 +,




q一1 . )  

(0 /0 " 排列 有 (0 1 10一m) 种 . !  

注 意到 g=(  口一1 =1 P, P . p, ) , 或    如 果取 得 到 质 数 q, 得 (   q一1 ≠ 使 P, )  ,,lp、 q一1 , 0   H    ( J   ) 贝 必有 ql,  (2 )   一1 . 如 果再 要求 ( P一1 , 有  『  ( )则

综上, 足 Ⅱ 满  =1 的排列 个 数为 

7∑ ( )   ’ 卜2  : = c !∑ A- I1— ) .… 、 …k  ̄ m! ,- m  
’  

=  


( _2  z   一2 )

q (  [,  一1 一( ) P一1 ]  一P. ) =,   这就 满 足本题 的要求 .   由以上分析知, 只要存在质数 q满足条件 :  
()   P 一1 ,i q ( igI   ) (i T P—1 , (i p ( ) ) 及 i)   i
( q一1 . ) 
=  

0 3- t  



(03一 一m) ~   1 !  

兰 t com‘   ?_ ) o “     

( 一2 ( t )  一1 (0 ) 10一t ! )?   ‘  


这样 的质 数 q就 满足 本题 的要求 .   下 面具 体来 找这 样 的质 数 q  . 由前 两个 条 件启 发 , 考虑 
p   1  





L a  
+l

, :

(0 10一m) ( 一3 ! ! t )  (0 一t   !t ) 13 一, ) ( 一3 !  

=  

( 一2 ! ( 一1 (0 t ) |  l } ) 10一t ! )?  
青  

= p  +P P  

+ .- P + 1 .+  

的质  数 (. ,   见, 这样 的 q不 等 于 P.   若 q(   P一1 , 4 I )贝 由此 及 
p  1  

∑ c- t 帆  3


> ( 一 ) 七 1( 0 )C-   t 2 ! 一 )1 一t!…   ( 0 t 2
( 因 
’1- k  2 (  

二   = P 。 P 。+ .? P + 1   +   .+  

=  


. : l  +C 二 )  

Ep m dP一1 , ( o  ) 

:  
: =  

( 1(0  )  一 )10 一f !  
( 一1 (0   ) ?   ) 10一 !  

推 出 口  矛盾 . l P.  

l  6

中 等 数 学 

(O 一t ! J )  10 ) (} I 一2 ! 一3 (0   一t ! 一2 ! t   2 = 1 ~   ( )    )
=  

另一 方 面 , S的好 子 集 ; Y z W}  , , , 的个 

数 于∑ 一   1这   中 足6  等   一) 里,为s 满 + 1  ( ,
c (   ) 6 c的数对 ( , ) =i i N+ , ≤ E 6 c 的个 数 .  

!10   ) (0 一 !  
! 10 (0 一¨ ! (  

c ,  !  

=  



k (O  !1 0

!  

砸  

注意 到 , 每 个 iS中 的每 个 元 素 s至  对 , 多 出现在 上面 的一个 数对 ( , ) ( b c 中 事实 上 ,  
当 s i 时 , 出现在 数 对 ( , —s 中 , ≤ —s   s i ) 其 

=  

(0   ) 8 . 10一 9    1

余情 况 出现在 ( —s s 中) 于是 ,  0 从  i ,) , s≤1.
而 , s≠0时 , ≤s≤1 . 在   l   0 

由 已知 T:  

, 有 

k 10一k 9 : (O )8   1
=  


故去s s一1≤5  5     ) s一 . (  
由于集 合 {0 +口 ≤ iJ 0 中有 2 1   川 、≤2 } 0 

一 l Ok+9 O 9×2 5=0  

4 5或 5 . 5 

个不 同 的 元 素 , 使 得 s≥ 1 正 整 数 i 故   的 有  21 . 0 个 设  为这样 的 i 成 的集 合 , 组 利用 5  

四 、 给 集 合 的 元 素 个 数 的 最 小 值 为  所
1 0. 0  

例子 : 令 
0. 1 ’ + 1   = 0  0
. 

中有 C X ( ,)  ̄  ̄ 6 c 满足 6 , 2 对( , ) o <c有 0 b c满 
足 b=c 故  s= +2 ,    0=20 则  1.
i r ∈  

no  1 “一1  i , , ,0 . I + 0 0 ( =l2 … 1 )  

则 {   j 1  ≤ n +a I ≤  ≤2 }     0 中共 有 
(0+1 +… +1 一1 2 9 ) 0+1 0  =2 1

∑ Is s一 ) l    1≤∑ (   5  ( _ 5 一) s  
∈ 


— 

i  E

5 2o一2 1 =4 . (1 0) 5  

个不 同 的元素 .  
而 { n 一0 ll 、≤2 } I    I     ≤i  0   


这与前 面所 得 到 的结 论 : S的好 子 集 至  少有 4 6个矛盾 .  

{  0 l =l2 … ,0 U 2 1  i , , 1 }   X  

因此 , 所给 的集合 中 , 少有 10个不 同  至 0
的 元素 .  

{ 1  O Il i  ≤1 } I ±li l   0    <  ≤ 0  共有 1 0+2 ,=10个不 同的元 素 . Co 0 2  

( 满  涛  南 京 大 学 工 程 管 理 学 院,  
20 9 , 志军  南京 外 国语 学校 ,108  10 3 黄 20 0 )
敬 告 读 者  

下 面证 明 : 给 集合 的 不 同元 素 的 个 数  所
不小 于 10  0. 用 反证法 证 明 .  

若 存在一 个使所 给 集合 的元素个 数小 于  10的集 合 S= {0,  … ,/ . 算 s的  0 。口 , 6 计 , 加}
“ 好子 集” ,‘   } { , , 的个 数 , 里 , <J   , 这   y ≤
<W, 且  +   Y+ .   

{   1编辑部现正发售《 . 中等 数学》 订本  合 ;2o ( )每册 3 09上 . 6元 ;05 下) 20 ( )  20 ( 、 8 下 , 0 ;每册 2 元 ; 0( 7 2 8全一册 ) 0 每册 5 元 。以上  0

{ 告 费 其 年 合 本 已 罄  ;含挂 。他 度 订 均 售 , 特 均邮
。 

对 S中满足 6>c的数 对 ( , ) 共 10 b c ( 9  对 )考 虑它们 的差 6 , , 一c 由假设 知至 多有 9  9 个不 同 的差 , 必 有 至 少 9 故 1个 数 对 ( , ) 6c,   使 得存 在 6 、  , 足 6 <6 c <c且 b   C∈S 满   ,  ,   c:b  一c . 这样 的 9 个 数对 ( , ) 它   对 1 bc , 与其 对 应 的 b 、   成 S 的 一 个 四 元 集    c形 { , ,  c } 可 以 得 到 . 的 一 个 好 子 集  6 c b ,  , s { Y z W}且 至 多 两 个 数 对 ( , ) 成 相   , ,, , 6c形 同的子集 { , ,   }只能 是 ( , )   , )   Y , ( 6 c =( z  或( ,). .   Y ) 故 s的好子 集至 少有 4 6个 .  


{   2目前编辑部还有少量《 . 国内外数学  i竞赛套题及精解》 20 、 0 (05 2 6年版)定价  0 ,
i1元 ,   8 邮购价 :3 ; 国内外数学竞 赛套题  2元 《 i及精解)2o 年版 ) 价 :0元 , ) o8 ( 定 3 邮购价 :6 3  :元。   :   3编 辑 部 还 有部 分 20 . 02~20 08年过 

; 每本 3 邮寄另加 3%邮费。 刊, 元, 0  
;   地址 : 天津市河西 区卫津 路 2 l 《 4 号 中  ;等数学》 编辑部  ;   电话 :2 —2523  邮编 :004 02 3423 307 

{  

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