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数学奥林匹克高中训练题(17)


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中 等 数 学 

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第 一 试 




填 空题 ( 小题 7分 , 5 分 ) 每 共 6  

5 三 脚 架 的 蔓 只脚 各 长 5 两 两 的夹 角  . , 彼此 相等且 固定

. 它立 在地 面上 时 , 将 顶端 距  地面 的高度 为 4 后来 一 只脚损 坏 , 部截  . 底 长度 1再立 在地 面 _时 , 端距 地 面的 高度  . 卜 顶
变为一— — .   6 已知 S 为 数列 {  的f .   n i 订凡项 和 ,  
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使其倒数和为 1则 k的最小值是— — . .   3 平 面直 角 坐标 系 中 , 个 圆有 公共 点  . 两 ( ,) 都 与  轴 相 切 , 们 的半 径 之 积 为  96且 它
6. 8 如果它们 的 另一条外 公切线 也 过原 点 , 则 
它的斜 率 为 
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8 将 4个相 同的红球 和 4个 卡 同 的蓝球  . } { 排成 一行 , 左 至 右依 次对 应 序  1 2 … , 从 ,,   8 若 同色球 之 l  加  分 , 4个 红 球 对应  . 1 = 1 j 则 序 号之 和小 于 4个蓝球 对应 序  之 和 的排列  中增加 了梯形 P A 在 图 ( , ) B D, 2 4 中增 加 了梯  形 P D 在 图( ,) : J , 形 P A   A C, 34 q  ̄ J 梯 , H了 B C. i 若增 加红点 Q, i ) 则在 图 (,) 12 中增加 了  梯形 Q B 在 图 ( , ) D C, 13 中增 加 了梯形 Q4 D, .   C 在 图 ( ,) 14 中增 加 了梯 形 Q C 在 图 ( , ) B D, 2 3  中增 加 了梯 形  B 在 图 ( ,) C, 2 4 中增加 了梯  形 Q A 在  ( .) C B, 34 中增 加 了梯 形 QtO. /   B 而据 ( ) 新增 红点 必在新 增梯形 的一 对  1, 全等 三角形 中两 次 出现 , 就 是增 加 了一 对  也 新 的全等 三角形 .   因此 , 出的五 个红点 中 , 给 存在 六个 以红  点 为顶点 的三角形 , 它们 可配 成全 等的三 对 .   故 本题 得 证 .   ( 陶平 生  江 西科 技 师 范学 院数 学 与计  算机科 学 系,30 3  30 1 )

的图像上 的任意 两点 ( 以重合 ) 点  在 直  可 , 线  = 1  


t, 2 且 

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以下 用梯形 两底 的刻 度对表示 相应 的梯 
形图.  

据 () , 1知 每个 等腰梯 形 中都 存在 两对 全 
等三 角形 .   再 考虑 第五 个红点 .  

若 该 红 点 为 两 底 中 垂 线 上的 点  , 据  () , 2知 存在 另一对 全等 三角形 
△ MA   △ MD   B C.

若 该红 点 异 于点  , 图 形 的对 称 性 , 据   只需 考虑 红 点 为 P或 Q 的情 况 . 证 明 : 再 无  论增加 红点 P或 Q, 图形 中都 将 新增 一 个 等  腰梯形 .   i ) 若增 加红 点 P, 在 图 ( ,) 则 12 中增 加 了  梯 形 P A 在图 ( ,) B D, 13 中增 加 了梯形 P C   D B, 在 图 (, ) 14 中增 加 了梯 形 P 8 在 图 ( , ) C D, 2 3 

20 0 9年第 6期 

共有







种.  


二 、 答题 ( 4 ) 解 共 4分  
9 (4分 ) 图 l 已 知 抛 物 线  :2 y .1 如 , p  ( P>0  直 线 1 b ) 一  
l  


第 二 试 
(0分 ) 图 3  5 如 , A 为 △ A C 的 角 平 分  D B 线 ,I,分别 为△ A D、 ,、: B   △ A D 的 内心 , , , C 以 。2  

( b<0 , P( , ) )点 t b  在 直线 上 移 动 . P 过  

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第 二 试、偈恰 醛 图渡璁 s ! △ A C 的 内旋 为 隆



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