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椭圆及其标准方程教学设计


椭圆及其标准方程(一)
一、 教材分析 《椭圆及其标准方程》 是高中数学选修 2-1 (人教版) 2.2.1 中的内容, 分两课时完成. 第 一课时讲解椭圆的定义及其标准方程;第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题,巩 固求曲线方程的两种基本方法,即待定系数法、定义法;本节是第一课时. 本课时是概念性教学,对于前一节的圆,学生是非常熟悉的,而从椭圆开始,到双曲线、 抛物线,对学生来说,都不是很熟悉的;又因为对双曲线、抛物线的学习过程,都可以仿照 学习椭圆的过程进行,对椭圆概念的掌握好坏,不光会影响对它本身的性质的掌握,而且直 接影响对双曲线、抛物线的学习效果。其次,椭圆方程的标准形式与后继课程中的双曲线方程 有容易混淆的地方,对它的特点不清,也会影响对双曲线的掌握。所以说本节课在《平面解 析几何》这一章中,占据极其重要的地位。 二、 学习对象分析 学生已经学过圆的定义和标准方程,对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体 表现),在“圆的方程”一节中有过一次感性认识。但由于学生比较了解圆的性质,从“曲线 与方程”的内在联系角度来看,学生并未真正有所感受,缺少理性的思考; 从能力方面分析学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程,但是对含有两个根式方 程的化简能力薄弱。这也是课堂上需要注意的问题。另外,学生具有积极的学习态度,强烈 的探究欲望,能主动参与研究,所以在课堂教学过程中,课堂活动的展开时刻以学生为主体。 三、 教学目标 1.知识与技能目标:掌握椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念.能正确推导椭圆的标准 方程. 2.过程与方法目标: (1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳.培养学生发现规律、 认识规律的能力. (2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程,培养学生利用已知方法解决 实际问题的能力. 3.情感态度与价值观目标: (1)通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. (2)通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. (3)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作 交流的意识. 教学重点与难点 重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程。 难点:椭圆定义中焦距与长轴的大小关系,以及椭圆焦点分别在 X 轴和 Y 轴上时的方程 形式的区别与联系;椭圆标准方程的推导。 四、教师自我分析 在本节课中,我们擅长于用问题为主线引导学生分析问题,发现问题,解决问题。从而 体现学生的主体地位。 五、教学环境分析 多媒体教室、几何画板、FLASH 动画、黑板、绳子和图钉。 六、教学策略分析 (1)引导发现法:用课件演示动点的轨迹,启发学生归纳、概括椭圆定义。 (2)探索讨论法:由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中,有利于学 生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点,发挥其创造性。
七、教学步骤

过程

教 学 内 容 复习提问: 1、 圆的定义; 2、圆的标准方程。

教 师 活 动

学 生 活 动

教 学 意 图 ① 复习旧知识,为后面分 析椭圆的定义和标准方程做 下铺垫; ② 以旧知来调动学生的 学习积极性,激发他们的

点评学生作答 学生集体回顾 的情况。 旧的知识,并举 手回答。




新课导入: ⑴利用幻灯片 ⒈观察多媒体 创设情景。 的演示,仔细思 考老师提出的 问题;

学习兴趣。 ①从学生所关心的实际问 题引入,使学生了解数学 来源于实际。 ② 通过多媒体课件加学 生动手演示,加强学生对 椭圆形象的认识,提高参 与程度,为后续学习做好 准备。



(1)说一说你对生活中椭圆的认识。伴 随图片展示使同学们感到椭圆就在我们



身边。

(2) 通过课件演示神舟十号、 金星等的、 ⑵提出问题,启 2 思考后回答 的运动轨迹;同时提问学生,它们的运 动轨迹是什么图形? 2、给出椭圆画法的图片(如下图) ,并 通过课件演示椭圆的形成过程,思考椭 圆的形成过程。 发 引 导 学 生 积 问题(可能的答 极思考. 案有:压扁的 圆、汽车上油罐 的横截面等等 ??) 。 3. 学 生 用 已 经 准备好的工具 两人一组画椭 圆。 过程 教 学 内 容 椭圆的定义: 1、 归纳,形成概念: 教 师 活 动 ( 1 )对学生的 学 生 活 动 ⒈认真观察椭

③ 通过画图给学生提供 一个动手操作、合作学习 的机会;调动学生学习的 积极性。

教 学 意 图 ①通过学生观察、 思 考、讨论,概括出椭 圆的定义,让学生全 程参与概念的探究过 程,加深理解,提高 概括能力和数学语 的表达能力. ②在给出定义后,通 过设问让学生加深对

作答情况进行 圆形成过程的 点评; ( 2 )总结椭圆 演示; ⒉分组进行讨

讲 解 新 课:

由学生画图及教师演示椭圆的 形成过程,引导学生归纳定义 (1) 引导学生观察在椭圆形成的过 程中,哪些量是固定不变的?哪些量是 变化的?你能否发现动点运动的哪些规 律? 让学生寻找在已知两个定点条件下

的 定 义 同 时 在 论分析,根据讨 黑板上板书; 论的结果,回答 老师提出的问 题; ⒊归纳总结椭

的有规律的动点运动,从而得出椭圆的 定义。 (2)在画椭圆的过程中, 绳子的长度 变了没有?说明了什么? (3)思考? ① F1 , F2 重合在一点时,画出的图 形是什么? ②改变 F1 , F2 之间的距离又是什么 图形? ③当 F1 , F2 之间的距离等于 AC 长又 是什么图形? ④当 F1 , F2 固定, 能使 AC 长小于 AC 两点距离吗?能画出图形码? 过程 教 学 内 容 1.复习求曲线的方程的基本步骤:⑴建 系;⑵设点;⑶列式;⑷化简; 教 师 活 动 (1) 采 用 启 发 式 提问学生;

圆的定义; ⒋对椭圆的定 义进行深层次 的思考。

椭圆定义中的关键词 汇的理解,进一步强 化椭圆定义,真正使 学生理解定义的内涵 和外延。

学 生 活 动 ( 1 )由学生回 答,不正确的教 师给予纠正. )

教 学 意 图 ①积极鼓励学生用不同建 系方法,通过比较,得出 最简洁的方案,而不是被 动地接受教材或老师强加 给的方法.



(5)证明(可省略) 2.如何选取坐标系? ⑵利用幻灯片



3.选取建系方案,让学生动手, 尝试推导 设椭圆的焦距│F1F2│为 2c(c>0) 、常

演示椭圆标准 ⒉一边认真听 方 程 的 推 导 过 讲,一边思考, 或个别讨论;集 体回答或个别 (3) 引 导 学 生 注 回答问题;



数为 2 a(a>c) , 则 F1 (-c,0) 、 F2 (c,0) 。 程; 取过 F1、F2 的直线为 X 轴,线段 F1F2 的

②椭圆的标准方程的导 出,先放手给学生尝试, 教师协从指导.再展示学 生结果;教师对照图形,

课 :

垂直平分线为 Y 轴,建立平面直角坐标 系。

意观察,对比归 ⒊通过思考、分

纳 椭 圆 的 标 准 析,回答问题, 加以引导,让学生明白方 方程中 a、b、c 把 椭 圆 标 准 方 之间的关系。 程中的 a、b、c 的关系与勾股 程中字母的几何意义,对 方程的理解有很大的作 用;利用类比对称,化归

定理进行类比, 的思想得出焦点在 y 轴上

y
P

(4) 通 过 类 比 的

注意区别在椭

的标准方程,避免重复的 繁杂计算. )

方法,推导焦点 圆 的 标 准 方 程 在 y 轴的椭圆的 中是 a 大。

F1

F2

x

标准方程;

4. 等式 a ? c ? b 与我们学过的什么
2 2 2

公式相似?它们的区别是什么? ⒋通过观察,发 (5) 以激励的语 言鼓励学生积 极回答问题,并 对学生的回答 5.若以两定点的连线为 Y 轴,其垂直平 分线为 X 轴, 则椭圆的焦点 在 y 轴上,那
F2

③在化简方程时,让学生

现的新知识点; 体会数学美中简洁性和对 称性,来突破难点,体现 对称的思想;

进行归纳;

y
P

么椭圆的标准 方程为:
F1

x

y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a ? b ? 0)
过程 教 学 内 容 1.比较椭圆的焦点分别在 X 轴上与 Y 轴 上的两个图象,通过学生讨论,类比它 们方程的标准形式的区别与特点,对比 总结。 教 师 活 动 学 生 活 动 教 学 意 图 ①通过对比总结,强化不 同类型的方程的异同,从 而深化学生对椭圆标准方 程的理解。

(1) 通过设置问 ⒈ 积 极 的 思 考 回答老师提出 题引 导 学 生 进 的问题。 行讨论,分析 两种类型的椭 圆方程的异同 点;

2.如何根据标准方程,判断焦点位置? (看大小) 。

⒉借助图形的直 (2) 根据学生回 观性,利用类比 ②通过讨论,学生自主 学习, 构建新的知识体系, 不但能学习到真正属于自 己的、 可灵活运用的知识, 而且在此过程中掌握求知 的方法;



焦点在 X 轴:

答的情况,将结 的 方 法 进 行 讨 x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) a2 b2 论进行板书;并 论,分析焦点在 给 出 根 据 标 准 X 轴上与 Y 轴上

F1(-c,0) 、F2(c,0)


焦点在 Y 轴:

方程判断焦点 两种方程的标 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) a2 b2 位置的方法; 准 形 式 的 区 别 ③ 通过讨论,利用类比 与特点,得出结 论; 的方法来深化学生对 椭圆标准方程的理 解。



F1(0,-c) 、F2(0,c) 【关系】 c 2 ? a 2 ? b 2


根据标准方程判断焦点位置的方法:看 大小。

讲授例题: 例 1 已知椭圆的焦点在 x 轴上, 焦距 是 6, 椭圆上一点到两个焦点的距离之和 是 10,写出这个椭圆的标准方程。 (1) 注 意 讨 论 的 1. 一 边 认 真 听 ①通过变式训练来强化概 进程,根据情况 讲,一边思考, 念,开拓学生的思维,训 作出及时的指 同学之间相互 导 或 提 出 新 的 讨论、辨析; 要求; [变式]将例 1 中条件“焦点在 x 轴”去 掉,结论又是如何?(提问) (分析后显示过程) 练学生思维的严谨性;

例2

写出适合下列条件的椭圆的标准

(2) 对学生的解 题方法给予点 评,寻找最合适 的解决问题的 方法。 2 读题、分析题 意,回答解题过 程;

②通过例 2 这道题考察学 生运用数学知识解决实际 问题的意识和能力,从而 归纳总结得出解决此类问 题最合适的方法(使学生 体会椭圆定义在解题中的 重要作用.) ;

方程:两个焦点的坐标分别是 ? 0 , ? 2? 、

? 2? ,并且经过点 P ? ? ?0 ,

3 5? , ? ? 2 2?

练习 下列哪些是椭圆的方程,如果是, 引 导 学 生 分 析 学生自主分析, 进一步巩固对椭圆标准方 独立完成; 判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明 题目,并对完成 程形式的掌握.

a 、 b ,写出焦点坐标.

情况给予点评;

(1)

x2 y2 ? ?1 9 4

(2)9x2 ? 25y 2 ? 225? 0

x2 y2 (3) ? ?4 25 16
x2 y2 (4) 2 ? 2 ? 1(m ? 0) m m ?1
过程 教 学 内 容 1.两种类型的椭圆方程的比较(注意板 书内容) 教 师 活 动 ⑴启 发 引 导 学 学 生 活 动 ⒈归纳整理后 教 学 意 图 ①使学生理清这节课的重 难点,深化对基本概念, 基本理论的理解, ②让学生把课堂教学传授 的知识尽快化为学生的素 质 , 使学生更深刻地理解 ⑵利用多媒体展 示归纳结果; ⒉用所体会到 的知识与教师 引导讲解的内 容结合起来,形 成自己的认识。 过程 教 学 内 容 教 师 活 动 ⑴说 明 作 业 的 要求: 学 生 活 动 一边听说明,一 边作记录。 教 学 意 图 ①体现分层教学的思想, 使各层次的学生都找到各 自的学习区,进一步完善 教学目标的实现。 ②A 组题:了解学生对本 节内容的基本掌握情况; B 组题:使学有余力的学 生对本节内容的再提高。 数学思想方法在解题中的 地位和应用,并且逐渐培 养学生的良好的个性品质 目标。

生进行归纳整 回答教师的提 问。



2.总结判断焦点位置的方法。 (看大小) 理;



x2 y2 ? ? 1 (m>0,n>0) m n



?m ? n 焦点在x轴 ? ?m ? n 焦点在y轴



布 置 作 业

⑵可按自己的

P 课本习题 2.1A 组 49 第 1,2 题

学习能力选做 A 组题或全部 完成。

八、板书设计:

§2.2.1 椭圆的标准方程: 一、定义: │PF1│+│PF2│=常数(大于│F1F2│)=2a 焦点 F1、F2 焦距│F1F2│=2c 二、标准方程:

三、例题讲解 例1

x2 y2 焦点在 X 轴: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
焦点在 Y 轴:

例2

y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
2

四、课堂小结

【关系】 a ? b ? c
2 2

九、教学流程图:





复 习

创设问题情境

学生思考、 观察

课件演示:

问题导入

并回答问题

椭 圆 定 义

学生讨论、回答

课件演示:

问题启发 深 化 椭 圆 定 义

教师总结、板书

课件演示:

坐标系的建立

课件演示:

方程的推导

椭圆的标准方程

课件演示:

讲解例 1

自主完成、 变式练习 讨论出题

学生分析

课件演示:

讲解例 2

教师引导、提示

形成性练习

小结、布置作业






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