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2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课后演练提升北师大版选修2-2资料


2016-2017 学年高中数学 第 2 章 变化率与导数 5 简单复合函数的 求导法则课后演练提升 北师大版选修 2-2
一、选择题 1.函数 y=cos 2x+sin x的导数为( cos x A.-2sin 2x+ 2 x sin x C.-2sin 2x+ 2 x ) cos x B.2sin 2x+ 2 x cos x D.2sin 2x- 2 x

解析: y′x=(cos 2x+sin x)′=(cos 2x)′+(sin x)′ cos x =-sin 2x·(2x)′+cos x·( x)′=-2sin 2x+ . 2 x 答案: A 2.函数 y=log3cos x 的导数是( A.-2log3e·tan x C.-2log3cos x 1 2 解析: y′= 2 log3e(cos x)′ cos x = = 1 2 log3e·2cos x·(cos x)′ cos x 1 2 log3e·2cos x(-sin x)=-2log3e·tan x. cos x
2

) B.2log3e·cot x D. log3e 2 cos x

答案: A

x
3.曲线 y=e2 在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 9 2 A. e 2 C.2e
2 2

)

B.4e D.e
2

2

1 1 2 解析: 因为 y′= ·e2 ,所以切线的斜率 k= e . 2 2 1 2 2 所以切线的方程为 y-e = e (x-4). 2 所以横、纵截距分别为 2,-e . 1 2 2 所以 S= ×2×|-e |=e . 2
2

x

1

答案: D 4. 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8, 则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)) 处的切线方程是( A.y=2x-1 C.y=3x-2
2 2

) B.y=x D.y=-2x+3

解析: 由 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8,得

f(1)=2f(1)-1+8-8,∴f(1)=1.
又 f′(x)=2f′(2-x)·(2-x)′-2x+8 =-2f′(2-x)-2x+8, ∴f′(1)=-2f′(1)-2+8,解得 f′(1)=2. 故曲线在(1,f(1))即(1,1)处切线方程为 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1,故选 A. 答案: A 二、填空题 5.设 f(x)= ax -1,且 f′(1)=2,则 a 等于___________. 2ax ax 解析: ∵f′(x)= ,∴f′(x)= , 2 2 ax -1 ax2-1 ∴f′(1)= ∴
2

a ,又 f′(1)=2, a-1

a =2,解得 a=2. a-1

答案: 2 6. 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是_______. 解析: 设 P(x0,y0).∵y=xln x, 1 ∴y′=ln x+x· =1+ln x.

x

∴k=1+ln x0.又 k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e. ∴y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 答案: (e,e) 三、解答题 7.求下列函数的导数. ?2+5x? (1)y= ;
10

x

π? ? π? ? (2)y=xcos?2x+ ?sin?2x+ ?; 2? ? 2? ?

2

(3)y=ln x +1; (4)y=a cos(2x+1).
3x

2

??2+5x? ?′ 解析: (1)y′=? ? x ? ?
1 1 10 9 =- 2(2+5x) + ·10(2+5x) ·5

10

x

x

?2+5x? 50?2+5x? =- + . 2

10

9

x

x

π? ? π? ? (2)∵y=xcos?2x+ ?sin?2x+ ? 2? ? 2? ? 1 =x(-sin 2x)cos 2x=- xsin 4x, 2

? 1 ? ∴y′=?- xsin 4x?′ ? 2 ?
1 x =- sin 4x- cos 4x·4 2 2 1 =- sin 4x-2xcos 4x. 2 (3)y′=(ln x +1)′ = 1
2

x2+1
1
2

( x +1)′

2

= =

1 2 1 2 · (x +1)- ·(x +1)′ 2 2 x +1 1 1 · · 2 ·2x 2 x +1 x +1
2

1



x
2

x +1

.
3x

(4)y′=[a cos(2x+1)]′ =(a )′cos(2x+1)+a ·[cos(2x+1)]′ =a ln a·(3x)′cos(2x+1)+a ·[-sin(2x+1)]·(2x+1)′ =3a ln a·cos(2x+1)-2a ·sin(2x+1) =a [3ln a·cos(2x+1)-2sin(2x+1)]. 8.求曲线 y= 解析: y′=?
3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x

? 1? 在点?4, ?处的切线方程. ? 2? x -3x
1
2

1 2 3 2 ? 1 ? ?′=-2(x -3x)-2(x -3x)′ 2 ? x -3x?

1 2 3 =- (x -3x)- ·(2x-3), 2 2
3

? 1? 所以曲线在点?4, ?处的切线斜率为 ? 2?
k=y′|x=4=- ×(16-12)- ×(8-3)=- .
1 5 所以切线方程为 y- =- (x-4). 2 16 即 5x+16y-28=0. 1 2 3 2 5 16

9. 已知函数 f(x)=logax 和 g(x)=2loga(2x+t-2)的图像在 x=2 处的切线互相平行, 其中 a>0,a≠1,t∈R.求 t 的值. 1 解析: ∵f′(x)= logae,

x

g′(x)=

4 logae, 2x+t-2

函数 f(x)和 g(x)的图像在 x=2 处的切线互相平行, ∴f′(2)=g′(2),且 f(2)≠g(2). 1 4 ∴ logae= logae,且 loga2≠2loga(2+t).∴t=6. 2 t+2

4


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