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三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习


三角函数的图像性质:奇偶性、单调性、周期性
例题 1:判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ? x sin ?? ? x ? (2) f ( x ) ?
1 ? sin x ? cos2 x 1 ? sin x

例题 2:求下列函数的单调区间
?? ? (1) f ( x ) ? sin ? ? 3x ? 3 ? ?

(2) f ( x ) ? cos(2 x ? ) 3

?

( x ? ? 0? ? ) ,

例题 3:求下列函数的值域

?? ? (1) y ? 3 ? 2cos ? x ? ? , ( x ??0, ? ?) 6? ?

(2) y ? sin x ? sin x

(3) y ? sin x ? sin x

?? ? 例题 4:已知函数 y ? 3cos ? 2 x ? ? ? 1 ,请写出该函数的对称轴、对称中心;用五点作图法作 6? ?
出该函数的图像.

同步练习: 1、写出下列函数的周期:

?? ?? ? ? (1) y ? 5 ? sin ? ?2 x ? ? (2) y ? tan(? x ? 2) (3) y ? 7 ? cos2 x (4) y ? 2 tan ? 3x ? ? 3? 3? ? ?

?? 1 ? 2、(1)求函数 y ? sin x ? 25 ? x 2 的定义域.(2)解不等式 sin ? x ? ? ? . 4? 2 ?

3、比较下列各数的大小: sin1? 、 sin1 、 sin ? ? 4、已知 f (n) ? cos
n? , n ? N * ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2011) ? __________. 4

?? ? 5、方程 lg x ? sin ? x ? ? 实数根的个数为___________. 3? ?
6、如果 x ?

?
4

,求 f ( x ) ? cos2 x ? sin x 的最值,并求出取得最值时 x 的值.

?? ?1 7、写出函数 y ? 3tan ? x ? ? 的对称中心,并用作出该函数在 x ? ?0, ? ? 的图像. 3? ?2
? ? ?? 8、对于函数 f ( x ) 定义域 ? ? , ? 中的任意 x1 , x 2 ? x1 ? x 2 ? ,有如下结论: ? 2 2?

(1) f ( x ? ? ) ? f ( x) . (4)
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

(2) f (? x) ? f ( x)

(3) f (0) ? 1 .

? x ? x ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (5) f ? 1 2 ? ? 2 ? 2 ?

当 f ( x) ? tan x 时,以上结论正确的序号为________________. 能力提高:
? ?? 1、 f ( x) ? 2sin wx ( 0 ? w ? 1 ),在区间 ?0, ? 上最大值是 2 ,求 w . ? 3?

2、若 f ( x ) ? ? sin 2 x ? a sin x ? 1 的最小值为-6,求实数 a 的值.

3、设定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) .当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 . (1)当 ?2 ? x ? 0 时,求 f ( x ) 的表达式;(2)求 f (9) 与 f ( ?9) 的值; (3)证明 f ( x ) 是奇函数.

三角函数的图象变换
π? ? 例题 1:由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换,得到函数 y ? ?2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 6? ?

变式 1:已知函数 y ? f ( x) ,将 f ( x ) 的图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来 的 2 倍,然后把所得的图象沿着 x 轴向左平移 已知函数 y ? f ( x ) 的解析式.

? 1 个单位,这样得到的是 y ? sin x 的图象,求 2 2

同步练习: 1、(1)把函数 y ? sin 2 x 的图像向 (2)把函数 y ? sin 3x 的图像向 平移 平移 单位长度得到函数 y ? sin(2 x ? 单位长度得到函数 y ? sin(3x ?

?
3

) 的图像。

?
6

) 的图像。

(3)将函数 f ( x) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 曲线是 y ?

? 个单位长度,得到的 2

1 2

sin x 的图像,则函数 f ( x) ?

?x ?? 2、已知函数 f ( x ) ? 2sin ? ? ? ( x ? R) . ?2 3?

(1)写出函数的振幅、初相、相位、频率; (2)该函数是由 y ? sin x 的图像怎么变换而来的?

求出 A、?、? ,确定函数表达式
例题 1: (1)已知函数 y ? 2sin ? x ?? ? 0 ? 的图像与 y ? 2 的相邻的两个公共点之间的距离为 求 ? 的值.
π? ? (2)已知图 1 是函数 y ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? ? 的图象上的一段,则( 2? ?

? , 3



A. ? ?

10 π ,? ? 11 6

B. ? ?

10 π ,? ? ? 11 6 π 6

C. ? ? 2 ,? ?

π 6

D. ? ? 2,? ? ?

例题 2: 函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 5? ? 的图像关于 y 轴对称, ? 则 的最小正角是?
? 4? ? ,0 ? 中心 变式: 如果函数 y ? 3cos ? 2 x ? ? ? 的图象关于点 ? ? 3 ?

对称,那么 ? 的最小值是?

例题 3:已知函数 f ( x ) ? A sin ? wx ? ? ? , x ? R (其中 A ? 0, w ? 0,0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点

中,相邻两个交点之间的距离为

? ? 2? ? ,且图象上一个最低点为 M ? , ?2 ? ,求 f ( x ) 的解析式. 3 2 ? ?

变式:已知函数 f ( x ) ? A sin ? wx ? ? ? ( A ? 0, w ? 0, ? ?

?
2

)的图象的一个最高点为 2, 2 2 ,由

?

?

这个最高点到相邻最低点,图像与 x 轴的交与 ? 6,0 ? 点,试求 f ( x ) 的解析式.

同步练习: 1、 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 其图像关于点 M (
3? ,0) 4

? 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值. 2

2、某港口水的深度 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:时)的函数,记作 y ? f (t ) , 下面是某 日水深的数据: t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

经常期观察, y ? f (t ) 的曲线可以近似得看成函数 y ? Asin ?t ? b 的图象, (1)试根据以上的数据,求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的,某船吃水 深度(船底离水面的距离)为 6.5m,试求一天内船舶安全进出港的时间。 能力提高:

?? ?? ? ? ?? ? 1、若函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) 对任意实数 x ,都有 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ,求 f ? ? 的值. 4? ?4? ? ?4 ?
π? ? π? ? 2、已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin ? x ? ? (a,b ? Z) ,当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 . 4? ? 2? ?

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)由 f ( x) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y ? g ( x) 的图象?若能,请写出变 换过程;若不能,请说明理由.


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