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3.6.2对数与对数函数


第6讲
教学目标:

对数与对数函数

1.考查对数函数的定义域、值域、图像与性质的应用. 2.多以比较大小、求对数函数在给定区间上的最值或值域等形式,来考查对 数函数的单调性. 3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.

教学过程: 一、选择题(每小题 5

分,共 20 分) ?1?log30.3 1.(2011· 天津)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=?5? 则( ? ? A.a>b>c C.a>c>b 解析 B.b>a>c D.c>a>b ).

10 10 ?1?log30.3 ∵?5? =5log3 3 ,1< log23.4<2,0< log43.6<1,1< log3 3 <2,又 ? ?

10 10 log23.4> log2 3 > log3 3 ,∴log23.4> 10 10 log3 3 > log43.6,∴5 log23.4>5 log3 3 >5 log43.6,故选 C. 答案 C

2.(2013· 宝鸡模拟)若函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值,则 a 的取值范围是 ( ). B.0<a<2,a≠1 D.a≥2
2

A.0<a<1 C.1<a<2 解析

4-a2 因为 y=x -ax+1 是开口向上的二次函数,从而有最小值 4 ,故要

4-a2 使函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值,则 a>1,且 4 >0,得 1<a<2,故选 C. 答案 C

3.(2013· 九江质检)若函数 f(x)=loga(x+b) 的大致图像如图所示,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=ax+b 的大致图像是 ( ).

解析

由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图像可得 0<a<1, 0<b<1.则 g(x)=ax+b 的

图像由 y=ax 的图像沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B. 答案 B

a 4.若函数 f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤2 时,f(x1)-f(x2)>0,则实数 a 的取值范围为( A.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) ).

C.(0,1)∪(1,2 3) D.(1,2 3) 解析 a “对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤2时,f(x1)-f(x2)>0”实质上就是“函数单

调递减”的“伪装”,同时还隐含了“f(x)有意义”.事实上由于 g(x)=x2-ax ?a>1, ? a +3 在 x≤2时递减,从而? ?a? 由此得 a 的取值范围为(1,2 3).故选 D. ?g?2?>0. ? ? ? 答案 D

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) ?2 ? 5.函数 y=log1(3x-a)的定义域是?3,+∞?,则 a=________. ? ? 2 解析 a ?a ? 由 3x-a>0 得 x>3.因此,函数 y=log1(3x-a)的定义域是?3,+∞?,所 ? ? 2

a 2 以3=3,a=2.

答案

2

?1?-2 6.对任意非零实数 a,b,若 a?b 的运算原理如图所示,则(log18)??3? = ? ? 2 ________. 解析 ?1?-2 框图的实质是分段函数,log18=-3,?3? =9,由框图可以看出输出 ? ? 2

9 =-3. -3 答案 -3.

三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)已知函数 f(x)=log1(a2-3a+3)x. 2 (1)判断函数的奇偶性; (2)若 y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)=log1(a2-3a+3)x 的定义域为 R. 2

又 f(-x)=log1(a2-3a+3)-x 2 =-log1(a2-3a+3)x=-f(x), 2 所以函数 f(x)是奇函数. (2)函数 f(x)=log1(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则 y=(a2-3a+3)x 2 在(-∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,知 a2-3a+3>1,解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 8.(13 分)

已知函数 f(x)=-x+log2

1-x . 1+x

1 ? ? 1 ? ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值? 若存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 1-x 1+x +log2 1+x 1-x

=log21=0. 1 ? ? 1 ? ? ∴f?2 014?+f?-2 014?=0. ? ? ? ? (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+ 2 ), x+1

当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 1-a . 1+a


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