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高中理科数学 离散型随机变量及分布列


理科数学复习专题

统计与概率

离散型随机变量及其分布列
知识点一
1、离散型随机变量:随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母, X,Y x, h ggg 表示,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质: (1)定义:一般的,若离散型随机变量 X 可能取的不同

值为 x1, x2,g g g , xi ,g g g , xn , X 取
, n ) 的概率为 P (X = x i ) = pi ,则表 每一个值 x i (i = 1, 2,ggg

X p

x1

x2 p2

g g g

xi pi

g g g

xn pn

p1

g g g

g g g

称为离散型随机变量离散型随机变量 X,简称 X 的分布列。 (2)分布列的性质:① pi ? 0, i
1, 2,ggg ,n

;② ? pi = 1
i= 1

n

(3)常见离散型随机变量的分布列: ①两点分布:若随机变量 X 的分布列为, 则称 X 服从两点分布,并称 p = P (x = 1) 为成功概率

x p

0 p

1 1-p

②超几何分布:一般的,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件 次 品 , 则 P (X = k ) =
n# N , M ,N , n , ? M
*

k n- k CM g CN - M (k = 0,1, 2,ggg m, n CN

{ n ,, }且 其 中 m = m i nM

N ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量 )N

X 的分布列

具有下表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布 X P 0
0 n- 0 CM g CN - M n CN

1
1 n- 1 CM g CN - M n CN

g g g

m
m n- m CM g CN - M n CN

g g g

3、随机变量的数学期望(均值)与方差

题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例 1】已知一随机变量的分布列如下,且 E(ξ)=6.3,则 a 值为( ξ P A. 5 B. 6 4 0.5 C. 7 D. 8 a 0.1 9 b )

【变式 1】 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开 发的实施结果: 投资成功 192 次 投资失败 8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是________. 题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列(超几何分布)

【例 2】在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品; 有二等奖券 3 张, 每张可获价值 10 元的奖品; 其余 6 张没有奖. 某 顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列.

【变式 2】某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级 别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月工资定为 3 500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资 定为 2 800 元;否则月工资定为 2 100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假 设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列;(2)求此员工月工资的期望.

知识点二
1.条件概率及其性质 对于两个事件 A 和 B,在已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率叫做条件概率,用 符号 P(A|B)来表示,其公式为 P(A|B)= P?AB? (P(B)>0). P?B? n?AB? . n?B?

在古典概型中,若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数,则 P(A|B)= 2.相互独立事件

(1)对于事件 A、B,若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响,称 A、B 是相互独立事件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立. 3.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种 试验中每一次试验只有__两__种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的 概率都是一样的. (2)在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率
k n k 为 p,则 P(X=k)=Ck (k=0,1,2,?,n),此时称随机变量 X 服从二项分布,记为 np (1-p)


X~B(n,p),并称 p 为成功概率.

题型三 条件概率
例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)= ________.

(2)如图所示,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将 一粒豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则 P(B|A)= ________.

练:某地空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的 概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的空气质量为优良的概率是________.

题型四

由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列(二项分布)

例 1 在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选 出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌 迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没 有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, “求 X≥2”的事件概率.

例 2 在一次数学考试中, 第 21 题和第 22 题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做 1 一题.设 4 名学生选做每一道题的概率均为 . 2 (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ξ,求 ξ 的概率分布.

练习:
一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不 出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现 三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐 1 的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的概率分布. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

【误区解密】 抽取问题如何区分超几何分布和二项分布?

例:某学校 10 个学生的考试成绩如下: (≥98 分为优秀) (1)10 人中选 3 人,求至多 1 人优秀的概率 (2)用 10 人的数据估计全级,从全级的学生中任选 3 人,用 X 表示优秀人数的个数,求 X 的分布列

练:18、某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,远离毒品”的电 视公益广告,期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣

传效果, 随机抽取了 100 名年龄阶段在 ?10,20? ,?20,30? ,?30,40? ,?40,50? ,?50,60? 的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄在 ?30, 40? 的人 数; (Ⅱ) 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的 方法随机抽取 5 从,求 ?50,60? 年龄段抽取的人 数; (Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的 5 人中再抽到 2 人 作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄在 ?50,60? 年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.

2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为 样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为(5,15], (15,25](25,35], (35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图,如图. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 根据样本数据, 试估计盒子中小球重量的平均值; (Ⅲ)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在(5, 15]内的小球个数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望及 方差.


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