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2017高考领航高三一轮复习课件理科第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 -第5课时


高三大一轮复习学案

主干回顾 考点研析 素能提升

夯基固源 题组冲关 学科培优

课时规范训练

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第5课时

古典概型

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1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概 率.

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1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是

互斥

的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典 概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性 相等
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3.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)=

.

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[基础自测] 1.(教材改编题)在两个袋内,分别装着写有0,1,2,3,4,5六个 数字的6张卡片,现从每个袋中各任取一张卡片,则两数之和等 于5的概率为( 1 A.3 1 C.9 ) 1 B.6 1 D.12

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解析:每个袋中取一张卡片共有6×6=36种可能结果,其中 两数之和等于5的有(0,5),(1,4),(2,3),(5,0),(4,1),(3,2)六种结 6 1 果,所以两数之和等于5的概率为P=36=6.
答案:B

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2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是 ( 1 A.2 2 C.3 1 B.3 D.1 )

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解析:列举基本事件,从甲、乙、丙三人中任选两名代表可 能的结果是(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3种;甲被选中的 2 可能结果是(甲、乙),(甲、丙),共2种,所以P(甲被选中)=3.
答案:C

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3.下列对古典概型的说法中正确的是( )

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件 出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本 k 事件总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=n. A.②④ C.①④ B.①③④ D.③④

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解析:②中所说的事件不一定是基本事件,所以②不正确; 根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.
答案:B

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4.从数学、英语、语文、科技、体育这5本书中任取2本, 数学书被取到的概率为________.
解析:把数学、英语、语文、科技、体育5本书分别编码为 A、B、C、D、E,则任取两本的所有可能结果为 “AB”“AC”“AD”“AE”“BC”“BD”“BE”“CD”“CE”“DE”,共10个基本 事件(不考虑顺序),其中有数学书的基本事件有4个,因此数学书 4 2 被抽到的概率为10=5 . 2 答案:5
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5.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k, k+1,其中k=0,1,2,?,19.从这20张卡片中任取一张,记事件 “该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡 片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14” 为事件A,则P(A)=________.

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解析:从这20张卡片中任取一张:(0,1),(1,2),(2,3), (3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,11), (11,12),(12,13),(13,14),(14,15),(15,16),(16,17),(17,18), (18,19),(19,20),共有20个基本事件.卡片上两个数的各位数字 之和不小于14的基本事件有:(7,8),(8,9),(16,17),(17,18), 5 1 (18,19),有5个基本事件,则P(A)=20=4. 1 答案:4
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考点一 简单的古典概型 [例1] 某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生 的视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2],(4.2,4.5],?, (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表:

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分组 频数 频率 (3.9,4.2] 3 0.06 (4.2,4.5] 6 0.12 (4.5,4.8] 25 x (4.8,5.1] y z (5.1,5.4] 2 0.04 n 1.00 合计

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(1)求频率分布表中未知量n,x,y,z的值; (2)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取 两人,求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.

审题视点

依频数、频率之间的关系求n,x,y,z,列举所

有随机事件的结果,由古典概型求概率.

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解 (1)由频率分布表可知,样本容量为n,

2 由n=0.04,得n=50. 25 y 14 ∴x=50=0.5,y=50-3-6-25-2=14,z=n=50=0.28. (2)记样本中视力在(3.9,4.2]的三人为a,b,c,在(5.1,5.4]的 两人为d,e. 由题意,从五人中随机抽取两人,所有可能的结果有:(a, b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e),共10种.
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记事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”,则事件A 包含的可能的结果有:(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),共4种. 4 2 所以P(A)=10=5. 2 故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为5.

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m 根据公式P(A)= n 进行概率计算时,关键是求出n,m的值, 在求n值时应注意这n种结果必须是等可能的,对一些比较简单的 概率问题,求m,n的值只需列举即可.

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1.(2015· 高考课标卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角 形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任 取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( 3 A.10 1 C.10 1 B.5 1 D.20 )

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解析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结 果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), 1 (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为 10 . 故选C. 答案:C

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2.(2016· 武汉市适应性训练)编号为A1,A2,?,A10的10名 学生参加投篮比赛,每人投20个球,各人投中球的个数记录如 下:

学生编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 投中个数 4 13 11 17 10 6 9 15 11 12
(1)将投中个数在对应区间内的人数填入表的空格内;

区间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 人数

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(2)从投中个数在区间[10,15)内的学生中随机抽取2人, ①用学生的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2人投中个数之和大于23的概率.
解:(1)依题意得,投中个数在对应区间内的人数如下表:

区间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 1 2 5 2 人数

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(2)①投中个数在区间[10,15)内的学生编号为A2,A3,A5, A9,A10,从中随机抽取2名学生,所有可能的抽取结果为(A2, A3),(A2,A5),(A2,A9),(A2,A10),(A3,A5),(A3,A9),(A3, A10),(A5,A9),(A5,A10),(A9,A10),共10种. ②将“从投中个数在区间[10,15)内的学生中随机抽取2人, 这2人投中个数之和大于23”记为事件B,事件B的所有可能的结 3 果为(A2,A3),(A2,A9),(A2,A10),共3种.所以P(B)=10.

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考点二 复杂的古典概型

[例2] 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3 个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除 颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球, 若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原 箱)求在1次游戏中, (1)摸出3个白球的概率; (2)获奖的概率.

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审题视点

每次摸球结果有限且等可能性,故事件为古典概

型,利用古典概型公式可求解概率.摸出3个白球的概率只能是 从甲中摸出2个白球,从乙中摸出1个白球1个黑球,要获奖则摸 出的白球为2个或3个两种情况.

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解 (1)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=

1 C2 1 3 C2 0,1,2,3),则P(A3)=C2· 2= . 5 5 C3

(2)设“在1次游戏中获奖”为事件B, 则B=A2∪A3,
2 1 1 1 C2 C C 1 3 2 3C2 C2 P(A2)=C2· 2+ 2 · 2= ,且A2,A3互斥, C C 2 5 3 5 C3

1 1 7 所以P(B)=P(A2)+P(A3)=2+5=10.

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求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含 义,把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此 互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事 件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.

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1.(2016· 江西师大附中检测)高三毕业时,甲、乙、丙等五 位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概 率为( 1 A.10 3 C.10 ) 1 B.4 2 D.5

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解析:五人排队,甲、乙相邻的排法有A 甲、丙相邻,此时甲在乙、丙中间,排法有A 12 1 甲、丙相邻的概率为48=4.
答案:B

2 2 3 3

A A

4 4 2 2

=48(种),若 =12(种),故

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2.(2015· 高考天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动 员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数. (2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3, A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. ①用所给编号列出所有可能的结果; ②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽 到”,求事件A发生的概率.
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解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结 果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6}, {A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3, A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

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②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可 能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5}, {A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种. 9 3 因此,事件A发生的概率P(A)=15=5. 另外,对立事件为A5,A6都没抽到的情况有6个,其概率为 6 2 15=5, 2 3 ∴A5,A6至少有一个被抽到的概率为1-5=5.
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考点三

有放回抽样和无放回抽样的概率

[例3] (1)三件产品中含有两件正品a,b和一件次品c.每次任 取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中 恰有一件次品的概率; (2)三件产品中含有两件正品a,b和一件次品c.每次任取一 件,每次取出后放回,求取出的两件产品恰有一件次品的概率.

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审题视点

问题的关键在于一种是不放回试验,一种是有放

回试验.不放回试验,取一件少一件,而有放回试验,取一件 后,再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件的方法解答比 较直观易懂.

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解 (1)法一:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其

一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a,b),(a,c),(b, a),(b,c),(c,a),(c,b).其中小括号内左边的字母表示第1次 取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.A表示“取出的 两件产品中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a,c),(b, 4 c),(c,a),(c,b)},事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)= 6 2 =3.

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法二:取出的两件产品中有一件次品,至于是第一次取出, 还是第二次取出可不考虑,则所有可能结果有 (a,b),(a,c),(b,c),共3个基本事件,而恰好有一件次 2 品的基本事件有(a,c),(b,c),共2个,因此所求概率为3.

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(2)这是有放回试验,第一次被取出的产品,第二次也可能被 取出,由于最后关心的是两件产品中有一件次品,因此必须考虑 顺序,则所有可能的结果有(a,a),(a,b),(a,c),(b,b), (b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),共9个基本事件,其中 恰好有一件次品的基本事件有(a,c),(b,c),(c,a),(c,b), 共4个基本事件.因此每次取出后放回,取出的两件产品恰有一 4 件次品的概率为9.

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在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法,以摸球为 例,设袋内装有n个不同的球,现从中依次摸球,每次只摸一 只,具有两种摸球的方法.
(1)有放回 每次摸出一只后,仍放回袋中,然后再摸一只,这种摸球的 方法属于有放回的抽样,显然,对于有放回的抽样,每次摸出的 球可以重复,且摸球可无限地进行下去.
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(2)无放回 每次摸出一只后,不放回原袋中,在剩下的球中再摸一只, 这种摸球方法属于无放回的抽样.显然,对于无放回的抽样,每 次摸出的球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.

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1.(2015· 高考广东卷)已知5件产品中有2件次品,其余为合 格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( A.0.4 C.0.8 B.0.6 D.1 )

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解析:记3件合格品为a1,a2,a3,2件次品为b1,b2,则任取2 件构成的基本事件空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1, b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1, b2)},共10个元素. 记“恰有1件次品”为事件A,则A={(a1,b1),(a1,b2), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},共6个元素. 6 故其概率为P(A)=10=0.6.

答案:B
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2.(2016· 大连模拟)盒中有3只灯泡,其中2只是正品,1只是 次品. (1)从中取出1只,然后放回,再取1只,求①连续2次取出的 都是正品所包含的基本事件总数;②两次取出的一个为正品,一 个为次品所包含的基本事件总数; (2)从中一次任取出2只,求2只都是正品的概率.

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解析:(1)将灯泡中 2 只正品记为 a1,a2,1 只次品记为 b1, 则第一次取 1 只,第二次取 1 只,基本事件总数为 9 个,

①连续 2 次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1,a1)(a1, a2)(a2,a1)(a2,a2)共 4 个基本事件; ②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件为 (a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)共 4 个基本事件.
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(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3,即(a1, a2),(a1,b1),(a2,b1),“2只都是正品”的基本事件数是1,所 1 以其概率为P=3.

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缺少必要的文字说明而失分 [典例] 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标 号之和小于4的概率; (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中
任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
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解题指南 用列举法确定基本事件总数及所求事件的结果

数,然后用古典概型公式求解.
【规范解答】 (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,

B,C,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E,从五张卡片中 任取两张的所有可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B, E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.2分 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出 现是等可能的.
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从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号 之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),共3种.5分 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为 3 10.6分

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(2)记F为标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有 可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B, D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D, F),(E,F),共15种.(8分) 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出 现是等可能的.

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从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号 之和小于4的结果为: (A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F),(C,F),(D, F),(E,F),共8种11分 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为 8 15.12分

易错分析

未写出基本事件总数及所求事件的结果数,缺

少必要的文字说明.
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阅卷点评

在阅卷中发现不少考生在解答概率问题的解答

题时,只写出所求结果,缺少必要的文字说明,没有按要求列出 基本事件,致使丢了不该丢的分.

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备考建议 (1)一定要针对具体问题认真分析事件特点,准

确判断事件类型.古典概型中事件特点是结果有限且等可能性. (2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n 和事件A中所含基本事件数m. (3)计算基本事件总数常用的方法有枚举法、树形图法、列表 法、坐标网格法、用计数原理与排列组合计算法,备考中应认真 体会和熟练掌握.

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◆一个理解——对古典概型的理解 (1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概 型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点 的概型才是古典概型.正确的判断试验的类型是解决概率问题的 关键.

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(2)古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都 是古典概型. (3)从集合的角度去看待概率,在一次试验中,等可能出现的 全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个 数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集. card?A? m 故P(A)= = . card?I? n

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◆两种方法 (1)列举法:适合于较简单的试验. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探 求.另外在确定基本事件时,(x,y)可以看成是有序的,如(1,2) 与(2,1)不同;有时也可以看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同.

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课时规范训练

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