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1.2(2)第2课时 排列数的应用


第2课时

排列数的应用

【课标要求】 1.熟练掌握排列数公式. 2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【核心扫描】 1.用排列数公式解决简单的应用问题.(重点、难点) 2.有限制条件的排列问题.(难点)

排列应用题的基本解法有: (1)直接法:以 为考察对象,先满足 的要求,再 特殊元素 元素 考虑 (

又称为元素分析法);或以位置为考察对象,先 满 一般元素 足 特殊位置 的要求,再考虑 (又称位置分析法 一般位置 ). 总排列数 (2)间接法:先不考虑附加条件,计算出 ,再减 去 不合要求的排列数 .

试一试 用树形图求四个人站成一排,甲不在最左边,乙不在最 右边的站法,及共有多少种站法? 提示 树形图如图:

共有14种站法.

想一想 如何检验排列中的有序性? 提示 检验元素是否有顺序要求的依据是变换元素的位置,看结 果是否发生变化, 有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.

名师点睛 排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题 ,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型. ①含有特殊元素或特殊位置,通常优先安排特殊元素或特殊位置 ,称为“特殊元素(或位置)优先考虑法”.

②某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体,与 其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“ 捆绑法”,即“相邻元素捆绑法”. ③某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相 邻元素插入空档,这种方法称为“插空法”,即“不相邻元素插 空法”.

④某些特殊元素按一定顺序排列时,可用“等机率法”,即n个 不同元素参加排列,其中m个元素的顺序是确定的.这类问题的 解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有An n种排法,m个元素
n 的排列有Am 种排法,因此 A m n种排法中,关于m个元素的不同分法

有Am m类,而且每一分类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确 An n 定时,共有Am种排法. m

题型一 排数问题 【例1】 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数; (2)个位数字不是5的六位数; (3)不大于4 310的四位偶数. [思路探索] 属于不同数字的无重复排列问题.

解 (1)从特殊位置入手(直接法)分三步完成,第一步先填个位,
1 有A 3 种填法,第二步再填十万位,有A 1 4 种填法,第三步填其他 4 1 4 位,有A4 种填法,故共有A1 A 3 4A4=288(个)六位奇数.

(2)法一 排除法 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类 排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.故符合题意的六位数
6 4 共有A6 -2A5 5+A4=504(个).

法二

直接法

1 个位不排5,有A 5 种排法,但十万位数字的排法因个位上排0与不

排0而有所不同.因此需分两类.
5 第一类:当个位排0时,有A5 个. 1 1 4 第二类:当个位不排0时,有A4 A4A4个. 5 1 4 故共有符合题意的六位数A5 +A1 A 4 4A4=504(个).

1 2 (3)①当千位上排1,3时,有A1 2A3A4个. 1 2 ②当千位上排2时,有A2 A4个.

③当千位上排4时,形如40××,42××的各有A

1 3

个,形如

1 1 41××的有A2 A3个.形如43××的只有4 310和4 302这两个数, 1 1 2 2 1 1 1 故共有A2 A3A4+A1 A + 2A + A 2 4 3 2A3+2=110(个).

规律方法 不同数字的无重复排列问题,是排列问题中的一类典 型问题.解决这类问题的关键是搞清事件是什么,元素是什么, 位置是什么,给出了什么样的附加条件,然后按特殊元素(位置)的 性质分类,按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的 隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽.

【变式1】 用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的四位数: (1)奇数数字必须在奇数位的有多少个? (2)奇数位只排奇数数字的有多少个?
2 解 (1)先排奇数位有A 2 种方法,再排偶数位有 A 3 3 种方法,则 2 2 共有A3 · A3=36(个).

(2)先排奇数位有A

2 3

种方法,再排偶数位有A

2 4

种方法,则共

2 2 有:A3 · A4=72(个).

题型二 排队问题 【例2】 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端. [思路探索] 属于有限制条件的排队问题.

解 (1)法一 要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任 选1个,有A A
5 5 1 4

种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有
1 4

种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:A

· A

5 5



480(种). 法二 由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人
2 站,有A 5 种站法,然后中间4人有A 4 4 种站法,根据分步乘法计数 2 4 原理,共有站法:A5 · A4=480(种). 6 法三 若对甲没有限制条件共有A 6 种站法,甲在两端共有2A 5 5种

站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:A
5 2A5 =480(种).

6 6



(2)法一 先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有A5 5种站 法,再把甲、乙进行全排列,有A
5 2 原理,共有A5 · A2=240(种)站法. 4 法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列,有A 4 种站法,再在5个 1 空档中选出一个供甲、乙放入,有A 5 种方法,最后让甲、乙全排 2 1 2 列,有A2 种方法,共有A4 · A A2=240(种). 4 5· 2 2

种站法 ,根据分步乘法计数

(3)法一 因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第 一步先让甲、乙以外的4个人站队,有A
4 4

种;第二步再将甲、乙

4 2 排在4人形成的5个空档(含两端)中,有A 2 种,故共有站法为 A · A 5 4 5

=480(种).

(5)法一

首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有A2 2种,再让其
4 4

他4人在中间位置作全排列,有A
2 4 共有A2 · A4=48(种)站法.

种,根据分步乘法计数原理,

法二

2 首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有A 2 种站法,然

4 后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有A 4 种站法,由分步乘 2 4 法计数原理共有A2 · A4=48(种)站法.

(6)法一

5 甲在左端的站法有A5 种,乙在右端的站法有 A 5 5种,且甲

4 5 4 在左端而乙在右端的站法有A 4 种,共有A 6 - 2A + A 6 5 4 =504(种)站

法. 法二
5 以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有A 5 种,②甲在中 1 4

间4个位置之一,而乙不在右端有A
1 1 4 A4 · A4· A4=504(种)站法.

· A

1 4

· A

4 4

种,故共有A

5 5



规律方法 排列问题本质就是“元素”占“位子”问题,有限制 条件的排列问题的限制主要表现在:某些元素“排”或“不排” 在哪个位子上,某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题 在分析时,主要按“优先”原则,即优先安排特殊元素或优先满 足特殊位子,如本题(1)中的法一、法二.对于“相邻”问题可用 “捆绑法”,对“不相邻”问题可用“插空法”,如本题(2)与(3) .当正面求解较困难时,也可用“间接法”.如本题(3)中的法二 .

【变式2】 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各 有多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须分别排在两端; (3)男、女生分别排在一起; (4)男女相间; (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.



(1)先排甲有6种,其余有A8 8种.

8 故共有6· A8 =241 920(种)排法.

(2)先排甲、乙,再排其余7人,
2 7 共有A2 · A7=10 080(种)排法.

(3)捆绑法
2 4 5 A2 · A4· A5 =5 760(种).

(4)插空法
4 先排4名男生有A4 种方法,再将5名女生插空,有A 5 5 种方法,故共 4 5 有A4 · A5=2 880(种)排法.

(5)等机会法
9 9 9人共有A 9 种排法,其中甲、乙、丙三人有A 3 种排法,因而在 A 3 9 9 A 9 3 种排法中每A3 种对应一种符合条件的排法,故共有A3=60 480(种) 3

排法.

题型三 排列综合问题 【例3】 (14分)从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数,可以 组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根 的方程有多少个? 本题利用一元二次方程的特点及根的情况,考查了 分步计数原理与分类计数原理及排列问题.

解题流程

[规范解答] 先考虑组成一元二次方程的问题.
1 首先确定 a,只能从 1,3,5,7 中选一个,有 A4 种,然后从余下的 4

个数中任选两个作 b、c,有 A2 4种. ∴由分步计数原理知,共组成一元二次方程:
1 2 A4 · A4=48(个).

(4 分)

方程要有实根,必须满足 Δ=b2-4ac≥0. 分类讨论如下: 当 c=0 时,a,b 可在 1,3,5,7 中任取两个排列,有 A2 4个;

当 c≠0 时,分析判别式知 b 只能取 5,7.当 b 取 5 时,a,c 只能取
2 1,3 这两个数,有 A2 种;当 b 取 7 时,a,c 可取 1,3 或 1,5 这两组 2 数,有 2A2 种. 2 此时共有 A2 +2A2 2个.

(10 分)

2 2 由分类计数原理知,有实根的一元二次方程共有:A4 +A2 + 2A 2 2=

18(个).

(14 分)

【题后反思】 该例的限制条件较隐蔽,需仔细分析.一元二次方 程中a≠0需要考虑到,而对有实根的一元二次方程,需有Δ ≥0.这 里有两层意思:一是a不能为0;二是要保证b2-4ac≥0,所以需 先对c能否取0进行分类讨论.实际问题中,既要能观察出是排列 问题,又要能搞清哪些是特殊元素,还要根据问题进行合理分类 、分步;选择合适的解法,因此需做一定量的排列应用题,逐渐 掌握解决问题的基本思想.

【变式3】 某校为庆祝2010年国庆节,安排了一场文艺演出,其 中有3个舞蹈节目和4个小品节目,按下面要求安排节目单, 有多少种方法? (1)3个舞蹈节目互不相邻. (2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间. 解 (1)先安排4个小品节目 ,有A 4 4 种排法,4个小品节目之 间和两头共5个空,将3个舞蹈节目插入这5个空中,共有A
4 3 种排法,所以共有A4 · A5=1 440(种)排法. 3 5

(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间,故小品只能排在1,3,5,7 位,舞蹈排在2,4,6位,安排时可分步进行. 法一 先安排4个小品节目在1,3,5,7位,共A
4 4

种排法,再安排舞

3 3 蹈节目在2,4,6位,有A3 种排法,故共有A4 · A 4 3=144(种)排法. 3 法二 先安排3个舞蹈节目在2,4,6位,有A 3 种排法;再安排4个小 4 4 品节目在1,3,5,7位,共有A 4 种排法;故共有A 3 · A 3 4 =144(种)排

法.

方法技巧 排列应用题的解题策略 在排列应用题时 ,明确问题的限制条件,常用的解题策略有: (1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类和准确分步的策略; (3)正难则反、等价转化的策略; (4)相邻问题捆绑处理的策略; (5)不相邻问题插空处理的策略; (6)定序问题除法处理的策略;

(7)分排问题直排处理的策略; (8)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (9)构造模型的策略.

【示例】 3名女生和5名男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 解 (1)(捆绑法)因为3名女生必须排在一起,所以可以先把她 们看成一个整体,这样同5名男生合在一起共有6个元素,排
6 成一排有A 6 种不同排法.对于其中的每1种排法,3名女生之 3 3 间又都有A3 种不同的排法,因此共有A6 · A 6 3=4 320(种)不同的

排法.

(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把5名男生排好,每2名相邻 的男生之间留出1个空档,这样共有4个空档,加上2名男生外侧 的2个位置,共有6个位置,再把3名女生插入这6个位置中,只要 保证每个位置至多插入1名女生,就能保证任意2名女生都不相 邻,由于5名男生排成一排有A
5 5

种不同排法,对于其中任意一种
3 6

排法,从上述6个位置中选出3个来让3名女生插入都有A
5 3 法,因此共有A5 A6=14 400(种)不同的排法.

种方

(3)法一

(位置分析法):因为两端不能排女生,所以两端只能挑
2 5

选5名男生中的2个,有A

种不同排法,对于其中的任意一种排

6 6 法,其余6名都有A6 种排法,所以共有A2 A 5 6=14 400(种)不同的排

法. 法二 (元素分析法):从中间6个位置中挑选出3个来让3名女生排
3 6

入,有A

种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位

5 5 置又都有A 5 种不同的排法,所以共有A 3 6 A 5 =14 400(种)不同的排

法.

法三

(间接法):3名女生和5名男生排成一排共有A 8 8 种不同的排

1 7 1 7 法,从中扣除女生排在首位的A3 A7种排法和女生排在末位的A3 A7

种排法,但这样两端都是女生的排法被多扣除一次,所以还需要
2 6 加回来一次,由于两端都是女生有A3 A 6 种不同的排法,所以共有 8 7 2 6 A8 -2A1 A + A 3 7 3A6=14 400(种)不同的排法.

(4)法一

该问题可分为两类:

1 7 第一类:当首位是男生时,则满足条件的有A5 A7种不同的排法; 1 6 第二类:当首位是女生时,则满足条件的有A 3 A1 5 A 6 种不同的排 1 7 1 1 6 法.利用分类加法计数原理可得共有A5 A 7+A3 A 5A6 =36 000(种)

不同的排法. 法二
2 6 因为当两端都是女生时,共有A3 A 6 种不同的排法,又因为

8 3个女生和5名男生排成一排共有A 8 种不同的排法,所以利用间接 8 6 法可得共有A8 -A2 3A6=36 000(种)不同的排法.


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